Στην πόλη του κύριου Γιάννη κυκλοφορεί ένας επικίνδυνος ιός. Ευτυχώς το ποσοστό των ανθρώπων που προσβάλλεται από αυτόν είναι μόνο 0,1%. Ο ιός δεν έχει συμπτώματα στα αρχικά του στάδια και ανιχνεύεται μόνο μέσω ενός ειδικού τεστ που οι γιατροί συνιστούν να κάνουν προληπτικά όλοι οι πολίτες.
Πηγαίνει λοιπόν και ο κ. Γιάννης να κάνει το τεστ και προς μεγάλη του έκπληξη ο γιατρός του λέει πως έχει προσβληθεί από τον ιό. Ο κ. Γιάννης ρωτάει πόσο ακριβές είναι το τεστ που του έκαναν και ο γιατρός του απαντάει πως είναι πολύ ακριβές και δίνει τη σωστή διάγνωση στο 95% των περιπτώσεων. Μόνο σε ένα 5% δίνει το αντίθετο αποτέλεσμα από το σωστό. Ο κ. Γιάννης έχει ανησυχήσει, αλλά δεν μπορεί να υπολογίσει την πιθανότητα να έχει προσβληθεί πράγματι από τον ιό. Μπορείτε να τον βοηθήσετε;
Παρασκευή 23 Οκτωβρίου 2009
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
10 σχόλια:
Λύση :
Πρώτα θα υπολογίσουμε την πιθανότητα να γίνει θετική διάγνωση με το τεστ σε έναν τυχαίο άνθρωπο. Για να συμβεί αυτό θα πρέπει είτε να έχει τον ιό και η διάγνωση να είναι σωστή είτε να μην έχει τον ιό και η διάγνωση να είναι λάθος. Η πιθανότητα να συμβαίνει η πρώτη περίπτωση είναι 0,1/100 * 95/100 = 0,095/100. Η πιθανότητα να συμβαίνει η δεύτερη περίπτωση είναι 99,9/100 * 5/100 = 4,995/100.
Αθροίζοντας τις πιθανότητες των δύο ενδεχομένων βρίσκουμε τη συνολική πιθανότητα να βγει το τεστ θετικό: 0,095/100 + 4,995/100 = 5,09/100.
Με άλλα λόγια, στους 100 ανθρώπους που θα κάνουν το τεστ οι 5,09 αναμένεται να πάρουν θετική διάγνωση. Από αυτούς όμως μόνο οι 0,095 όπως είπαμε έχουν πράγματι προσβληθεί από τον ιό. Με απλή μέθοδο των τριών βρίσκουμε πως στους 100 ανθρώπους αυτοί που έχουν θετική διάγνωση και έχουν προσβληθεί από τον ιό είναι: 0,095 * 100 / 5,09 = 1,8664. Άρα η πιθανότητα να έχει ο κ. Γιάννης τον ιό είναι περίπου 1,87%.
Βλέπουμε πως ο κ. Γιάννης μάλλον δεν θα έπρεπε να ανησυχήσει γιατί παρόλο που το τεστ έχει μεγάλη ακρίβεια, η πιθανότητα να έχει πράγματι προσβληθεί είναι μικρή, αλλά πάντως γύρω στις 20 φορές μεγαλύτερη από την πιθανότητα που είχε να φέρει τον ιό πριν του βγει το τεστ θετικό.
Μια εξήγηση στην καθομιλουμένη για το πώς είναι τόσο μικρή η πιθανότητα να έχει προσβληθεί ο κ. Γιάννης από τον ιό, παρά τη θετική διάγνωση, είναι η εξής: Η πιθανότητα να έχει κολλήσει κάποιος τον ιό είναι πολύ μικρότερη από την πιθανότητα να έχει βγει λάθος το τεστ. Γι αυτό, το ότι το τεστ βγήκε θετικό είναι πολύ πιθανότερο να οφείλεται σε λανθασμένο αποτέλεσμα του τεστ, παρά στο ότι έχει πράγματι ο κ. Γιάννης τον ιό.
Αν και το αποτέλεσμα που βρίσκετε πλησιάζει την πραγματικότητα, ωστόσο είναι λάθος. Το σωστό είναι 1,9646% και όχι 1,87% που αναφέρετε.
