Το παρακάτω πρόβλημα βασίζεται στο τηλεπαιχνίδι με τις τρεις πόρτες και τον Ζονγκ. Σε βάζει ο παρουσιαστής του παιχνιδιού να διαλέξεις ανάμεσα σε τρεις πόρτες εκ των οποίων η μία περιέχει κάποιο δώρο και οι άλλες δύο Ζονγκ, δηλαδή αν επιλέξεις αυτές δεν κερδίζεις τίποτα. Εσύ διαλέγεις μία πόρτα και ο παρουσιαστής (που γνωρίζει που είναι το δώρο) ανοίγει μία άλλη, αποκαλύπτοντας ένα Ζονγκ. Σου δίνει το δικαίωμα να αναθεωρήσεις την αρχική σου επιλογή και να αλλάξεις πόρτα.
Τι αποφασίζεις; Θα κρατήσεις την πόρτα που είχες διαλέξει αρχικά, θα επιλέξεις την άλλη, ή δεν έχει καμία σημασία;
Παρασκευή 23 Οκτωβρίου 2009
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
14 σχόλια:
Λύση:
Όταν κάνεις την πρώτη επιλογή, η πιθανότητα να έχεις πέσει στο δώρο είναι 1/3. Όταν ο παρουσιαστής ανοίγει μια πόρτα με Ζονγκ, η πιθανότητα αυτή δεν μεταβάλλεται, γιατί ο παρουσιαστής γνωρίζει που είναι το δώρο, οπότε έτσι κι αλλιώς θα άνοιγε μια πόρτα με Ζονγκ για να δώσει ενδιαφέρον στο παιχνίδι. Αντίθετα, η πόρτα που μένει, συγκεντρώνει τώρα και την πιθανότητα που είχε η πόρτα που άνοιξε και έτσι γίνεται 2/3 να έχει μέσα το δώρο. Έτσι παρόλο που οι πόρτες είναι δύο και το δώρο είναι στη μία από τις δύο, η πιθανότητα να πέσεις σε δώρο αν κρατήσεις την πόρτα σου ή αν αλλάξεις επιλογή δεν είναι 50%. Θα πρέπει ν' αλλάξεις την αρχική σου επιλογή γιατί έτσι διπλασιάζεις την πιθανότητα που έχεις να κερδίσεις το δώρο.
Αυτό γίνεται πιο φανερό σ' ένα παράδειγμα με 100 πόρτες, η μία εκ των οποίων περιέχει ένα δώρο και οι άλλες είναι άδειες. Ο παίχτης διαλέγει μία πόρτα και ο παρουσιαστής ανοίγει όλες τις υπόλοιπες εκτός από αυτή που περιέχει το δώρο (αν δεν ήσουν τόσο τυχερός ώστε να την επιλέξεις πρώτος εσύ, αλλιώς αφήνει κλειστή μια κενή πόρτα). Η πιθανότητα να είχες πέσει αρχικά στο δώρο είναι 1/100, ενώ η πιθανότητα να πέσεις εάν αλλάξεις πόρτα είναι 99/100. Συνεπώς πρόκειται για ένα τέχνασμα του παρουσιαστή για να χάνουν περισσότεροι παίχτες, παρά για μια "δεύτερη ευκαιρία".
kala afto to exw akousta.to ksereis oti afti p vrike tin apantisi itan agnwsti kai efage trelo kraksimo apo tous mathimatikous tis epoxis???????
mia efimerida eixe grapsei oti mono kapoios m megalos thrassos kai apotyximenos sta mathimatika tha apantouse 2/3.Gia tin istoria i kopela legotan marilyn vos savant.....
@batman1986: Πολύ ενδιαφέρον το περιστατικό που γράφεις, δεν το ήξερα. Βρήκα την ιστορία που αναφέρεις στο: http://en.wikipedia.org/wiki/Marilyn_vos_Savant
Συμφωνώ με όσα αναφέρονται στο άρθρο για τα δύο προβλήματα πιθανοτήτων (Monty Hall και Two boys), αλλά συμφωνώ μόνο υπό όρους με το συμπέρασμα που βγάζει η Marilyn στο πρόβλημα των δύο παιδιών όπως επαναδιατυπώθηκε το 1996-97. Επειδή όμως αφορά διαφορετικό πρόβλημα από αυτό που συζητάμε εδώ, θα δημοσιεύσω τη διαφωνία μου στα σχόλια του γρίφου "Πιθανοτήτων - Τα δύο παιδιά του βασιλιά" τον οποίο δημοσίευσα πρόσφατα και τα συμπεράσματα που κατέληξα τα έχω φρέσκα :)
o zong einai figoura i tipota,aeras kopanistos?
Ο Ζονγκ ήταν ένα τηλεοπτικό πρόσωπο που κρυβόταν πίσω από μια πόρτα και συμβόλιζε την ήττα του παίκτη. Στην περίπτωση που υπήρχαν δύο Ζονγκ, το ένα ήταν το πρόσωπο και το άλλο κάτι δικό του, π.χ. οι κάλτσες του κυρίου Ζονγκ.
Δεν είμαι σίγουρος αλλά θα πω τί σκέφτομαι.
