Γίνε μέλος στο grifoi.org

Στους γρίφους με τη σήμανση ".Άλυτοι 1-100" μπορούν να στέλνουν τις λύσεις τους μόνο τα Μέλη του site grifoi.org. Πληροφορίες για το πως θα γίνετε μέλος μπορείτε να διαβάσετε εδώ.

Δευτέρα, 26 Οκτωβρίου 2009

Ανάλυσης - Μεταφορά βαρελιών (**)

Ένα φορτηγό ξεκινάει από το κάτω μέρος ενός ανηφορικού δρόμου και θέλει να ανεβάσει 10 βαρέλια γεμάτα με πετρέλαιο στο πάνω μέρος του δρόμου. Μπορεί να μεταφέρει μόνο ένα βαρέλι κάθε φορά. Το φορτηγό δεν έχει ρεζερβουάρ και για να ανέβει την ανηφόρα συνδέει το βαρέλι που μεταφέρει με τον κινητήρα του και καίει το πετρέλαιο του βαρελιού. Για να ανέβει από τη βάση του δρόμου ως την κορυφή του, χρειάζεται να καταναλώσει ακριβώς το περιεχόμενο ενός βαρελιού.


Διευκρίνηση: Το φορτηγό μπορεί να κάνει όσες στάσεις θέλει και να φορτώσει ή να ξεφορτώσει βαρέλια. Στην επιστροφή δεν καίει πετρέλαιο γιατί ο δρόμος είναι κατηφορικός. Έστω πως ο οδηγός γνωρίζει πως το συνολικό μήκος της διαδρομής είναι x μέτρα.

Ερώτημα απλούστερο: Μπορεί να ανεβάσει κάποια ποσότητα πετρελαίου μέχρι πάνω και με ποιον τρόπο;

Ερώτημα δύσκολο: Ποια είναι η μέγιστη δυνατή ποσότητα πετρελαίου που μπορεί να ανεβάσει;

4 σχόλια:

pantsik είπε...

Λύση :

Ένας απλός τρόπος για να ανεβάσει 2,5 βαρέλια με πετρέλαιο μέχρι πάνω είναι ο εξής:
Φορτώνει ένα βαρέλι, το ανεβάζει μέχρι τη μέση της διαδρομής και το ξεφορτώνει εκεί. Το βαρέλι τότε θα περιέχει πετρέλαιο μέχρι τη μέση του.
Στη συνέχεια λύνει χειρόφρενο και κατεβαίνει στη βάση του δρόμου. Παίρνει το δεύτερο βαρέλι και ξανακάνει το ίδιο πράγμα, μέχρι να ανεβάσει και τα 10 βαρέλια μέχρι τη μέση της διαδρομής. Τότε μεταφέρει το περιεχόμενο των 5 μισογεμάτων βαρελιών στα άλλα 5 και έτσι καταλήγει να έχει 5 γεμάτα βαρέλια και πέντε άδεια. Παίρνει το κάθε γεμάτο βαρέλι και το ανεβάζει μέχρι πάνω. Έτσι τελικά θα έχει ανεβάσει 5 μισογεμάτα βαρέλια, δηλαδή συνολικά το περιεχόμενο 2,5 βαρελιών σε πετρέλαιο.

Για το δύσκολο ερώτημα πρέπει να παρατηρήσουμε πως στην προηγούμενη λύση έμειναν τελικά 5 άδεια βαρέλια στη μέση της διαδρομής και 2,5 άδεια βαρέλια στο τέλος της διαδρομής. Η βέλτιστη λύση θα έχει τα άδεια βαρέλια όσο το δυνατόν πιο κοντά στη βάση της διαδρομής και αυτό γιατί έτσι δεν θα χρειαστεί να κάψει επιπλέον πετρέλαιο για να ανεβάσει αυτά τα βαρέλια ψηλότερα. Το πετρέλαιο δηλαδή που εξοικονομεί από τη μεταφορά των άδειων βαρελιών λίγο ψηλότερα μπορεί να το φτάσει στην κορυφή του δρόμου.
Έτσι η λύση που αφήνει τα άδεια βαρέλια στα χαμηλότερα δυνατά σημεία της διαδρομής είναι η εξής:
Από την αρχή της διαδρομής ανεβάζει ένα-ένα όλα τα βαρέλια κατά x/10 μέτρα. Δηλαδή αν η διαδρομή ήταν 10 μέτρα θα τα ανέβαζε όλα ένα μέτρο. Στο σημείο αυτό αδειάζει το περιεχόμενο του τελευταίου βαρελιού μέσα στα 9 υπόλοιπα βαρέλια τα οποία και γεμίζουν, ενώ το τελευταίο βαρέλι αδειάζει τελείως. Στη συνέχεια μεταφέρει τα 9 γεμάτα βαρέλια κατά x/9 μέτρα. Πάλι αδειάζει το περιεχόμενο του τελευταίου για να γεμίσει τα 8 πρώτα. Επαναλαμβάνει αυτή τη διαδικασία, ανεβαίνοντας κάθε φορά κατά x/8, x/7, x/6 και x/5 μέτρα από την τελευταία στάση του. Σε εκείνο το σημείο θα έχει 4 γεμάτα βαρέλια, τα οποία τώρα τα ανεβάζει ένα-ένα μέχρι πάνω χωρίς άλλες μεταγγίσεις. Ο λόγος που σταματάει στο σημείο αυτό τη διαδικασία είναι γιατί δεν αδειάζει τελείως το περιεχόμενο του τελευταίου βαρελιού μέχρι την επόμενη στάση. Έτσι τελικά θα έχει ανεβάσει πετρέλαιο που αντιστοιχεί σε 3,38 γεμάτα βαρέλια. Αυτή είναι και η μέγιστη δυνατή ποσότητα.

Μιχάλης από Ηλιούπολη είπε...

Μια διευκρίνιση ζητώ προτού προχωρήσω στη λύση : Μέσα στις επιτρεπόμενες ενέργειες (πέραν των φορτοεκφορτώσεων) περιλαμβάνεται και η μετάγγιση από βαρέλι σε βαρέλι ?
Υ.Γ. Ήρθα κατευθείαν στα σχόλια προτού διαβάσω τη λύση.

pantsik είπε...

@Μιχάλης από Ηλιούπολη: Ναι, επιτρέπεται η μετάγγιση.

Μιχάλης από Ηλιούπολη είπε...

Τότε, με το να αφήνει ένα βαρέλι στα μισά του δρόμου (επομένως μισογεμάτο) και να επιστρέφει και να ανεβαίνει με καινούργιο, στο οποίο θα μεταγγίζει το περιεχόμενο του προηγουμένου, κάνοντας στάση στα μισά της διαδρομής, θα ανεβάζει - τελικά - τη μισή ποσότητα επάνω.
Και επειδή τα βαρέλια είναι 10 τον αριθμόν, θα ανεβάσει με τον προηγούμενο τρόπο 2,5 βαρέλια μέχρι επάνω.
Δυστυχώς δεν μπορώ να αποδείξω ότι η μέγιστη δυνατή ποσότητα που μπορεί να ανέβει είναι μισό βαρέλι, απλώς το διαισθάνομαι.