Έχουμε ένα τετράγωνο πλευράς 1 μέτρου και πρέπει να ενώσουμε με το μολύβι τις δύο απέναντι κορυφές του. Μπορούμε μόνο να φέρνουμε ευθύγραμμα τμήματα, όσο μικρά θέλουμε, που όμως πρέπει να είναι παράλληλα ή κάθετα με τις πλευρές του τετραγώνου.
Ο πιο απλός τρόπος είναι να φέρουμε πρώτα μια ευθεία πάνω στη βάση του και μετά μία πάνω στο ύψος του. Έτσι το συνολικό μήκος της γραμμής που φέραμε είναι 2 μέτρα.
Είναι αξιοσημείωτο ότι όσο μικρά κι αν είναι τα ευθύγραμμα τμήματα που φέρνουμε, το συνολικό τους μήκος είναι πάντα 2 μέτρα, όπως φαίνεται στο σχήμα για τμήματα που ισούνται με το 1/5 και το 1/20 της πλευράς του τετραγώνου.
Για τμήματα ίσα με το 1/100 της πλευράς ή ακόμα μικρότερα, ουσιαστικά έχουμε φέρει τη διαγώνιο του τετραγώνου. Πως γίνεται όμως το συνολικό μήκος της γραμμής μας να είναι 2 μέτρα, αφού ως γνωστόν το μήκος της διαγωνίου είναι ρίζα 2 ;
Ο πιο απλός τρόπος είναι να φέρουμε πρώτα μια ευθεία πάνω στη βάση του και μετά μία πάνω στο ύψος του. Έτσι το συνολικό μήκος της γραμμής που φέραμε είναι 2 μέτρα.
Είναι αξιοσημείωτο ότι όσο μικρά κι αν είναι τα ευθύγραμμα τμήματα που φέρνουμε, το συνολικό τους μήκος είναι πάντα 2 μέτρα, όπως φαίνεται στο σχήμα για τμήματα που ισούνται με το 1/5 και το 1/20 της πλευράς του τετραγώνου.
Για τμήματα ίσα με το 1/100 της πλευράς ή ακόμα μικρότερα, ουσιαστικά έχουμε φέρει τη διαγώνιο του τετραγώνου. Πως γίνεται όμως το συνολικό μήκος της γραμμής μας να είναι 2 μέτρα, αφού ως γνωστόν το μήκος της διαγωνίου είναι ρίζα 2 ;
2 σχόλια:
Λύση :
Όσο μικρά κι αν είναι τα τμήματα αυτά, δεν επιτρέπεται να ενώσουμε δύο σημεία που βρίσκονται διαγώνια μεταξύ τους σε σχέση με τις πλευρές του τετραγώνου, γιατί τότε δεν θα ήταν η γραμμή μας παράλληλη με κάποια πλευρά του. Έτσι ενώ αυτό το απειροελάχιστο τμήμα της διαγωνίου θα είχε μήκος π.χ. ρίζα 2 μονάδες μέτρησης, εμείς θα αναγκαζόμασταν να ενώσουμε την αρχή και το τέλος του με δύο κάθετα μεταξύ τους τμήματα συνολικού μήκους 2 μονάδων.
Αρα όσο και να μοιάζει η γραμμή μας με τη διαγώνιο του τετραγώνου, στην πραγματικότητα δεν ταυτίζεται με αυτήν, γιατί είναι μια τεθλασμένη γραμμή.
Η απαντηση στη λυση δεν ειναι πολυ καλη. Μια πιο αυστηρη προσεγγιση ειναι: Εστω Δ={καμπυλες συνεκτικες και 1-1 (δεν τεμνουν τον εαυτο τους)}
τοτε η συναρτηση φ:Δ->R g->|g| οπου |g| συμβολιζω το μηκος της καμπυλης g, ΔΕΝ ειναι συνεχεις. Συνεπως ΔΕΝ ισχυει το θεωρημα μεταφορας. Με αλλα λογια μπορει να υπαρχει ακολουθια (gn) καμπυλων που να συγκλινει σε μια g και η ακολουθια (|gn|) να μη συγκλινει στο |g|.
Στο παραδειγμα εχουμε μια ακολουθια τεθλασμενων που συγκλινει στη διαγωνιο αλλα δε θα πρεπει να απαιτουμε να συγκλινουν και τα μηκη τους λογω ασυνεχιας της παραπανω συναρτησης. Δηλαδη οχι μονο δεν ειναι παραδοξο αλλα αναμενομενο.
Αν θες αναλυτικοτερη αποδειξη για την ασυνεχεια στειλε mail prwtoplh8untiko@gmail.com
Μόνο για μέλη: Γράψτε την απάντησή σας