Ανάλυσης - Χρωματίστε τον χάρτη (***)

Ο παρακάτω “χάρτης” έχει δημιουργηθεί από μία συνεχόμενη γραμμή που καταλήγει στο σημείο απ’ όπου ξεκίνησε χωρίς να περνάει δύο φορές από το ίδιο τμήμα της. Πόσα είναι τα λιγότερα χρώματα που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για να χρωματίσουμε όλες τις περιοχές ώστε να μην υπάρχουν δύο γειτονικές περιοχές με το ίδιο χρώμα;
Διευκρίνιση: Δύο περιοχές που έχουν μόνο ένα κοινό σημείο δεν θεωρούνται γειτονικές.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
ΕΑΛΕΞΙΟΥ, RIZOPOULOS GEORGIOS, percival, Θανάσης Παπαδημητρίου, Michalis, batman1986, stratos, MrKitsos, daskalos1971, sf, Λαέρτης, swt, nasos1439, alexpsomi, kakkalos, Τροικα, DepyAl, saxon, tasosi2008, G SOZELGI, karaisko, Evita, Kensh1n, spiros anas, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, Δήμητρα, Antonios Seretis, eftychia orfanou, Kris Geo, kraptaki, Nikos Stamatiou, AM9079, John Salt, Βαγγέλης

Υπολογισμού - Διπλάσιο – τριπλάσιο – πενταπλάσιο (****)

Βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο αριθμό του οποίου το διπλάσιο είναι τέλειο τετράγωνο, το τριπλάσιο είναι τέλειος κύβος και το πενταπλάσιο είναι τέλεια 5η δύναμη.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
batman1986, Θανάσης Παπαδημητρίου, percival, stratos, swt, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, RIZOPOULOS GEORGIOS, Michalis, MrKitsos, Dreamkiller, Thanasis Tasoulas, kraptaki, Κυριαζής Γιώργος, theo, daskalos1971, prinkal, nasos1439, trixas, alexpsomi, Png, sf, tasosi2008, πρεφαδόρος στην υπόγα, xaris, Petros, kakkalos, Κυριάκος, Enrique Orestis, saxon, cris, G SOZELGI, Stathis, Nikos Stamatiou, Γ. Κ., Kensh1n, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, JOELMARX, Sotiris Itsos, Kris Geo, Kos Monodri, ariscampis, Steli0s1, integral, Νεφέλη, YIANNIS KAZIA, george pap, Γιώργος Σωτηρόπουλος, Antonios Seretis, ΧΡΙΣΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, Νίκος Ηλιόπουλος, AM9079, manoskothris, skmmcj, Βαγγέλης, John Salt

Λογικής - Ραντεβού στα τυφλά (***)

Ο Άρης θέλει να επισκεφτεί την παλιά του φίλη Βίκυ που μένει στον κεντρικό δρόμο ενός χωριού. Ο δρόμος έχει 50 σπίτια, μοιρασμένα σε δυο οικισμούς και αριθμημένα από 1-20 στον 1ο και από 21-50 στο 2ο οικισμό. Ο Άρης έχει ξεχάσει τον αριθμό του σπιτιού της Βίκυς και ρωτάει σχετικά έναν περαστικό. Ο περαστικός δεν του απαντά ευθέως, αλλά του λέει σε ποιον ακριβώς οικισμό βρίσκεται το σπίτι, αν ο αριθμός του είναι μονός ή ζυγός και αν είναι ή όχι τέλειο τετράγωνο. Ο Άρης τότε, για να σιγουρευτεί απόλυτα, ρωτάει τον περαστικό αν ο αριθμός του σπιτιού περιέχει το ψηφίο 4. Παίρνοντας την απάντηση, ο Άρης σιγουρεύεται και πηγαίνει στο σπίτι που συμπέρανε ότι έμενε η Βίκυ.
Χτυπάει το κουδούνι, αλλά αντί της Βίκυς του ανοίγει ένας άντρας που του συστήθηκε ως Γιάννης. Ο Γιάννης εξήγησε γελώντας στον Άρη πως ο περαστικός που του είχε δώσει τις πληροφορίες ήταν ο μεγαλύτερος ψεύτης του χωριού και δεν έλεγε ποτέ την αλήθεια. Τότε ο Άρης σκέφτηκε για μια στιγμή και είπε: Ευχαριστώ, τώρα ξέρω τον πραγματικό αριθμό του σπιτιού της Βίκυς!
Ποιος ήταν ο αριθμός του σπιτιού της Βίκυς και ποιος του Γιάννη;

Πιθανοτήτων - Μπερδεμένο βραχιόλι (****)

Στο σχήμα βλέπετε τη σκιά ενός μπερδεμένου βραχιολιού με κούμπωμα. Ποια είναι η πιθανότητα εάν τεντώσουμε αυτό το βραχιόλι να δεθεί κόμπος;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
RIZOPOULOS GEORGIOS, batman1986, Θανάσης Παπαδημητρίου, kraptaki, Michalis, percival, stratos, swt, Μιχάλης, saxon, sf, daskalos1971, John Salt

