Ζυγίσεων - Ασπιρίνες και LSD (*****)

Στην κατοχή ενός εμπόρου ναρκωτικών βρέθηκαν 80 αδιάκριτα μεταξύ τους χάπια από τα οποία τα 2 ή 3 από αυτά περιέχουν το ναρκωτικό LSD και τα υπόλοιπα είναι απλές ασπιρίνες.
Ο αστυνόμος Σαΐνης γνωρίζει ότι τα χάπια LSD είναι 3 και ποια ακριβώς είναι αυτά, αλλά πρέπει να το αποδείξει και στο δικαστήριο, γιατί με 3 χάπια ο κατηγορούμενος δικάζεται για διακίνηση ενώ με 2 δικάζεται για απλή κατοχή. Το δικαστήριο γνωρίζει ότι τα χάπια LSD είναι 2 ή 3 και επίσης γνωρίζει ότι ένα χάπι LSD ζυγίζει 1 γραμμάριο λιγότερο από ένα χάπι ασπιρίνης.
Δυστυχώς οι αρχές δεν μπορούν να δώσουν τα χάπια για ανάλυση, γιατί υπάρχει ένας περίεργος νόμος που λέει ότι απαγορεύεται να αποκαλυφθεί η ταυτότητα οποιουδήποτε χαπιού (LSD ή ασπιρίνης), μιας και αυτό θεωρείται παραβίαση των προσωπικών δεδομένων του κατόχου του. Γι αυτό το δικαστήριο παρέχει στον Σαΐνη μια ζυγαριά ακριβείας δύο δίσκων με την οποία μπορεί να κάνει όσες ζυγίσεις θέλει ενώπιον των δικαστών για να αποδείξει το ζητούμενο, φτάνει να μην προκύπτει οποιαδήποτε στιγμή η ταυτότητα οποιουδήποτε χαπιού. Η δίκη κινηματογραφείται, οπότε ακόμα και αν μπερδέψει τα χάπια μεταξύ τους, θα φανεί στο βίντεο τι ακριβώς έκανε.
Ποιες ζυγίσεις θα πραγματοποιήσει ο Σαΐνης για να αποκαλυφθεί ότι τα χάπια LSD είναι 3;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
saxon, stratos, John Salt

Συνδυασμών - Τελείες σε τετράγωνα (****)

Σημειώνουμε ν τελείες στα τετράγωνα ενός τετραγωνισμένου χαρτιού, μία το πολύ σε κάθε τετράγωνο, έτσι ώστε κάθε τελεία να έχει ζυγό αριθμό από τελείες-γείτονες. Δύο τελείες θεωρούνται γειτονικές αν περιέχονται σε διπλανά τετράγωνα, οριζόντια ή κάθετα αλλά όχι διαγώνια. Οι τελείες που θα σημειώσουμε θα πρέπει να σχηματίζουν μια ενιαία περιοχή, δηλαδή θα πρέπει από κάθε τελεία να μπορούμε να πάμε σε κάθε άλλη ακολουθώντας τους γείτονές της. Για παράδειγμα, η λύση για ν=4 τελείες φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Για ποιες τιμές του ν το πρόβλημα δεν έχει λύση;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
batman1986, stratos, John Salt, MrKitsos, sf

Υπολογισμού - Γινόμενα σε ζευγάρια (****)

Αν με τους αριθμούς 1,2,3,4 δημιουργήσουμε μια λίστα με όλα τα δυνατά ζευγάρια τους, τότε τα γινόμενα αυτών των ζευγαριών είναι τα 2,3,4,6,8,12.
Από 4 άλλους θετικούς αριθμούς, τα γινόμενα των ζευγαριών που προκύπτουν είναι τα 2,3,4,5,6 και άλλο ένα κρυφό γινόμενο.
Βρείτε το κρυφό γινόμενο και τους 4 αριθμούς από τους οποίους προέκυψαν τα 6 γινόμενα.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
John Salt, stratos, MrKitsos, KiraDesu, Θανάσης Παπαδημητρίου, kakkalos, Χρήστος Κάλλης, kraptaki, ΒΕΗΣ, saxon, G SOZELGI, Tamy, sf, Dyer, ANDREKAT, Antonios Seretis, batman1986,

Ανάλυσης – Αντιμετάθεση σειρών – στηλών (***)

