Παράδοξα – Το παράδοξο του Ραμανουτζάν (****)

Το 1910 η Κυβέρνηση της Ινδίας εφάρμοσε το παρακάτω σχέδιο φορολόγησης:
Αρχικά επιλέχθηκε τυχαία ένας ΑΜΚΑ από το σύνολο του πληθυσμού της. Στη συνέχεια με πιθανότητα 1/10 ο κάτοχος αυτού του ΑΜΚΑ υποχρεούται να πληρώσει φόρο 1.000 ρουπίες και αν αυτό συμβεί η φορολογία των πολιτών θα ολοκληρωθεί με συνολικό φόρο 1.000 ρουπίες. Αν με πιθανότητα 9/10 αυτός ο ΑΜΚΑ δεν κληθεί να πληρώσει, τότε θα επιλεγούν τυχαία 10 ΑΜΚΑ από τα υπόλοιπα διαθέσιμα και πάλι με πιθανότητα 1/10 οι κάτοχοι αυτών των ΑΜΚΑ υποχρεούνται να πληρώσουν φόρο 1.000 ρουπίες ο καθένας και η φορολογία των πολιτών θα ολοκληρωθεί με συνολικό φόρο 10.000 ρουπίες. Αν με πιθανότητα 9/10 αυτοί οι ΑΜΚΑ δεν κληθούν να πληρώσουν, τότε θα επιλεγούν τυχαία 100 ΑΜΚΑ από τα υπόλοιπα διαθέσιμα και πάλι με πιθανότητα 1/10 οι κάτοχοι αυτών των ΑΜΚΑ υποχρεούνται να πληρώσουν φόρο 1.000 ρουπίες ο καθένας και η φορολογία των πολιτών θα ολοκληρωθεί με συνολικό φόρο 100.000 ρουπίες. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται, δεκαπλασιάζοντας κάθε φορά τα ΑΜΚΑ που επιλέγονται έως ότου κάποια ομάδα πολιτών κληθεί να πληρώσει φόρο 1.000 ρουπίες ο καθένας ή μέχρι να μην υπάρχουν άλλα διαθέσιμα ΑΜΚΑ για να επιλεγούν (κάθε πολίτης της χώρας έχει έναν ΑΜΚΑ οπότε αυτά επαρκούν για να εφαρμοστεί η διαδικασία μέχρι 10 φορές).
Ο Σρινιβάσα Ραμανουτζάν έλαβε μια ειδοποίηση από την Κυβέρνηση πως ο ΑΜΚΑ του επιλέχθηκε κατά τη διαδικασία της φορολόγησης. Άκουσε επίσης στις ειδήσεις πως βρέθηκε η ομάδα των ΑΜΚΑ που θα πληρώσει τον φόρο του έτους. Η γυναίκα του ανησύχησε πως ο Ραμανουτζάν θα χρειαστεί να πληρώσει, αλλά εκείνος την καθησύχασε λέγοντάς της πως παρόλο που επιλέχθηκε ο ΑΜΚΑ του, η πιθανότητα να πληρώσει η ομάδα του είναι μόνο 1/10. Άρα κατά 90% δεν θα πληρώσει φόρο. Εκείνη όμως δεν συμφωνούσε. Του είπε πως η ομάδα που θα πληρώσει είναι σχεδόν 9 φορές μεγαλύτερη από τις προηγούμενες ομάδες. Άρα η πιθανότητα να πληρώσει ο Ραμανουτζάν είναι περίπου 90%.
Ποιος από τους δύο έχει δίκιο και πού κάνει λάθος ο άλλος;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
stratos, Θανάσης Παπαδημητρίου, ΓιάννηςΒ, batman1986,

Λογικής - Δοκιμασία πρόσληψης (****)

Είστε υποψήφιος σε μια δοκιμασία πρόσληψης και πρέπει να συμπληρώσετε 8 αριθμημένα πλαίσια είτε με ένα σταυρό είτε με έναν κύκλο το καθένα. Κανένα από τα πλαίσια δεν πρέπει να μείνει κενό.
Για τη συμπλήρωση των 8 πλαισίων λαμβάνετε τις παρακάτω οδηγίες:

