Η Αλίκη και ο Βασίλης τραβάνε στην τύχη από έναν κλειστό φάκελο ο καθένας. Ο οργανωτής του παιχνιδιού τους λέει πως ο κάθε φάκελος έχει μέσα ένα χρηματικό ποσό το οποίο το έχουν ήδη κερδίσει. Τους λέει επίσης ότι ο ένας φάκελος έχει το διπλάσιο ποσό από τον άλλον, χωρίς να τους αποκαλύψει ποιος. Στη συνέχεια τους δίνεται το δικαίωμα αν θέλουν να ανταλλάξουν μεταξύ τους φακέλους.
Η Αλίκη υπολογίζει το κέρδος που αναμένεται να έχει αν δεχτεί να αλλάξει φακέλους ως εξής:
Αν x είναι το ποσό που έχει μέσα ο φάκελός της, τότε με πιθανότητα 1/2 διπλασιάζει το ποσό της, οπότε θα έχει κέρδος x, ενώ με πιθανότητα 1/2 υποδιπλασιάζει το ποσό της, οπότε θα έχει κέρδος -x/2. Σύμφωνα με αυτόν τον συλλογισμό το αναμενόμενο κέρδος της είναι:
(1/2) * x + (1/2) * –x/2 = x/4.
Άρα έχει 25% αναμενόμενο κέρδος αν αλλάξει φακέλους και συνεπώς δέχεται να κάνει την αλλαγή.
Τον ίδιο συλλογισμό κάνει και ο Βασίλης από τη δική του πλευρά και καταλήγει φυσικά στο ίδιο συμπέρασμα, ότι δηλαδή τον συμφέρει κι αυτόν να αλλάξει φακέλους.
Έτσι πραγματοποιείται η αλλαγή. Πριν όμως ανοίξουν τους φακέλους τους και αποκαλυφθούν τα ποσά που κρύβουν, η Αλίκη επαναλαμβάνει τον συλλογισμό της και βρίσκει πως η εκ νέου αλλαγή φακέλων θα της αποφέρει ένα επιπλέον κέρδος λίγο μεγαλύτερο του 25%, το οποίο προκύπτει αν αντί του x στον τύπο βάλουμε το x + x/4 που είναι το ποσό που αναμένει να έχει τώρα στον φάκελό της. Το ίδιο υπολογίζει και ο Βασίλης, οπότε ξανα-αλλάζουν φακέλους και ο καθένας τους θεωρεί πως τώρα έχει ένα αναμενόμενο κέρδος λίγο μεγαλύτερο του 50%. Με το ίδιο σκεπτικό συνεχίζουν να αλλάζουν φακέλους μέχρι να γίνουν και οι δύο πάμπλουτοι.
Στην παραπάνω λογική κάτι πρέπει να πηγαίνει τελείως λάθος, αλλά τι ακριβώς;
Η Αλίκη υπολογίζει το κέρδος που αναμένεται να έχει αν δεχτεί να αλλάξει φακέλους ως εξής:
Αν x είναι το ποσό που έχει μέσα ο φάκελός της, τότε με πιθανότητα 1/2 διπλασιάζει το ποσό της, οπότε θα έχει κέρδος x, ενώ με πιθανότητα 1/2 υποδιπλασιάζει το ποσό της, οπότε θα έχει κέρδος -x/2. Σύμφωνα με αυτόν τον συλλογισμό το αναμενόμενο κέρδος της είναι:
(1/2) * x + (1/2) * –x/2 = x/4.
Άρα έχει 25% αναμενόμενο κέρδος αν αλλάξει φακέλους και συνεπώς δέχεται να κάνει την αλλαγή.
Τον ίδιο συλλογισμό κάνει και ο Βασίλης από τη δική του πλευρά και καταλήγει φυσικά στο ίδιο συμπέρασμα, ότι δηλαδή τον συμφέρει κι αυτόν να αλλάξει φακέλους.
