15 μυρμήγκια περπατούν πάνω σε ένα ίσιο κλαδί μήκους 1 μέτρου με σταθερή ταχύτητα 10 εκατοστά το δευτερόλεπτο. Μπορούν να κινούνται είτε προς τα αριστερά είτε προς τα δεξιά. Κάθε φορά που συναντιόνται δύο μυρμήγκια αλλάζουν αμέσως και τα δύο κατευθύνσεις. Αν φτάσουν σε μία από τις δύο άκρες του κλαδιού πέφτουν. Ποιος είναι ο μέγιστος χρόνος που θα απαιτηθεί για να πέσουν όλα από το κλαδί; Μπορείτε να το αποδείξετε;
Δευτέρα 1 Αυγούστου 2016
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
1 σχόλιο:
Λύση:
Ο μέγιστος χρόνος που θα απαιτηθεί είναι 10 δευτερόλεπτα και μια ωραία απόδειξη είναι η ακόλουθη: Ας υποθέσουμε ότι κάθε μυρμήγκι κρατάει μία σημαία. Κάθε φορά που συναντιέται με ένα άλλο μυρμήγκι, ανταλλάσσουν μεταξύ τους σημαίες. Με αυτόν τον τρόπο κάθε σημαία κινείται προς μία μόνο κατεύθυνση. Έτσι κάθε σημαία θα κινείται με ταχύτητα 10 εκατοστά το δευτερόλεπτο προς κάποια άκρη του κλαδιού. Το μέγιστο χρονικό διάστημα που μπορεί να παραμείνει μια σημαία πάνω στο κλαδί είναι όταν ξεκινάει από τη μία άκρη του και πέφτει στην άλλη. Άρα σε 10 δευτερόλεπτα θα έχουν πέσει όλες οι σημαίες από το κλαδί. Αφού κάθε μυρμήγκι κρατάει κάθε στιγμή μία σημαία, σε 10 δευτερόλεπτα θα έχουν πέσει και όλα τα μυρμήγκια από το κλαδί.
Μόνο για μέλη: Γράψτε την απάντησή σας