1. Αν υπάρχουν συνολικά περισσότεροι από ένας σταυρός στο τέταρτο, πέμπτο και έκτο πλαίσιο, αποτύχατε.
2. Αν υπάρχει σταυρός και στο τρίτο και στο πέμπτο και στο έβδομο πλαίσιο, έχετε αποτύχει.
3. Αν έχετε βάλει έναν κύκλο στο πρώτο πλαίσιο, ένα σταυρό στο δεύτερο πλαίσιο και έναν κύκλο στο πέμπτο πλαίσιο, έχετε αποτύχει.
4. Αν δεν σημειώσετε ένα σταυρό ούτε στο δεύτερο, ούτε στο πέμπτο, ούτε στο όγδοο πλαίσιο, αποτύχατε.
5. Αν υπάρχει κύκλος και στο τέταρτο και στο πέμπτο και στο έβδομο πλαίσιο, αποτύχατε.
6. Αν έχετε σχεδιάσει έναν κύκλο και στο δεύτερο και στο τέταρτο πλαίσιο, έχετε αποτύχει.
7. Αν  περισσότερα από πέντε πλαίσια έχουν συμπληρωθεί με σταυρό, έχετε αποτύχει.
8. Αν υπάρχει κύκλος στο τέταρτο και στο έκτο πλαίσιο και ένας σταυρός στο έβδομο, έχετε αποτύχει.
9. Αν το τρίτο και έβδομο πλαίσιο συμπληρωθούν διαφορετικά, έχετε αποτύχει.
10. Αν δεν υπάρχει σταυρός είτε στο πρώτο είτε στο έκτο είτε στο όγδοο πλαίσιο, έχετε αποτύχει.
11. Αν δεν υπάρχει κύκλος είτε στο τρίτο είτε στο τέταρτο είτε στο έκτο πλαίσιο, έχετε αποτύχει.
12. Αν ένας κύκλος έχει σχεδιαστεί τόσο στο πρώτο, όσο στο πέμπτο και στο έκτο πλαίσιο, αποτύχατε.
13. Αν υπάρχουν περισσότεροι από ένας κύκλοι στο τέταρτο, έκτο και όγδοο πλαίσιο, αποτύχατε.
14. Αν σχεδιάσατε κύκλο και στο τρίτο και στο έβδομο πλαίσιο, αποτύχατε.
15. Αν περισσότερα από πέντε πλαίσια έχουν συμπληρωθεί με έναν κύκλο, έχετε αποτύχει.
16. Αν υπάρχει σταυρός στο δεύτερο αλλά και στο τέταρτο πλαίσιο, έχετε αποτύχει.

Πώς θα συμπληρώνατε τα 8 πλαίσια για να περάσετε τη δοκιμασία;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:

John Salt, stratos, kraptaki, Tamy, ΒΕΗΣ, batman1986, Χρήστος Κάλλης, G SOZELGI, Βαγγέλης, saxon, Png, kakkalos, Tzon,

Υπολογισμού – Ελατοπαπαδίτσες (*****)

Ένα σμήνος από ελατοπαπαδίτσες έχει σκάψει τρύπες στο έδαφος και σε κάθε τρύπα έχουν θάψει έναν τυχαίο αριθμό από 1 έως 100 σπόρους με ίση πιθανότητα για κάθε αριθμό σπόρων. Αν μία ελατοπαπαδίτσα πρέπει να φάει κατά τη διάρκεια του χειμώνα 100 σπόρους για να επιβιώσει, πόσες τρύπες πρέπει να ανακαλύψει κατά μέσο όρο;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:

daskalos1971, Θανάσης Παπαδημητρίου, Dyer, stratos, batman1986, MathProf_59, kraptaki

Ανάλυσης - Έξυπνοι και κουτοί (****)

