1. Ορίζουμε σαν S το παρακάτω άθροισμα απείρων όρων:
$$ S = \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\dots $$
2. Ομαδοποιούμε τους όρους του αθροίσματος με τον εξής τρόπο:
$$ S = \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{10}\right)-\dots $$
3. Κάνουμε τις πράξεις εντός των παρενθέσεων:
$$ S = \frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\dots $$
4. Βγάζουμε κοινό παράγοντα το 1/2:
$$ S = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\dots\right) $$
5. Αυτό που έμεινε μέσα στην παρένθεση είναι το αρχικό μας S. Άρα μπορούμε να γράψουμε:
$$ S = \frac{1}{2}S $$
6. Από την πιο πάνω ισότητα προκύπτει ότι:
$$ 1 = 2 $$
Πού βρίσκεται το λάθος στην παραπάνω συλλογιστική;
Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
sf, stratos, daskalos1971, MrKitsos, Θανάσης Παπαδημητρίου, swt, batman1986, Michalis, Χρήστος Ευθυμίου, kraptaki, Nikos Stamatiou, Διας Π, Antonios Seretis, theo, skmmcj, Tamy, John Salt, KiraDesu, Kordas Antonis, saxon, Kris Geo
Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
sf, stratos, daskalos1971, MrKitsos, Θανάσης Παπαδημητρίου, swt, batman1986, Michalis, Χρήστος Ευθυμίου, kraptaki, Nikos Stamatiou, Διας Π, Antonios Seretis, theo, skmmcj, Tamy, John Salt, KiraDesu, Kordas Antonis, saxon, Kris Geo
53 σχόλια:
@sf: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.
@Γ. Κ.: Δεν ισχύει αυτό που γράφεις.
@riddler: Θα μπει σε μια παρένθεση μαζί με το 1/14 και θα είναι ο 10ος όρος της σειράς.
@riddler: Όχι, δεν συμβαίνει αυτό.
@stratos: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.
@riddler: Δεν συμβαίνει ούτε αυτό.
@daskalos1971: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.
@MrKitsos: Σωστό.
@Θανάσης Παπαδημητρίου: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.
@Χρήστος Κάλλης: Σωστά αυτά που γράφεις. Πρέπει όμως να εξηγήσεις γιατί συμβαίνει αυτό που αναφέρεις στην δεύτερη πρότασή σου.
@riddler: Αν θέλεις στείλε μου το email σου να σου γράψω σε τι δεν συμφωνώ μαζί σου.
@Nikos Stamatiou: Σωστά, αλλά θα πρέπει να εξηγήσεις τον λόγο που συμβαίνει αυτό.
@swt: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.
@batman1986: Η δεύτερη απάντησή σου ήταν σωστή.
@Ran-tan-plan: Αυτό που γράφεις δεν αποτελεί εξήγηση του παραδόξου. Παίρνεις σαν δεδομένο το λανθασμένο αποτέλεσμα, βάσει αυτού οδηγείσαι σε ένα νέο λάθος και στο τέλος συμπεραίνεις πως αφού κατέληξες σε λάθος τότε υπάρχει πρόβλημα στην απόδειξη. Το επιχείρημά σου δηλαδή είναι κυκλικό. Πρέπει να βρεις τι ακριβώς δεν πηγαίνει καλά στην απόδειξη που παρουσιάζω.
@Steli0s1: Δεν είναι αυτή η εξήγηση του παραδόξου.
@Chris Stavropoulos: Καλημέρα. Η δεύτερη πρότασή σου είναι λανθασμένη. Μπορεί να συμβεί αυτό που αναφέρεις.
@Michael: Δεν είναι σωστό αυτό που γράφεις. Επιτρέπεται, χωρίς να συμβαίνει πάντα αυτό που αναφέρεις.
@Michalis: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.
@Χρήστος Ευθυμίου: Σύμφωνοι. Το πιάνω σωστό.
@kraptaki: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.
@Nikos Stamatiou: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.
@harry_potter: Σωστά όσα γράφεις. Θα πρέπει επίσης να βρεις με ποιο τρόπο έχω κάνει αυτό που αναφέρεις.
@Χρήστος Κάλλης: Δεν με κάλυψες. Δεν μπορώ όμως να εκφράσω αντίλογο δημόσια, γι αυτό αν θέλεις να το συζητήσουμε περισσότερο γράψε μου το email σου.
@Χρήστος Κάλλης: ΟΚ, όποτε θέλεις στείλε μου email.
@harry_potter: Αν θέλεις γράψε μου το email σου να σου πω τι εννοώ.
@Διας Π: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.
@harry_potter: Χρόνια πολλά. Σου είχα ζητήσει το email σου. Αν μου το έστειλες, δεν το έλαβα. Στείλτο μου πάλι ή στείλε μου ένα email εσύ.
@Antonios Seretis: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.
@Steli0s1: Σωστό. Πώς ακριβώς όμως συμβαίνει αυτό;
@theo: Πολύ σωστά όσα γράφεις. Όμως με ποιον ακριβώς τρόπο επιτυγχάνω εγώ αυτό που λες;
@theo: Κατά κανόνα δεν συμβαίνει αυτό που γράφεις. Στείλε μου αν θέλεις το email σου να σου γράψω περισσότερα.
@theo: Αυτό περίμενα να μου πεις! Τώρα το πιάνω σωστό.
@skmmcj: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.
@Konstantinos Anesiadis: Σωστό αυτό που γράφεις αλλά δεν θεωρώ ότι εξηγείς πλήρως το παράδοξο. Αν θέλεις γράψε μου το email σου να σου πω περισσότερα.
@james: Δεν είναι σωστά αυτά που γράφεις και σίγουρα δεν αποτελούν την εξήγηση του παραδόξου. Το αποτέλεσμα στο παράδειγμά σου είναι όντως 3 και το αποτέλεσμα στην τελευταία εξίσωση είναι όντως x=1, όσο ήταν και το αρχικό x, γραμμένο διαφορετικά, αλλά ίσο.
@Ανώνυμος την 6/8/2018: Γιατί όχι;
@Tamy: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.
@John Salt: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.
@ΧΡ.ΧΑΣΑΝΕΑΣ: Δεν είναι αυτός ο βαθύτερος λόγος που δημιουργείται το παράδοξο αποτέλεσμα.
@ΘΩΜΑΣ ΘΩΜΑΙΔΗΣ: Σύμφωνοι. Πες μου όμως και γιατί το νέο άθροισμα προκύπτει το μισό από το αρχικό.
@aris: Δεν ήταν σωστή η απάντησή σου.
@KiraDesu: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.
@Kordas Antonis: Δεν ισούται η σειρά S με τον αριθμό που γράφεις.
@Kordas Antonis: Όχι.
@kakkalos: Δεν εντοπίζεται το λάθος στο σημείο που αναφέρεις.
@Kordas Antonis: Ναι, το βρήκες, μπράβο.
@ellinas109: Όχι, το βήμα που αναφέρεις είναι σωστό.
@ellinas109: Όχι, δεν είναι εκεί το πρόβλημα.
@ellinas109: Επιτρέπεται.
@saxon: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.
@ΧΡΗΣΤΟΣ Κ: Δεν ήταν σωστή η απάντησή σου.
@Kris Geo: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.
Μόνο για μέλη: Γράψτε την απάντησή σας