Μπορούμε να μετασχηματίσουμε τον αριστερό πίνακα στον δεξί, αντιμεταθέτοντας τις γραμμές και τις στήλες του; Αν ναι, ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός αντιμεταθέσεων; Αν όχι, γιατί;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
stratos, saxon, batman1986, Θανάσης Παπαδημητρίου, Nikos Stamatiou, MrKitsos, Ran-tan-plan, kraptaki, ΒΕΗΣ, John Salt

Παράδοξα – Το παράδοξο του Ραμανουτζάν (****)

Το 1910 η Κυβέρνηση της Ινδίας εφάρμοσε το παρακάτω σχέδιο φορολόγησης:
Αρχικά επιλέχθηκε τυχαία ένας ΑΜΚΑ από το σύνολο του πληθυσμού της. Στη συνέχεια με πιθανότητα 1/10 ο κάτοχος αυτού του ΑΜΚΑ υποχρεούται να πληρώσει φόρο 1.000 ρουπίες και αν αυτό συμβεί η φορολογία των πολιτών θα ολοκληρωθεί με συνολικό φόρο 1.000 ρουπίες. Αν με πιθανότητα 9/10 αυτός ο ΑΜΚΑ δεν κληθεί να πληρώσει, τότε θα επιλεγούν τυχαία 10 ΑΜΚΑ από τα υπόλοιπα διαθέσιμα και πάλι με πιθανότητα 1/10 οι κάτοχοι αυτών των ΑΜΚΑ υποχρεούνται να πληρώσουν φόρο 1.000 ρουπίες ο καθένας και η φορολογία των πολιτών θα ολοκληρωθεί με συνολικό φόρο 10.000 ρουπίες. Αν με πιθανότητα 9/10 αυτοί οι ΑΜΚΑ δεν κληθούν να πληρώσουν, τότε θα επιλεγούν τυχαία 100 ΑΜΚΑ από τα υπόλοιπα διαθέσιμα και πάλι με πιθανότητα 1/10 οι κάτοχοι αυτών των ΑΜΚΑ υποχρεούνται να πληρώσουν φόρο 1.000 ρουπίες ο καθένας και η φορολογία των πολιτών θα ολοκληρωθεί με συνολικό φόρο 100.000 ρουπίες. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται, δεκαπλασιάζοντας κάθε φορά τα ΑΜΚΑ που επιλέγονται έως ότου κάποια ομάδα πολιτών κληθεί να πληρώσει φόρο 1.000 ρουπίες ο καθένας ή μέχρι να μην υπάρχουν άλλα διαθέσιμα ΑΜΚΑ για να επιλεγούν (κάθε πολίτης της χώρας έχει έναν ΑΜΚΑ οπότε αυτά επαρκούν για να εφαρμοστεί η διαδικασία μέχρι 10 φορές).
Ο Σρινιβάσα Ραμανουτζάν έλαβε μια ειδοποίηση από την Κυβέρνηση πως ο ΑΜΚΑ του επιλέχθηκε κατά τη διαδικασία της φορολόγησης. Άκουσε επίσης στις ειδήσεις πως βρέθηκε η ομάδα των ΑΜΚΑ που θα πληρώσει τον φόρο του έτους. Η γυναίκα του ανησύχησε πως ο Ραμανουτζάν θα χρειαστεί να πληρώσει, αλλά εκείνος την καθησύχασε λέγοντάς της πως παρόλο που επιλέχθηκε ο ΑΜΚΑ του, η πιθανότητα να πληρώσει η ομάδα του είναι μόνο 1/10. Άρα κατά 90% δεν θα πληρώσει φόρο. Εκείνη όμως δεν συμφωνούσε. Του είπε πως η ομάδα που θα πληρώσει είναι σχεδόν 9 φορές μεγαλύτερη από τις προηγούμενες ομάδες. Άρα η πιθανότητα να πληρώσει ο Ραμανουτζάν είναι περίπου 90%.
Ποιος από τους δύο έχει δίκιο και πού κάνει λάθος ο άλλος;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
stratos, Θανάσης Παπαδημητρίου, ΓιάννηςΒ, batman1986, sf

Λογικής - Δοκιμασία πρόσληψης (****)

Είστε υποψήφιος σε μια δοκιμασία πρόσληψης και πρέπει να συμπληρώσετε 8 αριθμημένα πλαίσια είτε με ένα σταυρό είτε με έναν κύκλο το καθένα. Κανένα από τα πλαίσια δεν πρέπει να μείνει κενό.
Για τη συμπλήρωση των 8 πλαισίων λαμβάνετε τις παρακάτω οδηγίες:

