Αποδείξτε πως είναι βέβαιο ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο Έλληνες με τον ίδιο αριθμό Ελλήνων φίλων.
Διευκρίνιση: Οι σχέσεις φιλίας θεωρούνται αμοιβαίες.
Διευκρίνιση: Οι σχέσεις φιλίας θεωρούνται αμοιβαίες.
Κυριακή 2 Σεπτεμβρίου 2012
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
9 σχόλια:
Λύση:
1. Έστω πως ο αριθμός όλων των Ελλήνων είναι Ν.
2. Ο κάθε Έλληνας μπορεί να έχει από 0 έως Ν–1 (Έλληνες) φίλους.
3. Ας υποθέσουμε πως δεν υπάρχουν τουλάχιστον δύο Έλληνες με τον ίδιο αριθμό φίλων. Τότε ο κάθε Έλληνας πρέπει να έχει ένα διαφορετικό αριθμό φίλων από όλους τους άλλους. Δηλαδή πρέπει να υπάρχουν όλα τα πλήθη φιλιών από 0 έως Ν–1. Αυτά τα πλήθη είναι συνολικά Ν, όσοι και οι Έλληνες.
4. Όμως ο Έλληνας που τους έχει όλους φίλους (Ν–1) δεν μπορεί να είναι φίλος με αυτόν που δεν έχει κανέναν φίλο (0). Οπότε η υπόθεση του βήματος 3 καταρρίπτεται.
5. Άρα υπάρχουν τουλάχιστον δύο Έλληνες με τον ίδιο αριθμό φίλων.
Αγαπητέ φίλε, το 3ο βήμα (αυτό της υπόθεσης) είναι αυθαίρετο.
Αν υποθέσουμε ότι δεν υπάρχουν τουλάχιστον δύο Έλληνες με ίδιο αριθμό φίλων, τότε είναι αδύνατο να συνάγουμε ότι κάθε Έλληνας έχει διαφορετικό αριθμό φίλων διότι μας περιορίζει το "τουλάχιστον".
Συνεπώς: το πλήθος των αριθμητικών συνόλων των φιλιών καθενός Έλληνας θα είναι -βέβαια ίσα- αλλά ταυτόχορνα μηδέν.
@ΟΝΟΥΦΡΙΟΣ: Δεν κατάλαβα την παρατήρησή σου. Στόχος μας δεν είναι να δείξουμε πως κάθε Έλληνας έχει διαφορετικό αριθμό φίλων, αλλά πως υπάρχουν τουλάχιστον δύο Έλληνες με τον ίδιο αριθμό φίλων.
Επίσης, οι υποθέσεις στη λογική μπορούν να είναι αυθαίρετες και αν καταλήγουν σε αντίφαση τότε ξέρουμε πως δεν ισχύουν.
Αν υπάρχουν μόνο 2 Έλληνες η πιθανότητα είναι 50%, άρα δεν ίσχυει τουλάχιστον για την περίπτωση που οι Έλληνες είναι μόνο 2.
@Ανώνυμος: Αν υπάρχουν μόνο δύο Έλληνες, τότε αν είναι φίλοι θα έχει ο καθένας τους 1 φίλο, ενώ αν δεν είναι φίλοι θα έχει ο καθένας τους 0 φίλους. Άρα και στις δύο περιπτώσεις θα έχουν τον ίδιο αριθμό φίλων.
Η πρόταση είναι ψευδης για το 0 αριθμό φίλων, είναι σα να ρωτάμε πως σε λένε και να απαντάς "δε με λένε". Άρα 0 φίλοι δε σημαίνει τον ίδιο αριθμό φίλων σημαίνει ότι για 0 φίλους η πρόταση είναι ψευδής ή απαντάει σε ψευδές ερώτημα.
@Incantato: Όχι. Το μηδέν είναι αποδεκτός αριθμός. Είναι σαν να ρωτάς "πόσους φίλους έχεις;" και να σου απαντάει "κανένα φίλο" ή αλλιώς "μηδέν φίλους".
2 Έλληνες φίλοι, έχουν ο καθένας από 1 φίλο (ο ένας τον άλλο)
Νεφέλη
4η Δημοτικού
Όλα τα πλήθη φιλιών είναι Ν (αν έχουμε 5 άτομα μπορεί να έχει καθ` ένα απ` αυτα 0, 1, 2, 3 ή 4 φίλους, δηλαδή 5 διαφορετικούς συνδυασμούς). Αν κάθε συνδιασμός είναι διαφορετικός από τους υπόλοιπους (δηλαδή 1 φιλία με 1 άτομο, 1 φιλία με 2, κ.ο.κ.) τότε κανενα άτομο από την μια ομάδα φιλίας δεν έχει φιλία με άλλο άτομο από άλλη ομάδα και τότε το άθροισμα όλων των ατόμων κάθε φιλίας πρέπει να είναι Ν (όσο το σύνολο). Τότε πρέπει να ισχύει (Ν-1)!=Ν πράγμα άτοπο, άρα υπάρχουν τουλάχιστον 2 Έλληνες με κοινό αριθμό φίλων.
Μόνο για μέλη: Γράψτε την απάντησή σας