Έχουμε δύο ίδια γεμάτα φλιτζάνια. Το ένα περιέχει τσάι και το άλλο καφέ. Παίρνουμε μία κουταλιά τσάι, την ρίχνουμε στον καφέ και ανακατεύουμε. Μετά παίρνουμε μία κουταλιά από το μείγμα και την ρίχνουμε στο τσάι. Το φλιτζάνι με το τσάι θα περιέχει περισσότερο καφέ ή το φλιτζάνι με τον καφέ περισσότερο τσάι;
Τετάρτη 4 Νοεμβρίου 2009
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
19 σχόλια:
Λύση :
Θα περιέχουν ακριβώς την ίδια αναλογία και τα δύο αντίστοιχα. Αφού μετά τις μετακινήσεις και τα δύο φλιτζάνια συνεχίζουν να περιέχουν την ίδια ποσότητα υγρού, όσο τσάι αφαιρέθηκε από το πρώτο, τόσος καφές πρέπει να προστέθηκε και το αντίστροφο.
Εφόσον η κουταλία με το τσάι πέρασε πρώτη στο φλυντζάνι με τον καφέ και αναμείχθηκαν, όταν πήραμε μία κουταλιά από τον καφέ, μέσα υπήρχε και τσάι. Άρα στον καφέ υπάρχει λιγότερη ποσότητα τσάι απ' ότι καφέ στο τσάι
Όπως λες, όταν πήραμε μία κουταλιά από τον καφέ, μέσα υπήρχε και τσάι. Αυτή η μικρή ποσότητα τσαγιού επέστρεψε στο φλιτζάνι της. Αυτό όμως σημαίνει πως υπήρχε λιγότερος χώρος στο κουτάλι για καφέ. Έτσι, μετά τις μεταγγίσεις, το φλιτζάνι με τον καφέ θα περιέχει λίγο λιγότερο από μια κουταλιά τσάι και το φλιτζάνι με το τσάι λίγο λιγότερο από μια κουταλιά καφέ.
Εναλλακτικά, σκέψου πως όταν θα κάνουμε και τη δεύτερη μετάγγιση τα δύο φλιτζάνια θα έχουν μέσα την ίδια ποσότητα υγρού. Αυτό αναγκαστικά σημαίνει πως θα έχουν και την ίδια αναλογία σε καφέ και τσάι αλλά αντίστροφα. Π.χ. αν το πρώτο φλιτζάνι μετά τις μεταγγίσεις περιέχει 98% τσάι και 2% καφέ, τότε αναγκαστικά το δεύτερο φλιτζάνι θα περιέχει 98% καφέ και 2% τσάι.
Ο ΚΑΦΕΣ ΗΤΑΝ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΟΣ ΓΙΑΤΙ ΕΧΕΙ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ ΠΥΚΝΩΤΗΗΤΑ
@Ανώνυμος: Μετράμε τους όγκους των δύο υγρών όχι τις πυκνότητες.
Θεώρησα ότι αφού είναι γεμάτα, τότε στην 1 μετακίνηση το κουτάλι με το τσάι δεν θα ξεπεράσει το όριο οπότε θα χυθεί έξω, επόμενος στη 2 φάση το ποτήρι με το τσάι είναι πχ στο 98% άρα το κουταλι από το υποτιθέμενο μίγμα καφε θα χωρέσει στο ποτήρι με το τσάι. Επόμενος το ποτήρι κε το τσάι είναι 98% τσάι και 2% καφέ ενώ το ποτήρι με τον καφέ είναι 98% από καφέ
@Ανώνυμος: Δεν αναφέρεται όμως πως τα φλιτζάνια είναι ξεχειλισμένα. Η συνήθης κατάσταση ενός φλιτζανιού με καφέ είναι να έχει χώρο για αρκετές κουταλιές ακόμα.
λαθος απαντησεις δινεται στους γριφους..ΔΕΝ θα εχουν το ΙΔΙΟ..απο χημεια δεν ξερετε...απο αραιωση και συγκεντρωση??....εφοσον αραιωνονται κ μολυνονται τα δυο διαλυματα δεν ειναι να εχουν την ιδια συγκεντρωση κ περιεκτικοτητα σε καφα η τσαι αντιστοιχα...η σωστη απαντηση ειναι οτι το φλιτζανι με το καφε θα εχει περισσοτεερο τσαι....
@xalkidas: Στην αραίωση δεν μεταβάλλεται η περιεκτικότητα της μίας ουσίας μέσα στην άλλη. Μεταβάλλεται μόνο η συγκέντρωσή της επειδή αυξάνεται ο όγκος.
Διάβασε ξανά το πρόβλημα και τη λύση που δίνω προσεκτικά.
στον καφε βαλαμε μια κουταλια τσαι αλλα η κουταλια που βαλαμε στο τσαι ηταν μειγμα καφε και τσαι αρα δεν ηταν ολοκληρη καφες αρα ο καφες δεν πειεχει πιο πολυ τσαι αποτι το τσαι καφε?
