Λογικής - Τέσσερις φίλες (***)

Τέσσερις φίλες, η Άννα, η Βάσω, η Γωγώ και η Δανάη βρίσκονται σε ένα δωμάτιο όπου συμβαίνουν τα εξής γεγονότα:

γ1. Όλες κοιτάζουν κάποια (όχι απαραίτητα την ίδια και όχι απαραίτητα μόνο μία).

γ2. Όποιες κοιτάζει η Άννα, τις κοιτάζει και η Βάσω.

γ3. Η Βάσω δεν κοιτάζει τη Δανάη.

γ4. Καμία δεν κοιτάζει τον εαυτό της.

Με βάση τα πιο πάνω δεδομένα, χαρακτηρίστε ως αληθή, ψευδή ή μη αποφασίσιμη καθεμία από τις πιο κάτω προτάσεις:

π1. Η Βάσω κοιτάζει τη Γωγώ.

π2. Η Βάσω κοιτάζει την Άννα.

Έμπνευσης - Έκδοση εισιτηρίων (***)

Οι τιμές των εισιτηρίων ενός λεωφορείου είναι οι εξής:
Απλό εισιτήριο: 0,35 €, διπλό εισιτήριο: 0,60 €, τετραπλό εισιτήριο: 1 €.
Τα εισιτήρια πληρώνονται στον εισπράκτορα του λεωφορείου. Ένας επιβάτης ανεβαίνει στο λεωφορείο, δίνει στον εισπράκτορα 1 ευρώ και αυτός αμέσως του δίνει ένα τετραπλό εισιτήριο, χωρίς να τον ρωτήσει αν θέλει μονό ή διπλό για να του δώσει τα αντίστοιχα ρέστα. Ο εισπράκτορας δεν είχε ξαναδεί ποτέ τον επιβάτη και ο επιβάτης δεν έκανε κανενός είδους νόημα ή δήλωση που θα βοηθούσε τον εισπράκτορα να καταλάβει τι εισιτήριο ήθελε.
Πώς ήξερε ο εισπράκτορας ότι ο επιβάτης θέλει τετραπλό εισιτήριο;

Υπολογισμού - Σύστημα εξισώσεων (**)

Το κάθε εικονιζόμενο σύμβολο αντιστοιχεί σε έναν αριθμό και με τις πράξεις ανάμεσά τους όλες οι εξισώσεις βγαίνουν σωστές. Ποιος αριθμός μπαίνει στη θέση του ερωτηματικού;

Έμπνευσης – Κουβάδες με νερό (**)

Έχουμε δύο κουβάδες που τους έχουμε γεμίσει με νερό. Στον έναν ρυθμίσαμε τη θερμοκρασία του νερού στους 25 βαθμούς Κελσίου και στον άλλον στους 25 βαθμούς Φαρενάιτ. Αφήνουμε ένα νόμισμα να πέσει από ύψος ενός μέτρου μέσα στον πρώτο κουβά και μετράμε το χρόνο που έκανε για να φτάσει στον πάτο. Επαναλαμβάνουμε το ίδιο ακριβώς πείραμα με τον άλλο κουβά. Σε ποιον από τους δύο κουβάδες το νόμισμα θα φτάσει πρώτο στον πάτο;

Έμπνευσης - Ο δίκαιος δικαστής (***)

Πριν από πολλά χρόνια, στο Χαλιφάτο της Βαγδάτης, παρουσιάστηκαν μπροστά στον δικαστή ένας γεωργός και ο γείτονάς του με την εξής διαφωνία:

- "Μου πούλησε ένα πηγάδι αλλά τώρα θέλει να του πληρώσω και το νερό που έχει μέσα!" λέει ο γεωργός.

- "Ακριβώς. Του είπα πως θα του πουλήσω το πηγάδι, όχι όμως και το νερό που περιέχει!" λέει ο γείτονας.

Ο έξυπνος δικαστής βρήκε έναν γρήγορο και ειρηνικό τρόπο για να λύσει τη διαφωνία τους. Τι πρότεινε;

Έμπνευσης - Κράτησέ το (*)

Τι μπορείς να κρατήσεις στο δεξί σου χέρι, αλλά όχι στο αριστερό σου χέρι;

Ανάλυσης - Φανέλες και σορτς (****)

Σε μία ομάδα με 33 αθλητές, τέθηκαν σε όλους με τη σειρά οι παρακάτω δύο ερωτήσεις: «πόσοι άλλοι αθλητές φοράνε ίδιο μέγεθος φανέλας με εσένα» και «πόσοι άλλοι αθλητές φοράνε ίδιο μέγεθος σορτς με εσένα». Στις 66 απαντήσεις που δόθηκαν, υπήρχαν όλοι οι αριθμοί από 0 έως 10 (ανεξαρτήτως από φανέλες ή σορτς). Δείξτε ότι υπάρχουν δύο αθλητές που φοράνε ίδιο μέγεθος φανέλας και ίδιο μέγεθος σορτς.

