Θα αποδείξουμε πως όλα τα άλογα έχουν το ίδιο χρώμα. Ξεκινάμε με την πρόταση:
$ν$ άλογα έχουν πάντοτε το ίδιο χρώμα.
Αρκεί να αποδείξουμε πως η παραπάνω πρόταση είναι αληθής για κάθε $ν.$ Αυτό θα το επιτύχουμε με τη διαδικασία της Επαγωγής, ως εξής:
1) Επαληθεύουμε την Πρόταση για $ν=1$. Πράγματι, ένα άλογο έχει πάντοτε το ίδιο χρώμα με τον εαυτό του.
2) Υποθέτουμε ότι η πρόταση είναι αληθής για $ν$ άλογα.
3) Θα αποδείξουμε πως η πρόταση είναι αληθής για $ν+1$ άλογα:
Έστω πως έχουμε μια ομάδα $ν+1$ αλόγων. Ονομάζουμε το πρώτο άλογο της ομάδας $Π$ και το τελευταίο άλογο της ομάδας $Τ$.
Αφαιρούμε το άλογο $Π$ από την ομάδα και αυτά που μένουν είναι $ν$ στον αριθμό. Άρα από την υπόθεση που κάναμε στο βήμα 2, πρέπει να έχουν όλα το ίδιο χρώμα. Οπότε το άλογο $Τ$ έχει το ίδιο χρώμα με τα υπόλοιπα.
Βάζουμε το άλογο $Π$ στη θέση του και αφαιρούμε το άλογο $Τ$ από την ομάδα. Μένουν πάλι $ν$ άλογα που έχουν όλα το ίδιο χρώμα. Οπότε το άλογο $Π$ έχει το ίδιο χρώμα με τα υπόλοιπα.
Αφού τόσο το άλογο $Τ$ όσο και το άλογο $Π$ έχουν το ίδιο χρώμα με τα υπόλοιπα, πρέπει να έχουν το ίδιο χρώμα και μεταξύ τους.
Άρα και τα $ν+1$ άλογα έχουν όλα το ίδιο χρώμα.
Αποδείξαμε με τη διαδικασία της Επαγωγής πως όλα τα άλογα έχουν το ίδιο χρώμα. Που βρίσκεται το λάθος στον παραπάνω συλλογισμό;
$ν$ άλογα έχουν πάντοτε το ίδιο χρώμα.
Αρκεί να αποδείξουμε πως η παραπάνω πρόταση είναι αληθής για κάθε $ν.$ Αυτό θα το επιτύχουμε με τη διαδικασία της Επαγωγής, ως εξής:
1) Επαληθεύουμε την Πρόταση για $ν=1$. Πράγματι, ένα άλογο έχει πάντοτε το ίδιο χρώμα με τον εαυτό του.
2) Υποθέτουμε ότι η πρόταση είναι αληθής για $ν$ άλογα.
3) Θα αποδείξουμε πως η πρόταση είναι αληθής για $ν+1$ άλογα:
Έστω πως έχουμε μια ομάδα $ν+1$ αλόγων. Ονομάζουμε το πρώτο άλογο της ομάδας $Π$ και το τελευταίο άλογο της ομάδας $Τ$.
Αφαιρούμε το άλογο $Π$ από την ομάδα και αυτά που μένουν είναι $ν$ στον αριθμό. Άρα από την υπόθεση που κάναμε στο βήμα 2, πρέπει να έχουν όλα το ίδιο χρώμα. Οπότε το άλογο $Τ$ έχει το ίδιο χρώμα με τα υπόλοιπα.
Βάζουμε το άλογο $Π$ στη θέση του και αφαιρούμε το άλογο $Τ$ από την ομάδα. Μένουν πάλι $ν$ άλογα που έχουν όλα το ίδιο χρώμα. Οπότε το άλογο $Π$ έχει το ίδιο χρώμα με τα υπόλοιπα.
Αφού τόσο το άλογο $Τ$ όσο και το άλογο $Π$ έχουν το ίδιο χρώμα με τα υπόλοιπα, πρέπει να έχουν το ίδιο χρώμα και μεταξύ τους.
Άρα και τα $ν+1$ άλογα έχουν όλα το ίδιο χρώμα.
Αποδείξαμε με τη διαδικασία της Επαγωγής πως όλα τα άλογα έχουν το ίδιο χρώμα. Που βρίσκεται το λάθος στον παραπάνω συλλογισμό;
6 σχόλια:
Λύση:
Στην απόδειξη που παρουσιάστηκε και στο σημείο που αναφερθήκαμε στα ν+1 άλογα, χρειάζεται να υπάρχουν τουλάχιστον 3 άλογα προκειμένου το επιχείρημα να ευσταθεί. Αυτά είναι το Π, το Τ και ένα τουλάχιστον ενδιάμεσο άλογο που παίζει το ρόλο του συνδετικού κρίκου μεταξύ του Π και του Τ.
