Ένα σκαθάρι ξεκινάει να κινείται κατά 1 μέτρο Ανατολικά, μετά 0,5 μέτρα Βόρεια, μετά 0,25 μέτρα Δυτικά, μετά 0,125 μέτρα Νότια και συνεχίζει την περίοδο κίνησης (Α-Β-Δ-Ν) μειώνοντας κάθε φορά την απόσταση που καλύπτει στο μισό της προηγούμενης. Στο τέλος της διαδρομής του ανακαλύπτει έναν μικρό σβόλο χώματος. Ποια ήταν η απόσταση του σβόλου από το σημείο εκκίνησης του σκαθαριού;
Σάββατο 4 Οκτωβρίου 2014
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
2 σχόλια:
Τον γρίφο πρότεινε ο λύτης Θανάσης Παπαδημητρίου.
Λύση:
Μπορούμε να υπολογίσουμε τη ζητούμενη απόσταση ως εξής: Πρώτα θα υπολογίσουμε τη συνολική απόσταση που κάλυψε το σκαθάρι κατά τον οριζόντιο και κατά τον κατακόρυφο άξονα. Διαχωρίζουμε την κίνηση του σκαθαριού στους δύο άξονες. Τόσο κατά τον οριζόντιο, όσο και κατά τον κατακόρυφο άξονα, το σκαθάρι σε κάθε αλλαγή της θέσης του διανύει το 1/4 της προηγούμενης απόστασης που είχε διανύσει στον ίδιο άξονα.
Έτσι, η συνολική απόσταση που κάλυψε το σκαθάρι στον κάθε άξονα δίνεται από το άθροισμα των όρων μιας φθίνουσας γεωμετρικής προόδου με λόγο λ = -1/4.
Οι τύποι που μας δίνουν τα αθροίσματα αυτών των δύο φθινουσών γεωμετρικών προόδων είναι οι:
Σx = x1/(1-λ) και Σy = y1/(1-λ)
όπου Σx είναι το άθροισμα των αποστάσεων στον οριζόντιο άξονα (Ανατολής – Δύσης), Σy είναι το άθροισμα των αποστάσεων στον κάθετο άξονα (Βορά – Νότου) , x1 είναι η πρώτη απόσταση που διανύει στον οριζόντιο άξονα (x1 = 1 μέτρο) και y1 είναι η πρώτη απόσταση που διανύει στον κάθετο άξονα (y1 = 0,5 μέτρα).
Κάνοντας τις πράξεις προκύπτει πως Σx = 0,8 μέτρα και Σy = 0,4 μέτρα.
Οπότε με εφαρμογή του Πυθαγόρειου Θεωρήματος βρίσκουμε πως η απόσταση Α του σημείου εκκίνησης από τον σβόλο ήταν:
A = sqrt(0,8^2 + 0,4^2) = 0,894 μέτρα.
Μόνο για μέλη: Γράψτε την απάντησή σας