@Ανώνυμος: Όχι. Αφού η κουταλιά του καφέ είχε μέσα και λίγο τσάι, σημαίνει πως αυτό το τσάι γύρισε πίσω στο φλιτζάνι του.
απο τους ωραιοτερους γριφους
μου πηρα αρκετη ωρα αλλα τελικα ο pantsik εχει δικιο
Πολυ καλος γριφος, κυριως επειδη σε μπερδευει ενω δε θα 'πρεπε!
Με ενα παραδειγμα η λυση γινεται πιο φανερη:
Εστω οτι αρχικα στα φλιτζανια εχουμε 100 μλ τσαι και 100μλ καφε αντιστοιχα.
1. Παιρνουμε 10 μλ τσαι απο το πρωτο και τα ριχνουμε στο δευτερο.
-> Πλεον εχουμε 90μλ τσαι στο πρωτο καιστο δευτερο 110μλ εκ των οποιων 10 τσαι και 100 καφε.
2 Ανακατευουμε.
-> Εχουμε ενα ισοποσο σε περιεκτικοτητα μειγμα με αναλογια 1τσαι προσ 10 καφε
3. Απο το μειγμα αυτο αφαιρουμε μια κουταλια που θα περιεχει 9μλ καφε και 1 μλ τσαι και την ριχνουμε πισω στο πρωτο φλιτζανι.
-> Αρα το πρωτο φλιτζανι τωρα εχει 90+1 = 91μλ τσαι και 9 μλ καφε (η υπολοιπη κουταλια). Το δευτερο εχει 10-1 = 9μλ τσαι (εφοσον πριν ειχε 10μλ και η κουταλια αφαιρεσε 1) και 91μλ καφε (εφοσον ειχε 100μλ καφε και η κουταλια αφαιρεσε 9).
Τελικο αποτελεσμα: 1ο φλιτζανι 91μλ τσαι/9μλ καφε,
2ο φλιτζανι 91μλ καφε, 9μλ τσαι
x=καφές και y=τσάι και K = 1 κουταλιά(μην σας ενδιαφέρει το μέγεθος βάλτε z μέγεθος αν θέλετε)
χ0 = y0 (από τα δεδομένα) (1),
Περνούμε μια κουταλιά τσάι και την προσθέτουμε στον καφέ και ανακατεύουμε, άρα προκύπτουν οι έξεις σχέσεις:
x1 = x0 + K, και
y1 = y0 - K (2)
Στην συνέχεια παίρνουμε μια κουταλιά από το μείγμα (τον καφέ με το τσάι δηλαδή το x1),
Άρα προκύπτουν οι έξεις νέες σχέσεις:
x2 = x1 - K και y2 = y1 + K από την σχέση (2) αντικαθιστούμε τα x1 και y1
x2 = (x0+K)-K <=> x2 = x0 και y2 = (y0 - K)+K <=> y2 = y0 από σχέση (1) έχουμε ότι x0 = y0 άρα θα είναι ίσα τα δυο νέα μείγματα.
Άρα x2 = y2.
Ωραια η αποδειξη του "@Ανώνυμος" , αλλα νομιζω δεν ειναι μαθηματικη αποδειξη του προβληματος.Ειναι μαθηματικη αποδειξη,μεν αλλα για το οτι αν παρουμε ενα κουταλακι τσαι και το βαλουμε στο φλυτζανι με τον καφε και μετα απ'το ποτηρι με τον καφε παρουμε ενα κουταλακι και το βαλουμε σε αυτο με το τσαι θα περιεχουν την ιδια ποσοτητα τα δυο φλυτζανια.Χαιρω πολυ.Αυτο το ξερουν,και δεν ειναι σχημα λογου,ακομη και οι σκυλοι και οι γατες.Καποιες προσθαφαιρεσεις με μικρους αριθμους ειναι ικανοι να κανουν.Μου θυμιζει,καπου που διαβασα αν θυμαμαι,καλα μια μαθηματικη αποδειξη νομιζω για το οτι 2+1 μας κανει 3.Ειχε παρει νομιζω και το αντιστοιχο του νομπελ για μαθηματικα ο τυπος.Δεν σνομπαρω την μαθηματικη αποδειξη του ,απλα δεν ζητα το προβλημα να αποδειξουμε αν ειναι ίσα τα δυο νέα μείγματα,που προφανως και ειναι,ουτε οι σκυλοι και οι γατοι δεν μπερδευονται κι εχουν αμφιβολια γι'αυτο,αλλα αν η ποσοτητα του καφε στο ενα ποτηρι ειναι ιδια με την ποσοτητα του τσαγιου στο αλλο ποτηρι.Και δεν βλεπω να αποδεικνυεται με καποιον τροπο αυτο.Που στο κατω κατω αυτο ειναι που μπερδευει τους ανθρωπους και ειναι μια δοκιμασια της λογικης κατι παραπανω απ'την λογικη που χρειαζεται για να καταλαβεις οτι αν ξαναεπιστρεψεις την κουταλια που πηρες απ'το φλιτζανι με το τσαι εχουν την ιδια ποσοτητα παλι τα φλυτζανια,πραγμα που οπως ξαναειπα ακομη το αντιλαμβανονται ακομοι και σκυλοι που δεν ειναι τοσο καλοι στα μαθηματικα,ακομη και ο Γκουφυ...