Συνδυασμών - Αριθμητικό σταυρόλεξο (*****)

Φτιάξτε έναν πίνακα 6x6 τετραγώνων. Μέσα σε κάθε τετράγωνο πρέπει να βάλετε έναν θετικό ακέραιο αριθμό. Όταν θα έχετε συμπληρώσει και τους 36 αριθμούς θα πρέπει το κάθε τετράγωνο να έχει στα γειτονικά του όλους τους μικρότερους αριθμούς από αυτόν που έχει το συγκεκριμένο τετράγωνο. Για παράδειγμα αν σε κάποιο τετράγωνο βάλετε τον αριθμό 3, τότε θα πρέπει να έχετε βάλει το 2 και το 1 σε κάποια από τα τετράγωνα που βρίσκονται πάνω, κάτω, αριστερά ή δεξιά του 3. Στα άλλα δύο γειτονικά τετράγωνα του 3 μπορείτε να έχετε βάλει οποιονδήποτε αριθμό.
Το μέγιστο άθροισμα όλων των αριθμών του πίνακα είναι 93. Μπορείτε να φτιάξετε έναν πίνακα με το μέγιστο άθροισμα;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Θανάσης Παπαδημητρίου, sf, daskalos1971, swt, batman1986, stratos, Michalis, percival, kostas, alexpsomi, saxon, kraptaki

Παράδοξα - Το παράδοξο της Ωραίας Κοιμωμένης (*****)

Η Ωραία Κοιμωμένη δέχτηκε να συμμετάσχει στο παρακάτω πείραμα:
Την Κυριακή θα πάρει μία δόση υπνωτικού και θα πέσει για ύπνο. Ενώ κοιμάται, ένας ερευνητής θα στρίψει ένα νόμισμα.
Αν το νόμισμα έρθει Κορώνα, θα ξυπνήσει την Κοιμωμένη τη Δευτέρα και θα της κάνει την ερώτηση: «ποια είναι η πιθανότητα το νόμισμα που έστριψα να έφερε Κορώνα;». Η Κοιμωμένη θα δώσει την απάντησή της και το πείραμα θα τελειώσει.
Αν το νόμισμα έρθει Γράμματα, θα ξυπνήσει πάλι την Κοιμωμένη τη Δευτέρα και θα της κάνει την ίδια ερώτηση. Η Κοιμωμένη θα απαντήσει, αλλά στη συνέχεια θα της χορηγήσει άλλη μια δόση του υπνωτικού που θα την κοιμίσει μέχρι την Τρίτη. Τότε θα την ξυπνήσει πάλι και θα της επαναλάβει για δεύτερη φορά την ίδια ερώτηση. Η Κοιμωμένη θα απαντήσει και το πείραμα θα τελειώσει.
Η Κοιμωμένη γνωρίζει ακριβώς τους όρους του πειράματος, αλλά σε κανένα ξύπνημά της δεν γνωρίζει τι μέρα είναι, ούτε θυμάται αν έχει ξυπνήσει ξανά.
Ποια είναι η σωστή απάντηση που πρέπει να δώσει μόλις ξυπνήσει;

Το πρόβλημα έχει διχάσει τις γνώμες έμπειρων γριφολυτών, μαθηματικών και φιλοσόφων. Υπάρχουν τρεις διαφορετικές σχολές σκέψης: Οι halfers, που υποστηρίζουν πως η πιθανότητα είναι 1/2, οι thirders που υποστηρίζουν πως η πιθανότητα είναι 1/3 και οι ουδέτεροι που υποστηρίζουν πως το πρόβλημα δεν έχει ξεκάθαρη λύση γιατί δεν ορίζεται επαρκώς. Αυτός είναι ο λόγος που έχει χαρακτηριστεί παράδοξο, ενώ η διαμάχη των halfers με τους thirders συνεχίζεται μέχρι και σήμερα.

Ανάλυσης - Ευθείες εναντίον κύκλων (****)

Κάντε 4 σημεία σε ένα φύλλο χαρτί που να μην ανήκουν όλα στην ίδια ευθεία ή στον ίδιο κύκλο. Πόσες ευθείες και κύκλοι (συνολικά) ισαπέχουν από τα σημεία αυτά;

Διευκρίνιση: Απόσταση σημείου Α από κύκλο με κέντρο Ο, είναι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΤ, όπου Τ το σημείο τομής της ημιευθείας ΟΑ με την περιφέρεια του κύκλου.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Θανάσης Παπαδημητρίου, stratos, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, batman1986, sf, kraptaki, G SOZELGI, MrKitsos, Michalis, swt, saxon, alexpsomi, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, AM9079, John Salt

Υπολογισμού - Το πέρασμα του ποταμού (****)