Τριάντα άτομα κάθονται γύρω από ένα στρογγυλό τραπέζι. Καθένας από αυτούς είναι ή έξυπνος ή κουτός και όλοι διαδοχικά απαντούν στην ερώτηση: "τι είναι αυτός που κάθεται δεξιά σου, έξυπνος ή κουτός;". Ένας έξυπνος απαντάει πάντα σωστά, ενώ ένας κουτός άλλοτε σωστά και άλλοτε όχι. Εσείς το μόνο που ξέρετε είναι ότι οι κουτοί δεν υπερβαίνουν κάποιον αριθμό. Ποια είναι η μέγιστη δυνατή τιμή αυτού του αριθμού, ώστε έχοντας ακούσει όλες τις απαντήσεις να είστε σε θέση να εντοπίσετε με βεβαιότητα έναν τουλάχιστον έξυπνο; Αιτιολογήστε.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Θανάσης Παπαδημητρίου, Ξενοφών77, batman1986, Ποταμιτης, harry_potter, kraptaki

Πιθανοτήτων - Πάνω κάτω (***)

Στην τελική φάση του τηλεπαιχνιδιού "Πάνω Κάτω" ο παίκτης καλείται να αντιστοιχίσει σωστά 5 στοιχεία σε 5 θέσεις. Η σωστή αντιστοίχιση είναι θέμα γνώσεων και είναι μοναδική. Η διαδικασία έχει ως εξής: Ο παίκτης κάνει μια δοκιμαστική αντιστοίχιση και των 5 στοιχείων στις 5 θέσεις και ο παρουσιαστής του παιχνιδιού αποκαλύπτει το πλήθος των αντιστοιχίσεων που έχουν γίνει σωστά, χωρίς να του πει ποιες ακριβώς είναι αυτές. Αν δεν έκανε όλες τις αντιστοιχίσεις σωστά στην πρώτη του προσπάθεια, ο παίκτης έχει δικαίωμα με βάση το πλήθος των σωστών αντιστοιχίσεων που άκουσε να δοκιμάσει ξανά, αλλάζοντας όσα στοιχεία θέλει μεταξύ τους. Αν καταφέρει να αντιστοιχίσει σωστά τα 5 στοιχεία στις 5 θέσεις είτε στην πρώτη είτε στη δεύτερη προσπάθεια, κερδίζει το μεγάλο βραβείο του παιχνιδιού.
Βρείτε την πιθανότητα που έχει ένας παίκτης να κερδίσει το μεγάλο βραβείο σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις:
α) Γνωρίζει τις 3 αντιστοιχίσεις αλλά όχι τις άλλες 2.
β) Γνωρίζει τις 2 αντιστοιχίσεις αλλά όχι τις άλλες 3.
γ) Γνωρίζει ότι τα στοιχεία Α,Β αντιστοιχούν στις θέσεις 1,2 και ότι τα στοιχεία Γ,Δ αντιστοιχούν στις θέσεις 3,4 αλλά δεν ξέρει ακριβώς ποιο στοιχείο πάει σε ποια θέση.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Kontoleon, stratos, Μανουηλ, MrKitsos, Θανάσης Παπαδημητρίου, John Salt, Michalis, Nikos Stamatiou, Χρήστος Κάλλης, batman1986, kraptaki

Συνδυασμών - Αστέρι 8 κορυφών (***)

Τοποθετήστε όσο περισσότερα νομίσματα γίνεται στις κορυφές του αστεριού 8 κορυφών του σχήματος.
Ο τρόπος τοποθέτησης ενός νομίσματος σε μία κορυφή αποτελείται από 2 βήματα ως εξής: 1) Επιλέξτε μία κορυφή στην οποία δεν υπάρχει νόμισμα και τοποθετήστε σε αυτήν ένα νέο νόμισμα. 2) Σύρετε το νόμισμα που μόλις τοποθετήσατε σε μία νέα κορυφή κατά μήκος της μίας από τις δύο γραμμές του αστεριού που ξεκινούν από αυτήν την κορυφή. Η κορυφή στην οποία καταλήξατε θα πρέπει να είναι ελεύθερη και το νόμισμα που της τοποθετήσατε δεν μπορεί να μετακινηθεί ξανά.
Δώστε τις λύσεις σας στην εξής μορφή: 1->4, 2->5, κλπ., που μεταφράζεται ότι τοποθετείτε ένα νόμισμα στην κορυφή 1 και το σέρνετε στην κορυφή 4, στη συνέχεια τοποθετείτε ένα νόμισμα στην κορυφή 2 και το σέρνετε στην κορυφή 5, κλπ.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
John Salt, batman1986, harry_potter, stratos, Michalis, Nikos Stamatiou, Tamy, MrKitsos, Θανάσης Παπαδημητρίου, Βαγγέλης, kraptaki, G SOZELGI, kakkalos

