Στον γαλαξία Sombrero υπάρχουν Ν πλανήτες που φιλοξενούν νοήμονα ζωή. Κάθε πλανήτης έχει πάνω του έναν αστρονόμο που παρατηρεί τον πλησιέστερο σε αυτόν πλανήτη. Όλες οι αποστάσεις μεταξύ των πλανητών είναι διαφορετικές. Να αποδειχτεί πως αν το Ν είναι περιττό τότε υπάρχει κάποιος πλανήτης που δεν τον παρατηρεί κανένας αστρονόμος.
Σάββατο 1 Νοεμβρίου 2014
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
12 σχόλια:
Τον γρίφο και τη λύση του πρότεινε ο λύτης stratos.
Λύση:
Εφόσον όλες οι αποστάσεις μεταξύ των πλανητών είναι διαφορετικές, υπάρχει μία ελάχιστη απόσταση, έστω η ΑΒ. Οπότε οι αστρονόμοι των πλανητών Α και Β αλληλοπαρατηρούνται. Εξαιρώντας αυτούς τους δύο πλανήτες, μένουμε με Ν-2 πλανήτες και Ν-2 αστρονόμους. Αν κάποιος από αυτούς τους Ν-2 αστρονόμους παρατηρεί είτε τον Α είτε τον Β πλανήτη, τότε δεν περισσεύουν αρκετοί αστρονόμοι για να παρατηρήσουν τους υπόλοιπους Ν-2 πλανήτες, άρα υπάρχει κάποιος πλανήτης που δεν τον παρατηρεί κανείς. Αν κανείς δεν παρατηρεί τους Α και Β τότε με ανάλογο τρόπο θα υπάρχει μια επόμενη ελάχιστη απόσταση ΓΔ πλανητών με αστρονόμους που αλληλοπαρατηρούνται, κ.ο.κ. Οπότε εξαιρώντας διαδοχικά ζευγάρια πλανητών, εάν το Ν είναι περιττό τότε περισσεύει αναγκαστικά ένας πλανήτης που δεν τον παρατηρεί κανείς.
Μα και ζυγός να ήταν ο αριθμός των πλανητών πάλι θα ηπύρχε ένας ή και περισσοτεροι πλανητες που δεν θα τους παρατηρουσε κανεις. Και περριτος ισχύει το παραπάνω. Φανταστείτε έναν κύκλο με διάμετρο 10 εις την 10. Φανταστείτε ότι όλοι περιστρφονται εκεί εκτος απο 1 o οποιος περιστρεφεται σε διάμετρο 10 είς την 5000000. Σαφώς και αυτόν τον πλανάτη δεν θα τον παρατηρει κανείς. Και αν στην ίση και αντίθετη απόσταση βαλουμε έναν άλλο πλανήτη κανεις δεν θα βλέπει αυτον. Προσοχή να μην αλληλοβλεπονται οι απομακρυσμένοι πλανήτες. (Συμπληρωματική λύση) πολυ ωραίος γρίφος έτσι κι αλλιώς
@Ανώνυμος: Αν ο αριθμός των πλανητών είναι ζυγός τότε υπάρχουν διατάξεις όπου κάποιον δεν τον παρατηρεί κανείς και διατάξεις όπου παρατηρούνται όλοι. Αν όμως είναι περιττός ο αριθμός των πλανητών τότε δεν υπάρχει διάταξη που παρατηρούνται όλοι.
Θα έλεγα απλά ότι αφού οι αποστάσεις είναι διαφορετικές, έστω η απόσταση ΑΒ< ΑΓ, επομένως ο αστρονόμος του Β παρατηρεί τον Α και αντίστροφα. Ο αστρονόμος του Γ παρατηρεί τον Β αλλά του Β δεν παρατηρεί τον Γ γιατί απλά δεν είναι ο αμέσως πλησιέστερος. Άρα ο Γ δεν παρατηρείται από κανέναν αστρονόμο (χωρίς αυτό να αποκλείει το ενδεχόμενο να έχει ο ίδιος έναν αστρονόμο που παρατηρεί άλλους πλανήτες).
@Maria K: Ή θα μπορούσε ο Γ να είναι πλησιέστερος στον Δ αντί στον Β, οπότε οι Γ,Δ αλληλοπαρατηρούνται.
Νομίζω ότι έχω αντιπαράδειγμα, αν κάνω λάθος διορθώστε με.
[1]----(d)---->[2]----(d/2)--->[3]---(d/3)--->[4]---(d/4)--->[5]
,όπου
[#πλανήτη]
(απόσταση)
άρα ο κάθε ένας παρατηρεί τον μπροστινό του αφού η απόσταση του προηγούμενου είναι μεγαλύτερη και του παραεπόμενου επίσης (ο 5 μόνο παρατηρεί τον 4).
Από όσο θυμάμαι το 5 είναι μονός.
@Ioannis Chantzaras: Τον πλανήτη 1 δεν τον παρατηρεί κανείς.
John Salt
Ο chatzaras ξέχασε τον 1 αλλά αν προσθέσεις έναν ακόμα πλανήτη (6) σε απόσταση d/5, όπου όλου οι πλανήτες είναι πάνω σε μια ευθεία τότε δεν η υπάρχει διάταξη στην οποία ο 1 να παρατηρείται από κάποιον. Εξ ορισμού βεβαίως ότι ο κάθε ένας παρατηρεί τον πιο κοντινό του. Άρα αυτή η προϋπόθεση πρέπει να αφαιρεθεί από την εκφώνηση ώστε να μιλάμε μόνο για δυνατές διατάξεις ή μη.
Ο Woody Allen είναι θεός!!
Αφου καθε πλανητης(αστρονομος) μπορει να δει ενα και μοναδικο πλανητη και αφου Ν περιττος, τοτε ο μεγιστος αριθμος πλανητων που μπορουν να ειδωθούν ειναι Ν-1. Αρα τουλαχτον ενας πλανήτης δεν ειναι ορατος.
@Ανώνυμος: Αυτό που λες δεν γίνεται αμέσως προφανές. Ακολουθώντας αυτό το σκεπτικό θα πρέπει να εξηγηθεί γιατί δεν μπορεί οι παρατηρήσεις να συμβαίνουν σε κλειστές ομάδες πλανητών, π.χ. να έχουμε 3 πλανήτες όπου οι παρατηρήσεις σχηματίζουν τρίγωνο.
Αφού ο Α παρατηρεί τον Β σημαίνει ότι ένας πλανήτης Γ απέχει μεγαλύτερη απόσταση και από τον Α και από τον Β. Άρα ο Γ ή θα έχει έναν πλανήτη Δ που θα παρατηρεί (και αντίστοιχα ο Δ τον Γ) ή θα είναι μόνος του. Άρα το σύνολο των πλανητών πρέπει να ζυγός αριθμός ούτως ώστε κάθε πλανήτης να παρατηρεί κάποιον άλλο.
Μόνο για μέλη: Γράψτε την απάντησή σας