1. Αν υπάρχουν συνολικά περισσότεροι από ένας σταυρός στο τέταρτο, πέμπτο και έκτο πλαίσιο, αποτύχατε.
2. Αν υπάρχει σταυρός και στο τρίτο και στο πέμπτο και στο έβδομο πλαίσιο, έχετε αποτύχει.
3. Αν έχετε βάλει έναν κύκλο στο πρώτο πλαίσιο, ένα σταυρό στο δεύτερο πλαίσιο και έναν κύκλο στο πέμπτο πλαίσιο, έχετε αποτύχει.
4. Αν δεν σημειώσετε ένα σταυρό ούτε στο δεύτερο, ούτε στο πέμπτο, ούτε στο όγδοο πλαίσιο, αποτύχατε.
5. Αν υπάρχει κύκλος και στο τέταρτο και στο πέμπτο και στο έβδομο πλαίσιο, αποτύχατε.
6. Αν έχετε σχεδιάσει έναν κύκλο και στο δεύτερο και στο τέταρτο πλαίσιο, έχετε αποτύχει.
7. Αν  περισσότερα από πέντε πλαίσια έχουν συμπληρωθεί με σταυρό, έχετε αποτύχει.
8. Αν υπάρχει κύκλος στο τέταρτο και στο έκτο πλαίσιο και ένας σταυρός στο έβδομο, έχετε αποτύχει.
9. Αν το τρίτο και έβδομο πλαίσιο συμπληρωθούν διαφορετικά, έχετε αποτύχει.
10. Αν δεν υπάρχει σταυρός είτε στο πρώτο είτε στο έκτο είτε στο όγδοο πλαίσιο, έχετε αποτύχει.
11. Αν δεν υπάρχει κύκλος είτε στο τρίτο είτε στο τέταρτο είτε στο έκτο πλαίσιο, έχετε αποτύχει.
12. Αν ένας κύκλος έχει σχεδιαστεί τόσο στο πρώτο, όσο στο πέμπτο και στο έκτο πλαίσιο, αποτύχατε.
13. Αν υπάρχουν περισσότεροι από ένας κύκλοι στο τέταρτο, έκτο και όγδοο πλαίσιο, αποτύχατε.
14. Αν σχεδιάσατε κύκλο και στο τρίτο και στο έβδομο πλαίσιο, αποτύχατε.
15. Αν περισσότερα από πέντε πλαίσια έχουν συμπληρωθεί με έναν κύκλο, έχετε αποτύχει.
16. Αν υπάρχει σταυρός στο δεύτερο αλλά και στο τέταρτο πλαίσιο, έχετε αποτύχει.

Πώς θα συμπληρώνατε τα 8 πλαίσια για να περάσετε τη δοκιμασία;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:

John Salt, stratos, kraptaki, Θανάσης Παπαδημητρίου, Tamy, ΒΕΗΣ, batman1986, Χρήστος Κάλλης, G SOZELGI, Βαγγέλης, saxon, Png, kakkalos, Tzon, Μανουηλ, KiraDesu, Nikos Stamatiou, TheBiologicalRiddle, james, sf, matina, Zatrikios,

Υπολογισμού – Ελατοπαπαδίτσες (*****)

Ένα σμήνος από ελατοπαπαδίτσες έχει σκάψει τρύπες στο έδαφος και σε κάθε τρύπα έχουν θάψει έναν τυχαίο αριθμό από 1 έως 100 σπόρους με ίση πιθανότητα για κάθε αριθμό σπόρων. Αν μία ελατοπαπαδίτσα πρέπει να φάει κατά τη διάρκεια του χειμώνα 100 σπόρους για να επιβιώσει, πόσες τρύπες πρέπει να ανακαλύψει κατά μέσο όρο;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:

daskalos1971, Θανάσης Παπαδημητρίου, Dyer, stratos, batman1986, MathProf_59, kraptaki, sf

Ανάλυσης - Έξυπνοι και κουτοί (*****)

Τριάντα άτομα κάθονται γύρω από ένα στρογγυλό τραπέζι. Καθένας από αυτούς είναι ή έξυπνος ή κουτός και όλοι διαδοχικά απαντούν στην ερώτηση: "τι είναι αυτός που κάθεται δεξιά σου, έξυπνος ή κουτός;". Ένας έξυπνος απαντάει πάντα σωστά, ενώ ένας κουτός άλλοτε σωστά και άλλοτε όχι. Εσείς το μόνο που ξέρετε είναι ότι οι κουτοί δεν υπερβαίνουν κάποιον αριθμό. Ποια είναι η μέγιστη δυνατή τιμή αυτού του αριθμού, ώστε έχοντας ακούσει όλες τις απαντήσεις να είστε σε θέση να εντοπίσετε με βεβαιότητα έναν τουλάχιστον έξυπνο; Αιτιολογήστε.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Θανάσης Παπαδημητρίου, Ξενοφών77, batman1986, Ποταμιτης, harry_potter, kraptaki, sf