Ο Νίκος ξεκίνησε από τη Νικόπολη στις 10:18 π.μ. και περπατώντας με σταθερή ταχύτητα έφτασε στην Γεωργιούπολη στις 1:30 μ.μ.
Την ίδια ημέρα, ο Γιώργος ξεκίνησε από την Γεωργιούπολη στις 9:00 π.μ. και περπατώντας με σταθερή ταχύτητα στον ίδιο δρόμο έφτασε στη Νικόπολη στις 11:40 π.μ.
Αυτός ο δρόμος περνάει πάνω από ένα πλατύ ποτάμι με μία γέφυρα. Ο Νίκος και ο Γιώργος έφτασαν ταυτόχρονα στο ποτάμι, ο καθένας από τη δική του πλευρά της όχθης. Ο Νίκος κατέβηκε από τη γέφυρα 1 λεπτό αργότερα από τον Γιώργο.
Τι ώρα έφτασαν στο ποτάμι;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
sf, Θανάσης Παπαδημητρίου, stratos, batman1986, G SOZELGI, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, kakkalos, daskalos1971, percival, Κυριαζής Γιώργος, saxon, MrKitsos, ioannesx, πρεφαδόρος στην υπόγα, Πειραχτήρι, kraptaki, Michalis, bill1988, tasosi2008, Δαιτσης Βασιλης, swt, dim kaps, kostas, ekolovos, asotos-ios, Kris Geo, Png, Petros, alexpsomi, Stathis, sotrixios, nerd, Αναστασία, Kensh1n, kontoleon, Odysseas, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, JOELMARX, Κώστας Κωνσταντάκος, nama, Γιάννης Α, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΤΣΑΟΥΣΗΣ, Νεφέλη, george pap, Antonios Seretis, Νίκος Ηλιόπουλος, Dyer, manoskothris, John Salt, skmmcj, King Ragnar, Nikos Stamatiou, Tamy, Βαγγέλης, Χρήστος Κάλλης

Λογικής - Οικογενειακό σκάκι (**)

Μια οικογένεια διοργάνωσε ένα τουρνουά σκάκι. Οι παίκτες ήταν η μητέρα, ο αδελφός της, η κόρη της και ο γιος της. Δύο από τα μέλη της οικογένειας ήταν δίδυμοι. Ο νικητής του τουρνουά είχε την ίδια ηλικία με τον τελευταίο της κατάταξης και αντίθετο φύλο από τον δίδυμο του τελευταίου. Ποιος κέρδισε το τουρνουά και ποιος ήρθε τελευταίος;

Λογικής - Το Νησί των Καταραμένων (*****)

Ο διευθυντής του φρενοκομείου στο Νησί των Καταραμένων κάλεσε τον αστυνόμο Σαΐνη για να διαλευκάνει μια δύσκολη υπόθεση. Στο ίδρυμά μας, του είπε, στεγάζονται μόνο γιατροί και ψυχικά διαταραγμένοι νοσηλευόμενοι. Τελευταία όμως όλοι έχουν αρχίσει να συμπεριφέρονται περίεργα. Τους παρατήρησα και κατάφερα να συγκεντρώσω τις πιο κάτω πληροφορίες:

1. Μερικοί έχουν γίνει δάσκαλοι των υπολοίπων. Ο καθένας έχει τουλάχιστον έναν δάσκαλο.
2. Κανένα άτομο Α δεν είναι διατεθειμένο να γίνει δάσκαλος ενός άλλου Β, εκτός αν ο Α πιστεύει ότι ο Β εμπιστεύεται τον εαυτό του.
3. Ο καθένας είτε εμπιστεύεται κάποιον είτε όχι.
4. Για κάθε άτομο Α υπάρχει ένα Β που εμπιστεύεται μόνο τα άτομα τα οποία έχουν τουλάχιστον έναν δάσκαλο που τον εμπιστεύεται ο Α. Με άλλα λόγια, για οποιοδήποτε άτομο Χ ισχύει ότι αν ο Α εμπιστεύεται κάποιον δάσκαλο του Χ  τότε ο Β εμπιστεύεται τον Χ, αντίθετα αν ο Α δεν εμπιστεύεται κανέναν δάσκαλο του Χ, τότε ο Β δεν εμπιστεύεται τον Χ.
5. Υπάρχει κάποιος που εμπιστεύεται όλους τους νοσηλευόμενους αλλά δεν εμπιστεύεται κανέναν από τους γιατρούς.
6. Οι παράφρονες αντιλαμβάνονται τις σχέσεις εμπιστοσύνης όλων των υπολοίπων αντίθετα, ενώ οι υγιείς τις αντιλαμβάνονται σωστά.

Πράγματι, κάτι δεν πάει καθόλου καλά στο φρενοκομείο σας, συμπέρανε ο Σαΐνης. Είτε κάποιος από τους νοσηλευόμενους είναι υγιής και θα πρέπει να ελευθερωθεί, είτε κάποιος από τους γιατρούς είναι παράφρων και θα πρέπει να απολυθεί.
Πώς έφτασε ο αστυνόμος Σαΐνης σε αυτό το συμπέρασμα;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:

sf, stratos, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, Θανάσης Παπαδημητρίου, percival, batman1986, G SOZELGI, Michalis, alexpsomi, swt, eshtebah, Dreamkiller, kraptaki