Παράδοξα - Οι μη παράλληλες ευθείες δεν τέμνονται (****)

Στα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ φέρνουμε μια κάθετη ευθεία ε και μία ευθεία ε' με μικρή κλίση προς τα δεξιά. Έστω Μ το μέσο του τμήματος ΑΒ. Πάνω στην ευθεία ε' παίρνουμε το σημείο Α₁ έτσι ώστε ΑΜ=ΑΑ₁ και πάνω στην ευθεία ε παίρνουμε το σημείο Β₁ έτσι ώστε ΒΜ=ΒΒ₁.
Ας αποδείξουμε ότι ευθείες ε και ε' δεν μπορεί να τέμνονται εντός των τμημάτων ΑΑ₁ και ΒΒ₁: Αν οι δύο ευθείες τέμνονται σε κάποιο σημείο Τ εντός των τμημάτων ΑΑ₁ και ΒΒ₁ θα έπρεπε να ισχύει ότι ΑΤ<ΑΑ₁ και ΒΤ<ΒΒ₁, άρα και ότι ΑΤ+ΤΒ < ΑΑ₁+ΒΒ₁. Όμως ΑΑ₁+ΒΒ₁ = ΑΒ, άρα θα ίσχυε ότι ΑΤ+ΤΒ < ΑΒ. Όμως στο τρίγωνο ΑΤΒ, το άθροισμα των δύο πλευρών του είναι πάντοτε μεγαλύτερο από την τρίτη πλευρά, οπότε καταλήξαμε σε αντίφαση. Άρα πράγματι οι δύο ευθείες δεν μπορεί να τέμνονται εντός των τμημάτων ΑΑ₁ και ΒΒ₁. Φέρνουμε τώρα το ευθύγραμμο τμήμα Α₁Β₁, το μέσο του Μ₁ και τα σημεία Α₂ και Β₂ έτσι ώστε Α₁Μ₁=Α₁Α₂ και Β₁Μ₁=Β₁Β₂. Ακολουθώντας την προηγούμενη απόδειξη βρίσκουμε πως οι δύο ευθείες δεν μπορούν να τέμνονται εντός των τμημάτων Α₁Α₂ και Β₁Β₂.
Αυτή τη διαδικασία μπορούμε να την επαναλαμβάνουμε επ' άπειρον και να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι οι ευθείες ε και ε' δεν τέμνονται πουθενά. Πού βρίσκεται το λάθος;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
batman1986, Θανάσης Παπαδημητρίου, stratos, sf, Βαγγέλης, Antonios Seretis, Michalis, Kris Geo, kontoleon, swt, Fenonaki A., tg, Ποταμιτης, kraptaki, vasoula, Λευτέρης Παναγιωτάκος, Λευτερης Στριλιγκας, Bakaliaros CR, MrKitsos, Sofia, saxon

Συνδυασμών - Πινακίδες κυκλοφορίας (****)

Σε μια χώρα οι πινακίδες κυκλοφορίας των αυτοκινήτων είναι όλες 8ψήφιες αριθμητικές με ψηφία από 0 έως 9 σε κάθε θέση. Κάθε πινακίδα όμως πρέπει να διαφέρει από οποιαδήποτε άλλη σε τουλάχιστον 2 από τις 8 θέσεις. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός πινακίδων που μπορούν να εκδοθούν;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Θανάσης Παπαδημητρίου, stratos, sf, batman1986, Antonios Seretis, Michalis, vassilistrend, ioannesx, swt, kraptaki, ellipsis, Βαγγέλης, Andreas Kattirdzis, daskalos1971, MrKitsos, Nikos Stamatiou, saxon