Έτσι πραγματοποιείται η αλλαγή. Πριν όμως ανοίξουν τους φακέλους τους και αποκαλυφθούν τα ποσά που κρύβουν, η Αλίκη επαναλαμβάνει τον συλλογισμό της και βρίσκει πως η εκ νέου αλλαγή φακέλων θα της αποφέρει ένα επιπλέον κέρδος λίγο μεγαλύτερο του 25%, το οποίο προκύπτει αν αντί του x στον τύπο βάλουμε το x + x/4 που είναι το ποσό που αναμένει να έχει τώρα στον φάκελό της. Το ίδιο υπολογίζει και ο Βασίλης, οπότε ξανα-αλλάζουν φακέλους και ο καθένας τους θεωρεί πως τώρα έχει ένα αναμενόμενο κέρδος λίγο μεγαλύτερο του 50%. Με το ίδιο σκεπτικό συνεχίζουν να αλλάζουν φακέλους μέχρι να γίνουν και οι δύο πάμπλουτοι.
Στην παραπάνω λογική κάτι πρέπει να πηγαίνει τελείως λάθος, αλλά τι ακριβώς;
4 σχόλια:
Λύση:
Το λάθος είναι πως στον πρώτο όρο του τύπου υπολογισμού του κέρδους [(1/2) * x], η Αλίκη θεωρεί το ποσό x σαν να ήταν το μικρό ποσό που αν διπλασιαστεί δίνει κέρδος x και στον δεύτερο όρο του τύπου [(1/2) * –x/2], η Αλίκη θεωρεί το ποσό x σαν να ήταν το μεγάλο ποσό που αν υποδιπλασιαστεί δίνει ζημία x/2.
Η διπλή τιμή που αποδίδει η Αλίκη στο x είναι ο λόγος που καταλήγει εσφαλμένα σε θετική απόδοση.
Ο σωστός τρόπος υπολογισμού του κέρδους είναι πρώτα να θέσει σαν x το μικρό ποσό και σαν 2x το μεγάλο. Αν αλλάξει φακέλους τότε έχει πιθανότητα 1/2 να έχει το μικρό ποσό (x), οπότε το κέρδος της θα είναι x και πιθανότητα 1/2 να έχει το μεγάλο ποσό (2x), οπότε το κέρδος της θα είναι –x. Άρα το αναμενόμενο κέρδος της είναι:
(1/2) * x + (1/2) * –x = 0
Αυτό σημαίνει πως δεν μπορεί να περιμένει ούτε κέρδος ούτε ζημιά από την ανταλλαγή φακέλων, οπότε το αν θα δεχθεί να αλλάξει ή όχι εξαρτάται από τη διάθεσή της να ρισκάρει το ποσό που έχει μέσα ο φάκελός της.
Η Αλίκη ΔΕΝ αποδίδει διπλή τιμή στο χ-διπλό ρόλο μεν αλλά αυτό δεν απαντάει σε ΤΙΠΟΤΑ το παράδοξο.Η λύση είναι λάθος!!!!Εάν η Αλίκη είχε πάρει το φάκελο και τον είχε ανοίξει και έβλεπε ότι είχε 1000 ευρώ πάλι το ίδιο δεν θα ίσχυε;Ο αντίπαλος ή θα είχε 500 ή 2000.1/2*500+1/2*2000=1250.Άρα πάλι αναμενόμενο κέρδος από την ανταλλαγή με αυτό το συλλογισμό θα είχε άλλο αν δεν θα συνέχιζε μετά.Με τη λογική του παράδοξου ακόμα και χωρίς τις εσ αει ανταλλαγές όταν βάζει ως μεταβληή τα δικα της χρήματα θέλει ανταλλαγή,όταν βάλει ως μεταβλητή τα χρήματα του άλλου πστεύε ότι η ανταλλαγή είναι ζημιογόνα...
Για να λύθει το παράδοξο πρέπει να παρθεί αλλιώς.Έχουμε 3χ τα χρήματα που μοιράζει η εκπομπή ή το παιχνίδι.Η Αλίκη έχει 1/2 να είναι στο φάκελό της 2χ 1/2 να είναι χ.Το ποσό που έχει στο φάκελό της το ονομάζουμε Υ με μέση τιμή 3χ/2.Ο αντίπαλος θα έχει ή 2Υ ήΥ/2.Και εδώ θέλει προσοχή,ας πούμε Υ΄ τη μεταβλητή του αντιπάλου.