Ανάλυσης – Βόλτα για ψώνια (***)

Η Άννα, η Βίκυ και η Γιάννα έχουν βγει για χριστουγεννιάτικα ψώνια. Στη βιτρίνα ενός μαγαζιού υπάρχουν 5 είδη από ζευγάρια σκουλαρίκια. Η τιμή του κάθε ζευγαριού είναι ακέραιος αριθμός, διαφορετικός για κάθε ζευγάρι. Η Άννα αγόρασε 4 από τα 5 ζευγάρια και πλήρωσε 21 ευρώ. Η Βίκυ αγόρασε 3 ζευγάρια και πλήρωσε 23 ευρώ.
Αν η Γιάννα αγόρασε και τα 5, ποιο ήταν το ελάχιστο και ποιο το μέγιστο ποσό που πλήρωσε;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
kraptaki, batman1986, stratos, Θανάσης Παπαδημητρίου, John Salt, Nikos Stamatiou, Χρήστος Κάλλης, ΒΕΗΣ, BabisFlu, MrKitsos, Michalis, Sotrixios, Tamy, G SOZELGI, Ποταμιτης, kakkalos, Png

Ζυγίσεων - Τα σακιά με τα φλουριά (*****)

Στο δάπεδο βρίσκονται 135 σακιά με 100 φλουριά το καθένα. Ένα από τα σακιά περιέχει κάλπικα νομίσματα βάρους 9 γρ. το καθένα, ενώ όλα τα υπόλοιπα περιέχουν γνήσια νομίσματα βάρους 10 γρ. το καθένα. Διαθέτουμε μια ζυγαριά ακριβείας με τρία ψηφία, η οποία μπορεί να ζυγίσει με ακρίβεια οποιοδήποτε βάρος έως 999 γρ.  Πόσες ζυγίσεις είναι απαραίτητες για να εντοπίσουμε με βεβαιότητα το σακί με τα κάλπικα νομίσματα;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Θανάσης Παπαδημητρίου, stratos, John Salt, batman1986, Michalis, Sotrixios, MrKitsos, Βαγγέλης, Tamy

Υπολογισμού - Οι βολές του Αντετοκούνμπο (***)

Ο Αντετοκούνμπο στην αρχή της σεζόν είχε ποσοστό ευστοχίας στις ελεύθερες βολές μικρότερο του 80% αλλά στη συνέχεια το βελτίωσε σε πάνω από 80%. Είναι βέβαιο ότι κάποια στιγμή το ποσοστό του ήταν ακριβώς 80%;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:

batman1986, stratos, Θανάσης Παπαδημητρίου, kraptaki, Ran-tan-plan, Χρήστος Κάλλης, Ποταμιτης, John Salt, Kontoleon, aris, Michalis, MrKitsos, Tamy, Νικολας, harry_potter, G SOZELGI, kakkalos

Ανάλυσης - Πρώτος στο 50 (**)

Δύο φίλοι παίζουν το εξής παιχνίδι: Ο πρώτος θα πει έναν αριθμό από το 1 έως το 10. Ο δεύτερος θα αυξήσει τον αριθμό του πρώτου κατά 1 έως 10 μονάδες και αυτό θα συνεχιστεί εναλλάξ μέχρι ο ένας από τους δύο να πει τον αριθμό 50 και να κερδίσει. Ποιος από τους δύο παίκτες μπορεί να κερδίζει πάντα το παιχνίδι και ποιον αριθμό πρέπει να πει την πρώτη φορά που θα παίξει;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
stratos, Θανάσης Παπαδημητρίου, Ποταμιτης, kraptaki, batman1986, ΒΕΗΣ, Tamy, John Salt, Png, Nikos Stamatiou, saxon, aris, MrKitsos, Michalis, Βαγγέλης, G SOZELGI, Romanos, harry_potter, Tzon, kakkalos, Χρήστος Κάλλης