Πιθανοτήτων - Οι τέσσερις ψεύτες (****)

Ο Άρης, ο Βασίλης, ο Γιάννης και ο Δημήτρης είναι τέσσερις φίλοι που ο καθένας τους λέει αλήθεια με πιθανότητα 1 στις 3 και ψέματα με πιθανότητα 2 στις 3.
Ο Άρης, ο Βασίλης και ο Γιάννης κάνουν με αυτή τη σειρά από μία δήλωση και στη συνέχεια ο Δημήτρης λέει ότι ο Γιάννης λέει ότι ο Βασίλης λέει ότι ο Άρης έλεγε την αλήθεια. Ποια είναι η πιθανότητα ο Άρης να έλεγε πράγματι την αλήθεια;

Διευκρινίσεις:

1. Ο καθένας τους γνωρίζει πότε ο άλλος λέει αλήθεια και πότε ψέματα.
2. Εμείς γνωρίζουμε μόνο τη δήλωση του Δημήτρη, αλλά ξέρουμε πως οι δηλώσεις του Βασίλη και του Γιάννη έχουν παρόμοια δομή.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Θανάσης Παπαδημητρίου, stratos, sf, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, Michalis, batman1986, percival, theo, swt, kraptaki, panoslep, alexpsomi, saxon, G SOZELGI, kakkalos, Χρήστος Κάλλης

Συνδυασμών - Πλέγμα (***)

Έχουμε ένα πλέγμα που αποτελείται από 6 οριζόντιες και 5 κάθετες ευθείες. Πόσα ορθογώνια παραλληλόγραμμα σχηματίζονται συνολικά μέσα σε αυτό το πλέγμα;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
cris, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, parmapan, jason1996, batman1986, stratos, Tamy, Κ29, demetris72, Harry_Potter, Michalis, swt, Θανάσης Παπαδημητρίου, MrKitsos, percival, theo, kraptaki, G SOZELGI, xaris, Diam, tasosi2008, Prefas, sf, nama, Πειραχτήρι, daskalos1971, Kris Geo, asotos-ios, kostas, alexpsomi, saxon, Γ. Κ., panoslep, Kensh1n, Kordas Antonis, JOELMARX, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, YIANNIS KAZIA, ΧΡΙΣΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, Png, Christina Pebbles, Nikos Stamatiou, AM9079, manoskothris, John Salt, Βαγγέλης

Υπολογισμού - Διπλός τριψήφιος (**)

Σκεφτείτε έναν τριψήφιο αριθμό. Γράψτε στο κομπιουτεράκι σας αυτόν τον αριθμό δύο συνεχόμενες φορές. Π.χ. αν σκεφτήκατε τον αριθμό 123 γράψτε 123123. Διαιρέστε τον αριθμό που έχετε στην οθόνη σας με το 7. Θα παρατηρήσετε πως η διαίρεση είναι τέλεια, δηλαδή δεν προκύπτουν δεκαδικά ψηφία. Διαιρέστε τον νέο αριθμό που έχετε στην οθόνη σας με το 11. Πάλι η διαίρεση είναι τέλεια. Διαιρέστε τον νέο αριθμό με το 13. Και πάλι η διαίρεση είναι τέλεια και μάλιστα τώρα έχετε καταλήξει στον αρχικό σας αριθμό.
Μπορείτε να αποδείξετε ότι όλα τα παραπάνω ισχύουν για οποιονδήποτε τριψήφιο αριθμό;