Το χ πιθανολογικά πάλι έχει και εκείνο μέση τιμή ως προς Υ.μέση τιμή για
χ=1/2*1/2*Υ+1/2*Υ από τα δύο ενδεχόμενα για το Υ δηλαδή χ=3/4Υ.Και έδώ είναι το θέμα.Η μέση τιμή του χ ως προς Υ ΔΕΝ είναι αντίστροφη με του Υ ως προς χ.Ομοίως μέση τιμή Υ΄ Υ΄=5Υ/4 ενώ αντίστοιχα Υ΄=3χ/2
Αυτό μας δείχνει ότι το αναμενόμενο κέρδος ήταν σωστό απλά ήταν σε συνάρτηση κάτι άλλου.Η μέση τιμή του Υ ως προς Υ΄ δεν προσδιορίζει τη σχέση τους με το χ.Η σχέση τους με το χ μένει στο Υ=3χ-Υ΄ Το οποίο βγαίνει με βάση τις μέσες τιμές,Υ=3*3/4Υ-5Υ/4=9Υ/4-5Υ/4=4Υ/4=Υ.
Δηλαδή το λάθος δεν έχει να κάνει με μεταβλήτή που τη μια είναι μεγάλη και την άλλη είναι μικρή.Οι λόγοι των ΥΥ΄ έχουν όντως μέσες τιμές 4/5 και για τους δύο!Αλλά οι πιθανότητες παρμένουν 1 στα δύο όπως σωστά περιγράφεται από κάτω,αλλά η Αλίκη δεν έκανε κανένα λάθος πέρα από το να δει τη σχέση του φακέλου της με το Βασιλή και όχι με τα λεφτά.
@Λευτέρης Παναγιωτάκος: Ο ενθουσιασμός σου για το πρόβλημα είναι θεμιτός αλλά μην βιάζεσαι τόσο να γράψεις πως η λύση που προτείνεται είναι λάθος.
Γράφεις "Η Αλίκη έχει 1/2 να είναι στο φάκελό της 2χ 1/2 να είναι χ". Αυτό ακριβώς γράφω κι εγώ και καταλήγω σε αναμενόμενο όφελος μηδέν. Νομίζω πως η συνέχεια της ανάλυσής σου με το Υ είναι περιττή. Η παραλλαγή που αναφέρεις όπου ο φάκελος της Αλίκης ανοίγει πρέπει να αντιμετωπιστεί διαφορετικά. Δες την εξήγηση που προτείνω εδώ: https://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem#Simple_resolution
Το αναμενόμενο ποσό των 1250 ευρώ που υπολογίζεις για τον φάκελο του Βασίλη νομίζω δεν είναι σωστό εκτός και αν ξέραμε πως το ποσό στον φάκελο του Βασίλη έχει προκύψει από το στρίψιμο ενός νομίσματος. Περισσότερα για τις σκέψεις μου πάνω στις διάφορες παραλλαγές του προβλήματος μπορείς να βρεις εδώ: https://arxiv.org/find/math/1/au:+Tsikogiannopoulos_P/0/1/0/all/0/1
Υπάρχουν και στα ελληνικά στα τεύχη 77-78 και 79-80 της Μαθηματικής Επιθεώρησης που εκδίδεται από την ΕΜΕ.
Βασικά και η δικιά μου η απάντηση δεν είναι πλήρης και τώρα που έχω βρει τη λύση πλήρης θεωρώ ότι είναι ακόμα πιο ωραίο το παράδοξο γιατί τα λάθη του είναι ακόμα πιο καλά κρυμμένα.Ευχαριστώ για το διάλογο,βέβαια, και θα εξηγήσω πρώτα γιατί δεν θεωρώ πλήρης ούτε τη λύση που δίνεται ούτε ακόμα τη δικιά μου λύση έδωσα πριν.Όταν δίνεται ένα παράδοξο στόχος δεν είναι απλά να αποδείξουμε ότι το αποτέλεσμα είναι λάθος,αλλά τί οδηγεί σε αυτό.Πχ.έχουμε ένα παράδοξο που οδηγεί μια ταυτότητα στο 1=2(κλασσικά κάτι πολ/απλασιάζεται με το μηδέν).Θεωρητικά μπορούμε με χρήση απειροστικού να αποδείξουμε ότι 1<2 και ότι ισχύει η αρχική ταυτότητα και να τελειώσουμε εκεί,αλλά θα πρέπει για να λύσουμε το παράδοξο να δείξουμε που έχει γίνει ο πλ/σμός με το μηδέν.(΄Θεωρώντας αξίωμα τον πολ/σμο με το μηδεν)
Ομοίως σε ένα δεύτερο παράδειγμα,έχουμε έναν γρίφο από αυτό το σάιτ που σε ένα σημείο ισχυρίζεται ότι η παράγωγος του (χ+χ+χ..+χ)χ φορές είναι το (1+1+1....+1)χ φορές δηλαδή χ και οδηγεί σε παράδοξο.Δεν φτάνει να πύμε ότι αυτή η παραγώγιση είναι λάθος επειδή υπάρχει το χ φορές,αλλά πρέπει limαρωντας (παίρνωντας το όριο της παραγώγου) δηλαδή να δείξουμε πως η σωστή παραγωγίση ακόμα και του (χ+χ...+χ)χ φορές δηλαδή του χ^2 υπό άλλη μορφή οδηγεί πάλι στο 2χ και ότι η αξιωματική χρήση της παραγώγου στη προκειμένη περίπτωση είναι λάθος.Για αυτό το λόγο δεν φτάνει να πούμε ότι η χ δεν έχει διπλή τιμή,αλλά γιατί δεν έχει και ποια παραδοχή οδηγεί πραγαμτικά στο λάθος του εν προκειμένω γρίφου.