Όμως για ν=1, το ν+1 αναφέρεται σε 2 μόνο άλογα για τα οποία το επιχείρημα δεν μπορεί να εφαρμοστεί. Άρα η επαγωγική αλυσίδα σπάει στη μετάβαση από το ν=1 προς το ν=2.
Αν από την άλλη δοκιμάσουμε να εξαιρέσουμε το ν=1 από τα πλήθη αλόγων για τα οποία η πρόταση είναι αληθής, τότε θα πρέπει να δείξουμε στο βήμα 1 πως η πρόταση είναι αληθής για το μικρότερο δυνατό ν, δηλαδή για ν=2. Όμως καμία τέτοια απόδειξη δεν υπάρχει, αφού 2 άλογα μπορεί πράγματι να έχουν διαφορετικά χρώματα.
Για τη συζήτηση και μόνο, θα ήθελα να παραθέσω μια εναλλακτική προσέγγιση στην καθ’ όλα έγκυρη εξήγηση του Πάνου.
Ο τρόπος που γίνεται η χρήση της επαγωγής για την ‘απόδειξη’ τού ότι όλα τα άλογα έχουν το ίδιο χρώμα περιέχει το εξής σφάλμα μαθηματικής λογικής:
Η μετάβαση από τα ν>2 στα ν+1 άλογα χρησιμοποιεί, και σωστά, τη μεταβατική ιδιότητα της ‘ισοχρωμίας’ (α=β και β=γ ==> α=β=γ). Η μετάβαση όμως από το 1 στα 2 άλογα, μη έχοντας ενδιάμεσο μέλος β για σύγκριση, δεν μπορεί να κάνει χρήση της μεταβατικής ιδιότητας και στη θέση της κάνει πονηρή (και άκυρη φυσικά) χρήση ενός (ανύπαρκτου) είδους υβριδίου ανακλαστικής – μεταβατικής ιδιότητας, του τύπου α=α και γ=γ ==> α=γ, πράγμα που φυσικά καθόλου δεν συνεπάγεται.
Ως προς την τελευταία πρόταση του Πάνου, ότι δηλαδή «2 άλογα μπορεί πράγματι να έχουν διαφορετικά χρώματα», θα έλεγα ότι αυτό πράγματι προκύπτει από την εμπειρία, αλλά αν το επικαλούμαστε ως στοιχείο της απόδειξης, γιατί άραγε να μην επικαλούμαστε εξ αρχής την ίδια εμπειρία για να πούμε ότι και «3 ή 5 ή οσαδήποτε άλογα μπορεί πράγματι να έχουν διαφορετικά χρώματα»;
Αυτό που θέλω να πω είναι ότι με την αποκάλυψη του επαγωγικού σφάλματος ακυρώνεται απλά η εγγυημένη βεβαιότητά μας για το συμπέρασμα (όλα τα άλογα έχουν το ίδιο χρώμα). Αυτό όμως δεν αρκεί για να το απορρίψουμε κιόλας. Σ’ αυτό χρειαζόμαστε πλέον την εμπειρία.
Θανάση, συμφωνώ με όσα γράφεις. Το σχόλιό μου ότι δύο άλογα μπορεί να έχουν διαφορετικό χρώμα βρίσκεται έξω από το σώμα της ψευτοαπόδειξης οπότε δεν αποτελεί μέρος της. Δεν αποτελεί όμως ούτε και στοιχείο κατάρριψης της ψευτοαπόδειξης. Είναι μόνο μια προειδοποίηση για όποιον επιχειρήσει να χρησιμοποιήσει αυτήν την απόδειξη αρχίζοντας από ν=2 ότι δεν θα καταφέρει να αποδείξει το βήμα 1, δηλαδή πως 2 άλογα έχουν πάντα το ίδιο χρώμα.
Έτσι τελικά δείχνουμε πως η απόδειξη ότι όλα τα άλογα έχουν το ίδιο χρώμα δεν είναι σωστή, χωρίς αυτό να σημαίνει πως αποδείξαμε ότι όλα τα άλογα δεν έχουν το ίδιο χρώμα. Κάτι τέτοιο βέβαια είναι εύκολο να αποδειχτεί κάνοντας μια βόλτα στον ιππόδρομο.
Ακριβώς Πάνο και το έδωσες πολύ παραστατικά! Με εντοπισμένο τον αδύναμο κρίκο της επαγωγικής αλυσίδας στη μετάβαση από το 1 στα 2 άλογα, αν κανείς επιχειρούσε να τον παρακάμψει ξεκινώντας από τα 2 άλογα, θα έπρεπε να κάνει και τη βόλτα στον ιππόδρομο, εγκαταλείποντας την ασφάλεια των μαθηματικών και της καθαρής λογικής και εκτιθέμενος στις ‘πλάνες’ των αισθήσεων και της εμπειρίας (και στους πειρασμούς τους :-)).