Παντως πολυ σωστα το βαλατε στην κατηγορια "λογικης" διοτι σε τελικη αναλυση απλη λογικη χρειαζεται για να το αντιληφθεις και νομιζω οτι ακομη κι ενας εξυπνος σκυλος ή και κορακι με λιγη προσπαθεια ισως το αντιλαμβανοταν.Εχει κορακια παντως που ειχαν την λογικη,τους εκοψε δηλ., να βρουν λυσεις σε δοκιμασιες που αμφιβαλω αν πολλοι ανθρωποι θα εβρισκαν την λυση και θα τους εκοβε...
@Ανώνυμος την 2/1/2019: Ναι, μια καλύτερη φυσική απόδειξη ίσως είναι η πιο κάτω:
Θέτω τα εξής:
ΦΤ= περιεκτικότητα φλιτζανιού τσαγιού
ΦΚ= περιεκτικότητα φλιτζανιού καφέ
Τ= μονάδες μέτρησης όγκου τσαγιού
Κ= μονάδες μέτρησης όγκου καφέ
Για να διαβάζεται ευκολότερα η απόδειξη θέτω 100 μονάδες την αρχική περιεκτικότητα του κάθε φλιτζανιού και 1 μονάδα την περιεκτικότητα του κουταλιού.
Τα x και y που χρησιμοποιώ πιο κάτω είναι οι όγκοι του τσαγιού και του καφέ που τυγχάνει να πιάσει το κουταλάκι στη δεύτερη μεταφορά που κάνει. Η απόδειξη δηλαδή λειτουργεί ακόμα και αν δεν έχει γίνει καλή ανάμειξη μεταξύ των δύο υγρών και το κουτάλι πιάσει οποιαδήποτε αναλογία τσαγιού και καφέ.
Μιας και η περιεκτικότητα του κουταλιού είναι 1 μονάδα όγκου, ισχύει ότι x+y=1, μια σχέση που την ονομάζω (1) και θα τη χρησιμοποιήσω δύο φορές πιο κάτω. Έχουμε λοιπόν:
Αρχική κατάσταση:
ΦΤ = 100Τ
ΦΚ = 100Κ
Το κουταλάκι πιάνει όγκο 1Τ από το φλιτζάνι του τσαγιού και τον μεταφέρει στο φλιτζάνι του κάφέ:
ΦΤ = 99Τ
ΦΚ = 100Κ + 1Τ
Το κουταλάκι πιάνει όγκο xΤ + yK από το φλιτζάνι του καφέ και τον μεταφέρει στο φλιτζάνι του τσαγιού:
ΦΤ = 99Τ + (xΤ + yK) = (99+x)Τ + yK = (100-y)T + yK {από την (1)}
ΦΚ = 100Κ + 1Τ - (xΤ + yK) = (100-y)K + (1-x)T = (100-y)K + yT {από την (1)}
Βλέπουμε δηλαδή πως τελικά το φλιτζάνι του τσαγιού περιέχει y ποσότητα καφέ και το φλιτζάνι του καφέ περιέχει y ποσότητα τσαγιού.
Κάποτε είπα στην κόρη μου που διάβαζε για τις πανελλήνιες, ότι σε πολλά προβλήματα μαθηματικών η λύση είναι η απλη μέθοδος των τριών (πιστεύω γνωστή σε όλους). Κάνω αυτήν την εισαγωγή για να αποδείξω το ορθό της λύσης (ίδια αναλογία). Έστω 100ml τσαι στο ένα φλυτζάνι και 100ml καφέ στο άλλο. Παίρνουμε μια κουταλιά (έστω 10ml) τσάι και την ρίχνουμε στον καφέ. Έχουμε λοιπόν ένα μείγμα 110ml με αναλογίες ως εξής: Στα 110ml μείγματος έχουμε 100ml καφέ και 10ml τσάι. Στα 10ml (όσο και η κουταλιά που θα μεταφερουμε) πόσο καφέ και πόσο τσάι έχουμε; Με απλή μέθοδο τριών (εξ ου και η εισαγωγή) προκύπτει ότι η κουταλιά (10ml) μείγματος που μεταφέρουμε στο φλυτζάνι με το τσάι περιέχει 0,9090....ml τσάι και 9,0909....ml καφέ. Άρα στο πρώτο φλυτζάνι (100ml όσο 10 κουταλάκια) έμειναν 9,0909 x 10 = 90,9090...ml καφές και 0,9090 x 10 = 9,0909...ml τσάι. Στο δεύτερο φλυτζάνι που είχε 90 ml τσάι μεταφέρθηκαν 0,9090ml τσάι και 9,0909...ml καφές. Άρα οι αναλογίες είναι ίδιες.
Μόνο για μέλη: Γράψτε την απάντησή σας