Το λάθος σας είναι οτι από τους 100 ανθρώπους όντως οι 5,09 θα έχουν θετική διάγνωση, αλλά οι ασθενείς θα είναι 0,1 και όχι 0,095 που αναφέρετε. Μία πιό αυστηρή προσέγγιση είναι η ακόλουθη: Αν ο πλυθισμός είναι Χ, τότε οι αθενείς θα είναι Χ/1.000. Εάν όλοι κάνουν το τεστ τότε αυτό θα βγεί θετικό σε 5,09Χ/100 (προκύπτει μετά από υπολογισμούς, αλλά συμφωνούμε καθώς το ίδιο βγάζετε κι εσείς), άρα η πιθανότητα ο κος Γιάννης να είναι ασθενής είναι ο αριθμός των ασθενών (Χ/1.000) δια του αριθμού αυτών που το τεστ βγήκε θετικό (5,09Χ/100). Αυτό μας κάνει 1,964
@Αντώνης: Πρόσεξε πως το ποσοστό 0,1/100 αναφέρεται στον πληθυσμό που δεν έχει κάνει το τεστ. Στον πληθυσμό που έχει κάνει το τεστ και έχει πάρει θετική διάγνωση (δηλαδή σε 5,09 στους 100 ανθρώπους) το αντίστοιχο ποσοστό να έχουν προσβληθεί είναι 0,095/100. Είναι αυτοί που αναφέρω πως έχουν τον ιό και πήραν θετική διάγνωση. Εξαιρούνται αυτοί που έχουν τον ιό αλλά πήραν αρνητική διάγνωση (το υπόλοιπο 0,005/100).
Σωστά έχετε δίκιο. Δικό μου το λάθος.
@Αντώνης: Να 'σαι καλά. Μόλις διάβασα τη λύση σου με μπέρδεψες κι εμένα!
Μπορούμε να καταλήξουμε στο ίδιο αποτέλεσμα και με την εφαρμογή του Θεωρήματος του Bayes:
Ορίζουμε τα εξής ενδεχόμενα:
Α = Ακριβές τεστ
Θ = Θετικό τεστ
Π = Προσβολή από τον ιό
Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε ότι P(Α)=0,95 και P(Π)=0,001 , όπου με P(x) συμβολίζουμε την πιθανότητα να συμβαίνει το ενδεχόμενο x.
Με P(Θ|Π) συμβολίζουμε την πιθανότητα να συμβαίνει το ενδεχόμενο Θ με δεδομένο ότι συμβαίνει το ενδεχόμενο Π. Παρατηρούμε πως P(Θ|Π) = P(Α) γιατί η πιθανότητα κάποιος που έχει προσβληθεί από τον ιό να πάρει θετική διάγνωση από το τεστ είναι επίσης 0,95.
Όπως είπαμε πιο πάνω, το τεστ δίνει θετική διάγνωση είτε αν κάποιος έχει προσβληθεί από τον ιό και το τεστ ήταν ακριβές είτε αν δεν έχει προσβληθεί από τον ιό και το τεστ δεν ήταν ακριβές. Θα το εκφράσουμε αυτό μαθηματικά ως:
P(Θ) = P(Π)*P(A) + !P(Π)*!P(A) = P(Π)*P(Θ|Π) + !P(Π)*!P(Θ|Π)
όπου με !P(x) συμβολίζουμε την πιθανότητα να μην συμβαίνει το ενδεχόμενο x.
Το ζητούμενο είναι να βρούμε την πιθανότητα να έχει προσβληθεί ο κ. Γιάννης από τον ιό με δεδομένο ότι του βγήκε το τεστ θετικό. Πρέπει δηλαδή να μπορέσουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα P(Π|Θ). Αφού γνωρίζουμε ήδη την πιθανότητα P(Θ|Π) θα εφαρμόσουμε το Θεώρημα του Bayes που συνδέει αυτές τις δύο πιθανότητες μεταξύ τους με τη σχέση:
P(Π|Θ) = P(Θ|Π) * P(Π) / P(Θ)
Με αντικατάσταση τιμών προκύπτει πως:
P(Π|Θ) = 0,95 * 0,001 / [0,001*0,95 + (1-0,001)*(1-0,95)] = 0,01866.
αν θες να μας τρελανεις με τον δευτερο τροπο τα καταφερες
εντωμεταξυ νομιζα οτι το θαυμαστικο ηταν παραγοντικο!
@Ανώνυμος: Η δεύτερη λύση απευθύνεται μόνο σε όσους είναι εξοικειωμένοι με τύπους και θεωρήματα πιθανοτήτων. Η πρώτη λύση είναι πιο περιγραφική και άρα πιο κατανοητή.
