Υπολογισμού - Τέλεια τετράγωνα (***)

Ξεκινάμε από έναν ακέραιο αριθμό  α. Αν του προσθέσουμε 30 τότε το αποτέλεσμα είναι ένα τέλειο τετράγωνο. Αν του αφαιρέσουμε 30 τότε το αποτέλεσμα είναι επίσης ένα τέλειο τετράγωνο. Πόσοι τέτοιοι αριθμοί  α  υπάρχουν;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
swt, percival, stratos, nasok, takis, Xeliaz, Θανάσης Παπαδημητρίου, batman1986, xp2012, sotrixios, avevaios, Michalis, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, efthimis, Aliki, gvoutsi1995, Man, MrKitsos, Antonis1996, saxon, manos8, jason1996, straniero, fighter, kontoleon, Nikos Stamatiou, g.clifford, mrvolcom, tasosi2008, Leo28, gchatzi, Steli0s1, BOMBER, Png, qwerty, αχκακος, Makis Renieris, forest, tasoe, Michalis14, Theodor, depier-2012, ZORIKOS, Tamy, anastakz, nama, erratic, Ελενη σολωμου, Peter V, G SOZELGI, Κυριαζής Γιώργος, voula, Antonios Seretis, dimsot1989, demetris72, scap, lakostas, sf, Aris Campis, jorge1, μανος, Stathis, kraptaki, daskalos1971, Mpego Eri, Πειραχτήρι, Παναγιωτης Καταραχιας, kakkalos, bill1988, Kris Geo, alexpsomi, πρεφαδόρος στην υπόγα, sciamano caotico, Petros, Enrique Orestis, Kensh1n, Αναστασία, NikosL, Vis, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, JOELMARX, Kos Monodri, Gio, Νισαντο, Νεφέλη, YIANNIS KAZIA, ΧΡΙΣΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, Νίκος Ηλιόπουλος, Pierikara, Dyer, AM9079, manoskothris, John Salt, skmmcj, Βαγγέλης, Χρήστος Κάλλης

Ανάλυσης - Πέντε κουτιά και ένα δώρο (***)

Έχετε μπροστά σας πέντε κλειστά κουτιά τοποθετημένα σε μία σειρά. Ένα από αυτά περιέχει ένα δώρο το οποίο προσπαθείτε να βρείτε. Επιλέγετε λοιπόν να ανοίξετε κάποιο κουτί. Αν βρείτε το δώρο κερδίζετε το παιχνίδι. Αν δεν το βρείτε τότε το δώρο μεταφέρεται σε ένα διπλανό κουτί αυτού που ήταν αρχικά. Αν δηλαδή αρχικά το δώρο βρισκόταν στο κουτί Νο 3, τότε στην επόμενη προσπάθειά σας θα μεταφερθεί στο Νο 2 ή στο Νο 4.
Ποια είναι η συντομότερη στρατηγική που οδηγεί πάντα στην εύρεση του δώρου, όσο άτυχος και αν φανείτε;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
swt, Michalis, percival, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, stratos, batman1986, Θανάσης Παπαδημητρίου, gvoutsi1995, sotrixios, kraptaki, AlexiouG, theo, takis, straniero, giorgaras55, qwerty, Aliki, MrKitsos, Diam, Peter V, sf, G SOZELGI, lakostas, Χρηστος Χ., Πειραχτήρι, daskalos1971, PraikoN, alexpsomi, nerd, saxon, Kensh1n, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, JOELMARX, Antonios Seretis, kakkalos, Stathis, Kris Geo, Nikos Stamatiou, Png, John Salt, King Ragnar, Βαγγέλης

Υπολογισμού - Αποικία αμοιβάδων (**)

Κάποιοι βιολόγοι ανακάλυψαν μια αποικία αμοιβάδων με την εξής παράξενη ιδιότητα: Όταν η αποικία έφτανε σε μονό αριθμό αμοιβάδων τότε ο αριθμός της τριπλασιαζόταν και στη συνέχεια προσαυξανόταν κατά άλλη μία αμοιβάδα. Όταν η αποικία έφτανε σε ζυγό αριθμό αμοιβάδων τότε πέθαιναν ακριβώς οι μισές αμοιβάδες.
Οι βιολόγοι υπολόγισαν με απλές πράξεις πως ο πληθυσμός της αποικίας δεν θα γινόταν ποτέ 1 αμοιβάδα όσος καιρός και αν πέρναγε. Βρείτε έναν από τους δυνατούς πληθυσμούς αυτής της αποικίας.

Ενημέρωση: Ο γρίφος αποτελεί πρωταπριλιάτικο αστείο! Είναι μια εφαρμογή της Εικασίας του Collatz η οποία παραμένει ακόμα αναπόδεικτη. Πιο συγκεκριμένα, δεν έχει βρεθεί κανένας αριθμός με τη ζητούμενη ιδιότητα, χωρίς όμως να έχει αποδειχτεί ότι δεν υπάρχει.