Πάμε τώρα στην πληρέστερη απάντηση που μπορώ να δώσω και θεωρω και σωστή.Ο συλλογισμός της Αλίκης είναι ο εξής -έχω τη παραδοχή ότι 1/2 πιθανότητες να έχω το μισό 1/2 το διπλάσιο.Εγώ μπορώ να θεωρήσω ότι ο φάκελος που έχω έχει ένα ποσό χ.Θεωρώντας ότι το βραβείο μπορεί να είναι όσο μεγάλο θέλει και όσο μικρό θέλει(θετικό κοντα στο 0), για κάθε τιμή του χ τότε οι πιθανότητες για το χ/2 και για το 2χ στον άλλο φάκελο είναι ίσες δηλαδή 1/2.Μόνο και μόνο με αυτή τη παραδοχή μπορώ να θεωρήσω ότι το 2χ και το χ/2 είναι ισοπίθανα δηλαδή ανεξάρτητα τη τιμής του χ.Η πιθανότητα όμως για μια συγκεκριμένη τίμη του χ τότε p(x,χ/2)=p(x,2x) για p(x) διάφορο του μηδενός ομοίως p(2x,x)=p(2x,4x)κτλπ...΄Συνεπώς όλα τα p(x*2^n,x*2^(n+1))είναι ίσα μεταξύ τους άρα p(x,2x)=1/άπειρο δηλαδή μηδέν.Άρα ή p(x) είναι μηδέν ή p(2x)δεδομένου του p(x) είναι μηδεν δηλαδή η παραδοχή ότι ανεξάρτητα από τη τιμή του χ το 2χ και το χ/2 είναι ισοπίθανα οδηγεί στο ότι p(x/2)=0 άρα άτοπο.Αν p(x)=0 για κάθε χ ανήκει στοεύρος των τιμών του χ τότε p(2x)=0 άρα p(2x) δεδομένου του p(x) απροσδιοριστία.Δεν μπορεί να οριστεί πιθανότητα αν το χ μπορεί να πάρει όσο μεγάλη ή όσο μικρή και θετική τιμή θέλει με το μισό και το διπλάσιο παράλληλα να είναι ισοπίθανα για κάθε τιμή.Εάν το δείγμα των του χ είναι άνω φραγμένο ή κάτω φραγμένο με το κάτω φράγμα μια τιμή μεγαλύτερη του μηδενός.Τότε θα υπάρχουν χ τέτοια ώστε το p(x/2)=0 ή το p(2x)=0 Αποδείξαμε ότι δεν μπορεί το 2χ και το χ/2 να είναι ισοπίθανα για κάθε χ,για οποιοδήποτε εύρος του χ.Άρα ο συλλογισμός της Αλίκης είναι λάθος.Η σωστή απάντηση στην συνέχεια έρχεται για μια συγκεκριμένη τιμή του συνολικού βραβείου υπό τον όρο αξιωματικά ότι η συγκεριμένη τιμή έχει πιθανότητα μεγαλύτερη του μηδενός.
Άρα η παραδοχή ότι το διπλάσιο και το μισό είναι ισοπίθανο για κάθε τιμή του χ είναι λάθος που οδηγεί στο παράδοξο.
Μόνο για μέλη: Γράψτε την απάντησή σας