Γίνε μέλος στο grifoi.org

Στους γρίφους με τη σήμανση ".Άλυτοι 1-100" μπορούν να στέλνουν τις λύσεις τους μόνο τα Μέλη του site grifoi.org. Πληροφορίες για το πως θα γίνετε μέλος μπορείτε να διαβάσετε εδώ.

Παρασκευή, 23 Οκτωβρίου 2009

Πιθανοτήτων - Τέσσερα κουτιά με χρήματα (***)

Σε κάποιο τηλεπαιχνίδι ο παρουσιαστής σε βάζει μπροστά σε τέσσερα κλειστά κουτιά που περιέχουν μία δεσμίδα χαρτονομίσματα το καθένα. Είναι γνωστό πως δεν υπάρχουν δύο κουτιά με το ίδιο ποσό, αλλά δεν γνωρίζεις το ποσό κανενός κουτιού. Σκοπός του παιχνιδιού είναι να βρεις το κουτί με το μεγαλύτερο ποσό, το οποίο και θα πάρεις, αλλιώς δεν παίρνεις τίποτα. Μπορείς ν' ανοίξεις όσα κουτιά θέλεις, αλλά πρέπει να επιλέξεις το ποσό του κουτιού που άνοιξες τελευταίο, ακόμα και αν είναι μικρότερο από κάποιο άλλο. Υπάρχει τρόπος ν' αυξήσεις την πιθανότητά σου να βρεις το μεγαλύτερο ποσό;

4 σχόλια:

pantsik είπε...

Λύση :

Αν και αρχικά φαίνεται πως εάν θα βρεις το μεγαλύτερο ποσό είναι τυχαίο ανάμεσα σε τέσσερις ισοπίθανες περιπτώσεις, στην πραγματικότητα, ακολουθώντας την ακόλουθη στρατηγική, αυξάνεις την πιθανότητα να κερδίσεις σε 45,83% ! Ανοίγεις τα κουτιά με τη σειρά και σταματάς σ' αυτό που περιέχει μεγαλύτερο ποσό από το πρώτο κουτί που άνοιξες.
Στον παρακάτω πίνακα έχουμε στην πρώτη στήλη όλους τους συνδυασμούς που μπορούν να κατανεμηθούν τα τέσσερα ποσά (1 το μεγαλύτερο και 4 το μικρότερο) και στη δεύτερη αυτό που θα επιλέξεις ακολουθώντας την παραπάνω στρατηγική. Βλέπουμε πως το ποσό Νο 1 επιλέγεται σε 11 από τους 24 συνολικά συνδυασμούς.

ΣΕΙΡΑ ΠΟΣΩΝ     ΕΠΙΛΕΓΕΙΣ ΤΟ
1 2 3 4                4
1 2 4 3                3
1 3 2 4                4
1 3 4 2                2
1 4 2 3                3
1 4 3 2                2
2 1 3 4                1
2 1 4 3                1
2 3 1 4                1
2 3 4 1                1
2 4 1 3                1
2 4 3 1                1
3 1 2 4                1
3 1 4 2                1
3 2 1 4                2
3 2 4 1                2
3 4 1 2                1
3 4 2 1                2
4 1 2 3                1
4 1 3 2                1
4 2 1 3                2
4 2 3 1                2
4 3 1 2                3
4 3 2 1                3

pantsik είπε...

Γενικεύοντας το πρόβλημα, αποδεικνύεται πως για έναν αριθμό n κουτιών, η καλύτερη στρατηγική είναι να ανοίξουμε πρώτα n/e κουτιά και στη συνέχεια να σταματήσουμε στο πρώτο μεγαλύτερο από αυτά που ανοίξαμε αρχικά. Η πιθανότητα που έχουμε να βρούμε το μεγαλύτερο ποσό τείνει στην τιμή 1/e καθώς το n αυξάνεται. Το e είναι η βάση των φυσικών λογαρίθμων και η τιμή του είναι περίπου 2,71828183.
Έτσι για παράδειγμα αν στο παιχνίδι υπήρχαν 5 κουτιά, θα είχαμε 5/e ~ 1,84 και επειδή αυτή η τιμή είναι πιο κοντά στο 2, θα έπρεπε να ανοίξουμε πρώτα 2 κουτιά και στη συνέχεια να σταματήσουμε στο πρώτο που θα είναι το μεγαλύτερο όλων.

Athand είπε...

Σας διέφυγε μία περίπτωση ! Εάν τo πρώτo κoυτί πoυ θα ανoίξεις είναι κι αυτo με τo μεγαλύτερo πoσo, τoτε ανoίγoντας και τα υπoλoιπα με στoχo να βρεις τo ακoμα μεγαλύτερo πoσo απ'τo αρχικo, θα σε oδηγήσει σε ήττα βέβαια !

pantsik είπε...

@Athand: Οι περιπτώσεις που αναφέρεις είναι οι 6 πρώτες του πίνακα που παρουσιάζω στη λύση. Πράγματι, και στις 6 αυτές περιπτώσεις δεν επιλέγουμε το μεγαλύτερο ποσό, αλλά η προτεινόμενη στρατηγική εξακολουθεί να δίνει ποσοστό εύρεσης του μεγαλύτερου ποσού 45,83%.