Γίνε μέλος στο grifoi.org

Στους γρίφους με τη σήμανση ".Άλυτοι 1-100" μπορούν να στέλνουν τις λύσεις τους μόνο τα Μέλη του site grifoi.org. Πληροφορίες για το πως θα γίνετε μέλος μπορείτε να διαβάσετε εδώ.

Τρίτη, 3 Νοεμβρίου 2009

Έμπνευσης - Ισότητες τριγώνων (****)

Πολλοί πιστεύουν πως για να είναι δύο τρίγωνα ίσα πρέπει να έχουν τρία στοιχεία τους ίσα, εκ των οποίων το ένα να είναι πλευρά. Υπάρχει όμως περίπτωση δύο τρίγωνα να έχουν πέντε στοιχεία τους ίσα (γωνίες και πλευρές) και να μην είναι ίσα μεταξύ τους! Μπορείτε να βρείτε πώς;

7 σχόλια:

pantsik είπε...

Λύση :

Ο ορισμός της ισότητας που έδωσα στην εκφώνηση είναι λάθος. Στην πραγματικότητα πρέπει να έχουν ίσες τις τρεις πλευρές τους ή δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία ή δύο γωνίες και την προσκείμενη πλευρά. Αλλιώς, υπάρχουν άπειρα ζεύγη τριγώνων με πέντε στοιχεία ένα προς ένα ίσα, χωρίς να είναι ίσα μεταξύ τους.
Δύο τέτοια τρίγωνα, με τις ελάχιστες ακέραιες πλευρές, φαίνονται παρακάτω. Τα τρίγωνα είναι όμοια, έχουν δηλαδή τις τρεις γωνίες τους ίσες, και δύο πλευρές αντίστοιχα ίσες, χωρίς όμως να υπάγονται στον παραπάνω κανόνα.

Σχήμα από την απάντηση της ιστοσελίδας μου

georgedem είπε...

Με συγχωρείτε, αλλά νομίζω πώς η απάντηση ε1ίναι λάθος.
Στα όμοια τρίγωνα έχουμε λόγο ομοιότητας ως προς τις πλευρές, έτσι δεν γίνεται τα δύο ζευγάρια να έχουν λόγο αναλογίας 1, και το τρίτο να έχει 18/27. Συνεπώς δεν ισχύει η παραπάνω απόδειξη. Γενικά νομίζω ότι δεν υπάρχει λύση.

pantsik είπε...

@georgedem: Τα δύο τρίγωνα που παρουσιάζονται στη λύση έχουν ίσους λόγους πλευρών σύμφωνα με το Θεώρημα του Θαλή. Ο αντίστοιχος λόγος πλευρών του 18/27 που αναφέρεις είναι ο 12/18 στο άλλο τρίγωνο. Πράγματι 18/27 = 12/18.

Μιχάλης από Ηλιούπολη είπε...

Συγγνώμη αλλά η έκφραση "ένα προς ένα" πρέπει να παραληφθεί αν θέλουμε ο γρίφος να είναι σωστός.
Σε αντίθετη περίπτωση, η έκφραση "ένα προς ένα" παραπέμπει σε αντιστοιχία πλευρών (η ΑΒ με την Α΄Β΄,η ΒΓ με την ´ôκλπ) ενώ στην περίπτωσή μας έχουμε την ΑΒ να ισούται με την ´ô, την ΒΓ με την Γ΄Α΄ κλπ

pantsik είπε...

@Μιχάλης από Ηλιούπολη: Έχεις δίκιο ότι ο τρόπος που το διατύπωσα μπορεί να μπερδέψει. Άλλαξα τον ορισμό.

pantsik είπε...

Το σχήμα που αναφέρομαι στη λύση βρίσκεται εδώ:

Σχήμα από την απάντηση της ιστοσελίδας μου

Μιχάλης από Ηλιούπολη είπε...

Τώρα μάλιστα..! Με τον τροποποιημένο ορισμό του προβλήματος όλα είναι απολύτως εντάξει. Και εγώ θα την πάταγα πρώτος-πρώτος..!
Αλλά με εκείνο το "μία προς μία" έσπαγα το κεφάλι μου να καταλάβω πώς μια ισότητα πλευρών "μία προς μία" (έστω και μιας ΜΟΝΟ πλευράς) από τη μια και ΟΛΩΝ των γωνιών από την άλλη, ήταν δυνατόν να μην εξασφάλιζε ισότητα τριγώνων...!!!