Οταν ο παρουσιαστής ανοίξει τη μία από τις δύο πόρτες με το Ζονγκ, το ποσοστό αυτής της πόρτας που άνοιξε 1/3 δεν πηγαίνει στην αρχική μας επιλογή, ώστε αυτή να γίνει 2/3. Και αυτό γιατί υπάρχει το ενδεχόμενο της μπλόφας, ότι δηλαδή ο παρουσιαστής ( ο οποίος γνωρίζει που είναι το δώρο) θέλει να μπλοφάρει και να μας κάνει να αλλάξουμε πόρτα για να χάσουμε. Δεν διαφωνώ στο γεγονός ότι το άνοιγμα της πόρτας με το Ζονγκ μας δίνει έξτρα ποσοστό να βρούμε το δώρο. Απλά πιστεύω ότι το ποσοστό γίνεται 1/2 και για τις δύο πόρτες που μένουν ( γιατί υπολογίζω τον παράγοντα μπλόφα) και όχι 2/3 για την αρχική μας επιλογή και 1/3 για την άλλη.
Τί λέτε?
@Ανώνυμος: Όταν ο παρουσιαστής ανοίξει μια πόρτα με Ζονγκ (δεν θα άνοιγε ούτως ή άλλως την πόρτα με το δώρο) δεν μπλοφάρει γιατί εμείς δεν έχουμε κανένα κίνητρο να κρατήσουμε την αρχική μας επιλογή με βάση τα νέα δεδομένα.
Επίσης, οι πιθανότητες δεν είναι αυτές που γράφεις αλλά οι αντίθετες, δηλαδή 2/3 αν αλλάξουμε πόρτα και 1/3 αν διατηρήσουμε την αρχική μας επιλογή.
na po kati?ti enooeis me thleoptiko prosopo/
@staraki: Ήταν ένας άνθρωπος που έβγαινε στην τηλεόραση σε ένα παλιό τηλεοπτικό παιχνίδι.
Γενικεύοντας το πρόβλημα για οποιονδήποτε αριθμό πορτών που περιέχουν οποιονδήποτε αριθμό δώρων και Ζονγκ μέσα τους, για οποιαδήποτε αξία του κάθε δώρου (συμπεριλαμβανομένης και της αξίας του Ζονγκ) και για οποιονδήποτε αριθμό πορτών που μπορεί να επιλέξει να ανοίξει ο παρουσιαστής, αποδεικνύεται πως η καλύτερη στρατηγική για τον παίκτη είναι η εξής: Όταν η μέση τιμή των αποκαλυπτόμενων δώρων είναι μεγαλύτερη από τη μέση τιμή του συνόλου των δώρων τότε ο παίκτης πρέπει να επιμείνει στην αρχική του επιλογή. Αλλιώς πρέπει να αλλάξει πόρτα.
Πρόσφατα διάβασα ότι ούτε ο ιδιοφυής μαθηματικός Paul Εrdos συμφώνησε με τη λύση της Marilyn.Εντυπωσιακό ε?
http://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Erd%C5%91s
Όπως μου επισήμανε ο Θανάσης Παπαδημητρίου, μια καλύτερη διατύπωση της εξήγησης γιατί πρέπει να αλλάξουμε πόρτα είναι η πιο κάτω:
Όταν κάνεις την πρώτη επιλογή, η πιθανότητα να έχεις πέσει στο δώρο είναι 1/3. Όταν ο παρουσιαστής ανοίγει μια πόρτα με Ζονγκ, η πιθανότητα αυτή δεν μεταβάλλεται, γιατί ο παρουσιαστής γνωρίζει που είναι το δώρο, οπότε έτσι κι αλλιώς θα άνοιγε μια πόρτα με Ζονγκ για να δώσει ενδιαφέρον στο παιχνίδι. Αφού λοιπόν μετά το άνοιγμα της πόρτας με το Ζονγκ η πιθανότητα να ήταν η αρχική σου επιλογή σωστή είναι 1/3, αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα να ήταν η αρχική σου επιλογή λάθος είναι 2/3. Οπότε επιλέγοντας την άλλη κλειστή πόρτα στη δεύτερη ευκαιρία που σου δίνεται, αυξάνεται η πιθανότητα να πέσεις στο δώρο σε 2/3.
Η λύση είναι λάθος. Ισχύει μόνο πριν ξεκινήσει το παιχνίδι. Από την στιγμή που ξεκίνησε και έχει μπροστά του 2 πόρτες, εκείνη τη στιγμή οι πιθανότητες ειναι 50%. Παρόμοιο σφάλμα γίνεται και στην περίπτωση "Τι πιθανότητα έχεις νε ρίξεις το νόμισμα 5 φορές συνέχεια κορώνα (1/2 χ 1/2 χ 1/2 χ 1/2 χ 1/2 = 1/32)" με το "Τι πιθανότητα έχεις ΑΦΟΥ έρριξες 4 φορές κορώνα, να ρίξεις και την 5η κορώνα (1/2 ή 50%)
@Sarastrogr: Η λύση είναι σωστή. Το παράδειγμα με το νόμισμα που αναφέρεις είναι σωστό, αλλά δεν σχετίζεται με αυτό το παιχνίδι, γιατί ο παρουσιαστής δεν ανοίγει μια πόρτα στην τύχη αλλά μια πόρτα που ξέρει εκ των προτέρων ότι δεν έχει μέσα δώρο.
Μόνο για μέλη: Γράψτε την απάντησή σας