Μαγικη εικονα!Το 95% που γινεται λιγοτερο απο 2%! Που σημαινει οτι η πιθανοτητα να ειναι αρνητικος στον ιο ειναι μεγαλυτερη απο 98%! Μεγαλυτερη δηλ.κι απο αυτους που διαγνωστηκαν αρνητικοι?Οχι.Διοτι εξισου εντυπωσιακα μικροτερη ειναι η πιθανοτητα αυτοι που διαγνωστηκαν αρνητικοι,να ειναι τελικα θετικοι στον ιο,απο το 5% που φαινεται με το τεστ.Απλα αν το δουμε ως ποσοστο επι τοις 100 δεν φαινεται τοσο εντυπ σιακο,δεν γινεται αντιληπτο το μεγεθος της διαφορας.
Ας δουμε ομως πρωτα με πιο ευκολοκατανοητο,αποδεκτο απο το μυαλο τροπο πως προκυπτει τοσο μικρο ποσοστο για τον Γιαννη.Ας υποθεσουμε οτι η πολη του Γιαννη εχει 20000 κατοικους.Αφου μονο το 0,1% προσβαλεται,δηλ 1 τοις χιλιοις,οι θετικοι στον ιο αναμενεται να ειναι 20 ατομα.Τωρα,αν ολοι οι κατοικοι κανουν το τεστ,οπως και συνισταται θα προκυψοην 2 λιστες.Η λιστα με αυτους που διαγνωστηκαν θετικοι και η λιστα με αυτους που διαγνωστηκαν αρνητικοι στον ιο. Ο Γιαννης βρεθηκε στην λιστα των θετικων στον ιο.
Ας δουμε τωρα ομως πως προκυπτει ο αριθμος της καθε λιστας.Ο αριθμος της λιστας των θετικων,ειναι το αθροισμα των θετικων στον ιο που διαγνωστηκαν σωστα,συν των αρνητικων στον ιο που διαγνωστηκαν λαθος.Ειναι δηλ.
20*0,95+19980*0,05=
=19+999=1018.
Ο Γιαννης βρισκεται στην λιστα των 1018 διεγνωσμενων θετικων. Απ'τους 1018 ομως της λιστας μονον οι 19 ειναι οντως θετικοι. Αρα η πιθανοτητα του να ειναι θετικος ειναι 19/1018= 1,8664%.
Παμε τωρα να δουμε πως προκυπτει η λιστα αυτων που διαγνωστηκαν αρνητικοι.Παρομοιως ειναι το αθροισμα οσων διαγνωστηκαν σωστα αρνητικοι συν των θετικων που απο λαθος διαγνωστηκαν αρνητικοι. Ειναι δηλ.
19980*0,95+20*0,05=
=18981+1=18982.
Οποτε καποιος που διεγνωσθη αρνητικος η πραγματικη πιθανοτητα να ειναι οντως αρνητικος ειναι 99,9947%.
Η πιθανοτητα να ειναι τελικα θετικος ειναι 0,0053%.
Δεν φαινονται εντυπωσιακες οι διαφορες αν τις δουμε ως ποσοστα επι τοις 100 ,οπως το 95% που γινεται 1,8664%.
Αν αναλογιστουμε ομως πως το οχι ευκαταφρονητο ποσοστο αυτου που διεγνωσθη αρνητικος να ειναι τελικα θετικος, το 5% δηλ.που σημαινει 1 στα 20, μια στις 20 δηλ.γινεται μολις 1 στα 18982 αντιλαμβανομαστε καλυτερα την διαφορα.Μαλιστα ενω δεν ειναι τοσο εντυπωσιακη η διαφορα ειναι αντιστροφως εδω,γυρω στις 20 φορες μικροτερη απο την πιθανοτητα που ειχε να φερει τον ιο πριν του βγει το τεστ αρνητικο.Και γυρω στις 1000 φορες μικροτερη απο την πιθανοτητα που φαινεται αφου του βγηκε το τεστ αρνητικο.Για να γινει ακομη πιο κατανοητο το μεγεθος,ειναι ακριβως οση διαφορα υπαρχει να ανακοινωσουν σε μια μικρη ταξη 20 ατομων οτι καποιος ειναι θετικος στον ιο απο οτι να ανακοινωσουν το ιδιο σε μια πολη 18982 ατομων.Υπαρχει μια μικρη διαφορα νομιζω.
Συνεπως στην 1η περιπτωση αυξανει μεν η πιθανοτητα να ειναι θετικος αλλα οχι τοσο δραματικα οσο δειχνει το 95% της αξιοπιστιας του τεστ, ενω στην 2η περιπτωση ελαχιστοποιειται το ενδεχομενο να ειναι θετικος εντυπωσιακα περισσοτερο απο αυτο που δειχνει το 5%.
Μόνο για μέλη: Γράψτε την απάντησή σας