Υπολογισμού - Αυθεντία (***)

Ένας φοιτητής έγραψε στον πίνακα την παρακάτω πράξη και ζήτησε να του πουν το αποτέλεσμα:

30-18÷3 = ;

Ένας συμφοιτητής του απάντησε 24, ενώ ο καθηγητής τους, που είχε μάλιστα PhD στα μαθηματικά, επέμενε πως το αποτέλεσμα είναι 4!
Έχει δίκιο ο καθηγητής;

Ανάλυσης - Βύθιση υποβρυχίου - Απλή υπόθεση (**)

Ένα αόρατο εχθρικό υποβρύχιο ξεκινάει σε χρόνο t=0 sec από ένα λιμάνι και κινείται βυθισμένο σε ευθεία γραμμή προς γνωστή κατεύθυνση, με μια άγνωστη αλλά σταθερή και ακέραια σε μέτρο ταχύτητα (σε m/sec). Εσείς διαθέτετε ένα σύστημα εκτόξευσης τοποθετημένο πάνω στο λιμάνι και επαρκή αριθμό βλημάτων, με δυνατότητα ρίψης ενός βλήματος ανά δευτερόλεπτο, από χρόνο t=1 sec και μετά, τα οποία πέφτουν με ακρίβεια σε οποιοδήποτε σημείο της θάλασσας θέλετε κάθε φορά. Με ποια στρατηγική θα βυθίσετε στα σίγουρα το υποβρύχιο;
Διευκρινίσεις: 1) Θεωρήστε αμελητέο τον χρόνο από την πυροδότηση μέχρι την άφιξη κάθε βλήματος στο στόχο. 2) Θεωρήστε πως έχετε απεριόριστο χώρο και χρόνο στη διάθεσή σας.

Ανάλυσης - Αναποδογυρίστε το τρίγωνο (**)

Τα 10 νομίσματα της εικόνας σχηματίζουν ένα τρίγωνο όπου η μία του κορυφή βρίσκεται προς τα κάτω. Μπορείτε μετακινώντας 3 νομίσματα να το αντιστρέψετε, δηλαδή να κάνετε τη μία του κορυφή να βρίσκεται προς τα πάνω;

Ανάλυσης - Μυρμήγκια στο κλαδί (***)

15 μυρμήγκια περπατούν πάνω σε ένα ίσιο κλαδί μήκους 1 μέτρου με σταθερή ταχύτητα 10 εκατοστά το δευτερόλεπτο. Μπορούν να κινούνται είτε προς τα αριστερά είτε προς τα δεξιά. Κάθε φορά που συναντιόνται δύο μυρμήγκια αλλάζουν αμέσως και τα δύο κατευθύνσεις. Αν φτάσουν σε μία από τις δύο άκρες του κλαδιού πέφτουν. Ποιος είναι ο μέγιστος χρόνος που θα απαιτηθεί για να πέσουν όλα από το κλαδί; Μπορείτε να το αποδείξετε;

Ανάλυσης - Το χτες ήταν αύριο (***)

"Εύχομαι το χτες να ήταν αύριο, ώστε σήμερα να ήταν Σάββατο". Ποια μέρα έκανα αυτή τη δήλωση;

Ανάλυσης - Κερματομηχανή (**)

Μία κερματομηχανή δέχεται δύο είδη κερμάτων: μάρκα και φράγκα. Για κάθε κέρμα του ενός είδους που ρίχνουμε, μας επιστρέφει 3 κέρματα του άλλου είδους. Αν αρχικά έχουμε 5 μάρκα και 3 φράγκα, θα μπορούσαμε παίζοντας στην κερματομηχανή να αποκτήσουμε κάποια στιγμή ίσο αριθμό μάρκων και φράγκων; Αν ναι πώς, αν όχι γιατί;

Λογικής - Χημικοί και αλχημιστές (**)

Σε ένα συνέδριο συμμετείχαν 100 άνθρωποι οι οποίοι ήταν είτε χημικοί είτε αλχημιστές. Ρωτήθηκαν οι 50 από αυτούς αν στους υπόλοιπους που συμμετέχουν στο συνέδριο (χωρίς δηλαδή να υπολογίζουν τον εαυτό τους) υπάρχουν περισσότεροι χημικοί ή αλχημιστές και όλοι απάντησαν πως οι αλχημιστές ήταν περισσότεροι. Γνωρίζουμε πως οι χημικοί λένε πάντοτε την αλήθεια, ενώ οι αλχημιστές λένε πάντοτε ψέματα. Πόσοι χημικοί και πόσοι αλχημιστές συμμετείχαν στο συνέδριο;