Σορρυ αν ειναι λιγο χαζομαρα αυτο που θα πω και ριχνω το επιπεδο διοτι θα κανω μια προσεγγιση οχι τοσο μαθηματικου επιπεδου αλλα νομιζω εχει την λογικη της.Το λαθος ειναι η αυθαιρετη προταση οτι ν αλογα εχουν παντοτε το ιδιο χρωμα.Μετα πανω σε αυτην την αυθαιρετη προταση αποδυκνειεται εσφαλμενως οτι ισχυει για καθε ν.Ειναι σαν να λεμε οτι σε ενα λεωφορειο ν ατομα ειναι παντοτε γυναικες.Εστω οτι ονομαζουμε το πρωτο αλογο της ομαδας ε σορυ την πρωτη γκομενα θελω να πω Παολα.Στην επομενη σταση κατεβαινει η Παολα και ανεβαινει ο κυρ Τασος ο πολλα βαρυς.Τα ατομα που μενουν στο λεωφορειο ειναι ν στον αριθμο αρα απο την υποθεση που καναμε στην βημα 2 πρεπει ολοι οι επιβατες να ειναι γυναικες.Οποτε μολις αποδειξαμε οτι ο κυρ Τασος εχει το ιδιο φυλο με τους υπολοιπους επιβατες αρα ειναι γυναικα.Ξανανεβαινει ομως η Παολα στην θεση της γιατί διαπιστωνει οτι το δεξι στηθος της ειναι γυμνο λογω του οτι θηλαζε το μωρο το οποιο κ ξεχασε στην αφηρημαδα της στο λεωφορειο.Ο κυρ Τασος εν τω μεταξυ κατεβαινει απ'το λεωφορειο πανω στην σαστιμαρα του.Μενουν παλι ν ατομα που ειναι ολες γυναικες.Οποτε ο κυρ Τσσος εχει το ιδιο φυλο με τις υπολοιπες.Αφου τοσο ο κυρ Τασος οσο και η Παολα εχουν το ιδιο φυλο μετις υπολοιπες πρεπει να εχουν το ιδιο φυλο και μεταξυ τους.Αρα ολοι κι ο κυρ Τασος μαζι ειναι γυναικες.Θα αποδειξω ομως τωρα οτι δεν ειναι ολα τα ατομα το ιδιο φυλο.Διοτι το βρεφος που ξεχασε η Παολα,δεν εχει αποφασισει ακομη τι φυλο θα δηλωσει,αυτο θα γινει σε 15 χρονια εχει ακομη καιρο να το αποφασισει.Οποτε παρολο που μολις αποδειξαμε οτι ο κυρ Τασος ειναι γυναικα μας την χαλαει την αποδειξη ο μικρος.Θα πρεπει να περιμενουμε 15 χρονια και να ελπισουμε οτι θα μας κανει το χατηρι να μην δηλωσει το φυλο που γεννηθηκε αλλα γυναικα.Για τον κυρ Τασο παντως αποδειξαμε του αρεσει δεν του αρεσει οτι πλεον ειναι γυναικα.Να προσεχε να μην εμπαινε σε λεωφορειο με ν γυναικες κι ετσι αφου προσωρινα εγινε μερος του συνολου ν να μεταμορφωθει σε γυναικα.Κατεβηκε μεν αλλα η ζημια εγινε ηταν αργα πλεον.Οποτε το διδαγμα ειναι οτι πριν ανεβουμε σε λεωφορειο με ν ατομα να σιγουρευομαστε οτι δεν ειναι ολα του ιδιου φυλου αν δεν εχουμε ακομη αποφασισει να προχωρησουμε σε αλλαγη φυλου...
@Εμφυλος: Φίλε, πολύ ωραία τα λες. Θα διαφωνήσω μαζί σου μόνο ως προς το αυθαίρετο της υπόθεσης ότι ν άλογα έχουν πάντα το ίδιο χρώμα. Δεν είναι απαραίτητο αυτή η υπόθεση να είναι προφανώς αληθής, γι αυτό και είναι ...υπόθεση. Έτσι λειτουργεί η μέθοδος της επαγωγής. Συνοπτικά, για να αποδείξουμε ότι κάτι ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό, δείχνουμε με απλή αντικατάσταση ότι ισχύει για τον αριθμό 1, υποθέτουμε ότι ισχύει για κάποιον αριθμό ν και προσπαθούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει για τον αριθμό ν+1. Αν το καταφέρουμε τότε ισχύει πράγματι για κάθε ν. Αυτό συμβαίνει για τον εξής λόγο: Αφού δείξαμε ότι ισχύει για ν=1 και αποδείξαμε ότι ισχύει και για ν+1, άρα ισχύει για ν=2. Αφού ισχύει για ν=2 και αποδείξαμε ότι ισχύει και για ν+1, άρα ισχύει για ν=3, κ.ο.κ. Αυτό είναι το επαγωγικό ντόμινο!
Μόνο για μέλη: Γράψτε την απάντησή σας