Σε μία ομάδα με 33 αθλητές, τέθηκαν σε όλους με τη σειρά οι παρακάτω δύο ερωτήσεις: «πόσοι άλλοι αθλητές φοράνε ίδιο μέγεθος φανέλας με εσένα» και «πόσοι άλλοι αθλητές φοράνε ίδιο μέγεθος σορτς με εσένα». Στις 66 απαντήσεις που δόθηκαν, υπήρχαν όλοι οι αριθμοί από 0 έως 10 (ανεξαρτήτως από φανέλες ή σορτς). Δείξτε ότι υπάρχουν δύο αθλητές που φοράνε ίδιο μέγεθος φανέλας και ίδιο μέγεθος σορτς.
Σάββατο 4 Ιουλίου 2020
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
2 σχόλια:
Λύση:
Ας ομαδοποιήσουμε τις φανέλες και τα σορτς σε μια κατηγορία που θα την ονομάσουμε "στοιχεία". Οι 33 αθλητές έχουν συνολικά 66 στοιχεία και το κάθε στοιχείο παίρνει μια τιμή που προσδιορίζει το μέγεθός του.
Αφού ακούστηκε ο αριθμός 10 σημαίνει πως τουλάχιστον 11 στοιχεία έχουν την ίδια τιμή, την οποία ονομάζουμε Τ1. Αφού ακούστηκε ο αριθμός 9 σημαίνει πως τουλάχιστον 10 στοιχεία έχουν μια άλλη κοινή τιμή διαφορετική από την πρώτη, την οποία ονομάζουμε Τ2. Συνεχίζοντας με αυτόν τον τρόπο βρίσκουμε πως τα 11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=66 στοιχεία έχουν συνολικά ακριβώς 11 τιμές με αύξουσα αρίθμηση από Τ1 έως Τ11.
Αφού δεν περίσσεψε κανένα στοιχείο και αφού κάθε νούμερο που ακούστηκε αφορά μόνο φανέλες ή μόνο σορτς, σημαίνει πως κάθε τιμή αφορά είτε μόνο φανέλες είτε μόνο σορτς. Έστω πως η τιμή Τ1 αφορά 11 σορτς. Για να μην υπάρχουν δύο αθλητές με κοινό μέγεθος σε σορτς και φανέλες θα πρέπει αυτά τα 11 σορτς με τιμή Τ1 να συνδυάζονται με 11 φανέλες με διαφορετικές τιμές μεταξύ τους. Όμως οι διαθέσιμες τιμές γι αυτές τις φανέλες είναι από την Τ2 έως την Τ11, δηλαδή μόνο 10. Άρα βάσει της αρχής του περιστερώνα, θα υπάρχουν τουλάχιστον δύο ίδιες τιμές φανελών που συνδυάζονται με την τιμή Τ1 των σορτς και άρα δύο αθλητές θα έχουν κοινό μέγεθος φανέλας και σορτς.
Αρχή της περιστεροφωλιάς:
Θεωρούμε τις ομάδες αθλητών με ίδιο μέγεθος φανέλας και τις ομάδες με ίδιο μέγεθος σορτς. Κάθε αθλητής «ανήκει» σε μία ομάδα από τις πρώτες και μία από τις δεύτερες.
Αφού υπήρχαν όλοι οι αριθμοί από 0 ως 10 στις απαντήσεις, αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν ομάδες με 11 αθλητές, 10, 9..., 1. Όμως όλα τα μέλη των ομάδων αυτών αθροίζουν σε 11+10+...+1 = 66.
Αυτό σημαίνει ότι έχουμε συνολικά 11 ομάδες: Μία με 11 μέλη, μία με 10 κ.ο.κ. μία με 1 μέλος. Κάποιες από αυτές είναι ομάδες κοινών φανελών και κάποιες κοινών σορτς.
Έστω ότι ο αθλητής Α1 ανήκει στην ομάδα 11 ως προς το μέγεθος της φανέλας του, που σημαίνει ότι έχει ίδιο μέγεθος φανέλας με άλλους 10 αθλητές. Τώρα περισσεύουν 10 ομάδες. Αυτές θα μπορούσαν να είναι όλες με διαφορετικό μέγεθος σορτς. Έστω ότι ο Α1 ανήκει επίσης και στην ομάδα 10 ως προς το σορτς του, δηλαδή ότι έχει ίδιο μέγεθος σορτς με άλλους 9 συναθλητές του.
Πάμε τώρα στον αθλητή Α2 που επίσης ανήκει στην ομάδα 11 ως προς τη φανέλα του. Αν ανήκει και αυτός και στην ομάδα 10 ως προς το σορτς του, τότε έχουμε 2 αθλητές με ίδιο μέγεθος φανέλας και σορτς, που είναι το ζητούμενο. Αν όμως ΔΕΝ ανήκει, θα πρέπει ν’ ανήκει σε μία από τις 9, 8, 7, ...1. Έστω ότι ανήκει στην 9. Έστω ότι ο αθλητής Α3 ανήκει στην 8 κ.ο.κ και τελικά ο Α10 ανήκει στην 1. Επειδή δεν υπάρχει άλλη ομάδα, ο Α11 θα πρέπει ν’ ανήκει σε μία από τις 10 ομάδες, άρα κάποια ομάδα έχει τουλάχιστον 2 μέλη με ίδιο μέγεθος σορτς και ίδιο μέγεθος φανέλας.
Μόνο για μέλη: Γράψτε την απάντησή σας