Ανάλυσης - Κρέμασμα πίνακα (****)

Μπορείτε να βρείτε πώς πρέπει να περάσει το σύρμα του πίνακα γύρω από τα δύο καρφιά έτσι ώστε όποιο καρφί και αν αφαιρεθεί από τον τοίχο, ο πίνακας να πέφτει κάτω;

Ανάλυσης - Κούφιος κύβος (*****)

Χρησιμοποιώντας 26 μοναδιαίους κύβους φτιάχνουμε έναν μεγάλο κύβο 3x3x3, αφήνοντας κενή τη θέση ενός μοναδιαίου κύβου στο κέντρο του. Η κενή θέση μπορεί να καλύπτεται ολισθαίνοντας οποιονδήποτε γειτονικό της κύβο, οπότε μένει πλέον κενή η αρχική θέση του μετακινούμενου κύβου και αυτό μπορεί να επαναλαμβάνεται όσες φορές θέλουμε. Είναι εφικτό, με μια διαδοχή τέτοιων μετακινήσεων και οι 26 κύβοι να βρεθούν τελικά σε θέσεις συμμετρικές προς τις αρχικές τους θέσεις ως προς το κέντρο της διάταξης; Αν ναι με ποιον τρόπο, αν όχι γιατί;

Λογικής - Γνωριμίες (*****)

Σε μια πόλη οποιοιδήποτε δύο γνωστοί δεν έχουν κοινούς γνωστούς και οποιοιδήποτε δύο άγνωστοι έχουν ακριβώς δύο κοινούς γνωστούς.
Αποδείξτε ότι όλοι οι κάτοικοι έχουν τον ίδιο αριθμό γνωστών.

Συνδυασμών - 16 πιόνια (****)

Τοποθετήστε 16 πιόνια πάνω σε μία σκακιέρα, έτσι ώστε να μην υπάρχουν 3 ή περισσότερα πιόνια στην ίδια ευθεία. Οι ευθείες περνάνε από τα κέντρα των τετραγώνων και μπορεί να είναι οριζόντιες, κάθετες, διαγώνιες ή ακόμα και πλάγιες (π.χ. όπως αυτές που σχηματίζονται όταν ένας ίππος κινείται 2 φορές προς την ίδια κατεύθυνση).

Λογικής - Η πεισματάρα μέλισσα (****)

Μια μέλισσα εισέρχεται σε μια κερήθρα - λαβύρινθο και προσπαθεί να φτάσει στο κόκκινο κελί όπου βρίσκεται αποθηκευμένος ο βασιλικός πολτός. Από το κάθε κελί μπορεί να κινηθεί μόνο προς το κελί που δείχνει το βέλος και σε κάθε της κίνηση, το βέλος του κελιού που βρισκόταν πριν, περιστρέφεται κατά 60 μοίρες δεξιόστροφα. Αν βρεθεί σε ακριανό κελί που το βέλος του δείχνει εκτός της κερήθρας, τότε αυτό το βέλος περιστρέφεται δεξιόστροφα μέχρι να δείξει κάποιο άλλο κελί. Αν βρεθεί ξανά στο σημείο απ' όπου μπήκε τότε απλά ξαναμπαίνει στον λαβύρινθο. Υποθέτουμε πως η μέλισσα έχει απεριόριστο πείσμα και χρόνο και στη διάθεσή της.
Μπορείτε να αποδείξετε πως στο τέλος θα καταλήγει πάντοτε στο κόκκινο κελί και μάλιστα με οποιαδήποτε αρχική διάταξη των βελών;

Υπολογισμού - Παράταξη μυρμηγκιών (**)

25 μυρμήγκια βρίσκονται σε 5 διαδοχικούς θαλάμους της φωλιάς τους, με διάταξη 5 μυρμηγκιών σε κάθε θάλαμο. Στόχος τους είναι να απλωθούν έτσι ώστε να βρίσκεται ένα μυρμήγκι σε κάθε θάλαμο. Υπάρχουν αρκετοί θάλαμοι τόσο αριστερά όσο και δεξιά αυτών που βρίσκονται ήδη. Χρειάζεται ένα λεπτό για να μετακινηθεί ένα μυρμήγκι στον διπλανό θάλαμο και κάθε λεπτό μετακινείται μόνο ένα μυρμήγκι. Πόση ώρα χρειάζονται για να επιτύχουν το στόχο τους;