Πιθανοτήτων - Πάνω κάτω (***)

Στην τελική φάση του τηλεπαιχνιδιού "Πάνω Κάτω" ο παίκτης καλείται να αντιστοιχίσει σωστά 5 στοιχεία σε 5 θέσεις. Η σωστή αντιστοίχιση είναι θέμα γνώσεων και είναι μοναδική. Η διαδικασία έχει ως εξής: Ο παίκτης κάνει μια δοκιμαστική αντιστοίχιση και των 5 στοιχείων στις 5 θέσεις και ο παρουσιαστής του παιχνιδιού αποκαλύπτει το πλήθος των αντιστοιχίσεων που έχουν γίνει σωστά, χωρίς να του πει ποιες ακριβώς είναι αυτές. Αν δεν έκανε όλες τις αντιστοιχίσεις σωστά στην πρώτη του προσπάθεια, ο παίκτης έχει δικαίωμα με βάση το πλήθος των σωστών αντιστοιχίσεων που άκουσε να δοκιμάσει ξανά, αλλάζοντας όσα στοιχεία θέλει μεταξύ τους. Αν καταφέρει να αντιστοιχίσει σωστά τα 5 στοιχεία στις 5 θέσεις είτε στην πρώτη είτε στη δεύτερη προσπάθεια, κερδίζει το μεγάλο βραβείο του παιχνιδιού.
Βρείτε την πιθανότητα που έχει ένας παίκτης να κερδίσει το μεγάλο βραβείο σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις:
α) Γνωρίζει τις 3 αντιστοιχίσεις αλλά όχι τις άλλες 2.
β) Γνωρίζει τις 2 αντιστοιχίσεις αλλά όχι τις άλλες 3.
γ) Γνωρίζει ότι τα στοιχεία Α,Β αντιστοιχούν στις θέσεις 1,2 και ότι τα στοιχεία Γ,Δ αντιστοιχούν στις θέσεις 3,4 αλλά δεν ξέρει ακριβώς ποιο στοιχείο πάει σε ποια θέση.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Kontoleon, stratos, Μανουηλ, MrKitsos, Θανάσης Παπαδημητρίου, John Salt, Michalis, Nikos Stamatiou, Χρήστος Κάλλης, batman1986, kraptaki, sf

Συνδυασμών - Αστέρι 8 κορυφών (***)

Τοποθετήστε όσο περισσότερα νομίσματα γίνεται στις κορυφές του αστεριού 8 κορυφών του σχήματος.
Ο τρόπος τοποθέτησης ενός νομίσματος σε μία κορυφή αποτελείται από 2 βήματα ως εξής: 1) Επιλέξτε μία κορυφή στην οποία δεν υπάρχει νόμισμα και τοποθετήστε σε αυτήν ένα νέο νόμισμα. 2) Σύρετε το νόμισμα που μόλις τοποθετήσατε σε μία νέα κορυφή κατά μήκος της μίας από τις δύο γραμμές του αστεριού που ξεκινούν από αυτήν την κορυφή. Η κορυφή στην οποία καταλήξατε θα πρέπει να είναι ελεύθερη και το νόμισμα που της τοποθετήσατε δεν μπορεί να μετακινηθεί ξανά.
Δώστε τις λύσεις σας στην εξής μορφή: 1->4, 2->5, κλπ., που μεταφράζεται ότι τοποθετείτε ένα νόμισμα στην κορυφή 1 και το σέρνετε στην κορυφή 4, στη συνέχεια τοποθετείτε ένα νόμισμα στην κορυφή 2 και το σέρνετε στην κορυφή 5, κλπ.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
John Salt, batman1986, harry_potter, stratos, Michalis, Nikos Stamatiou, Tamy, MrKitsos, Θανάσης Παπαδημητρίου, Βαγγέλης, kraptaki, G SOZELGI, kakkalos, Χρήστος Κάλλης, saxon, TheBiologicalRiddle, ΒΕΗΣ, Μανουηλ, sf