Παράδοξα - Το παράδοξο της Ωραίας Κοιμωμένης (*****)

Η Ωραία Κοιμωμένη δέχτηκε να συμμετάσχει στο παρακάτω πείραμα:
Την Κυριακή θα πάρει μία δόση υπνωτικού και θα πέσει για ύπνο. Ενώ κοιμάται, ένας ερευνητής θα στρίψει ένα νόμισμα.
Αν το νόμισμα έρθει Κορώνα, θα ξυπνήσει την Κοιμωμένη τη Δευτέρα και θα της κάνει την ερώτηση: «ποια είναι η πιθανότητα το νόμισμα που έστριψα να έφερε Κορώνα;». Η Κοιμωμένη θα δώσει την απάντησή της και το πείραμα θα τελειώσει.
Αν το νόμισμα έρθει Γράμματα, θα ξυπνήσει πάλι την Κοιμωμένη τη Δευτέρα και θα της κάνει την ίδια ερώτηση. Η Κοιμωμένη θα απαντήσει, αλλά στη συνέχεια θα της χορηγήσει άλλη μια δόση του υπνωτικού που θα την κοιμίσει μέχρι την Τρίτη. Τότε θα την ξυπνήσει πάλι και θα της επαναλάβει για δεύτερη φορά την ίδια ερώτηση. Η Κοιμωμένη θα απαντήσει και το πείραμα θα τελειώσει.
Η Κοιμωμένη γνωρίζει ακριβώς τους όρους του πειράματος, αλλά σε κανένα ξύπνημά της δεν γνωρίζει τι μέρα είναι, ούτε θυμάται αν έχει ξυπνήσει ξανά.
Ποια είναι η σωστή απάντηση που πρέπει να δώσει μόλις ξυπνήσει;

Το πρόβλημα έχει διχάσει τις γνώμες έμπειρων γριφολυτών, μαθηματικών και φιλοσόφων. Υπάρχουν τρεις διαφορετικές σχολές σκέψης: Οι halfers, που υποστηρίζουν πως η πιθανότητα είναι 1/2, οι thirders που υποστηρίζουν πως η πιθανότητα είναι 1/3 και οι ουδέτεροι που υποστηρίζουν πως το πρόβλημα δεν έχει ξεκάθαρη λύση γιατί δεν ορίζεται επαρκώς. Αυτός είναι ο λόγος που έχει χαρακτηριστεί παράδοξο, ενώ η διαμάχη των halfers με τους thirders συνεχίζεται μέχρι και σήμερα.

Ανάλυσης - Ευθείες εναντίον κύκλων (****)

Κάντε 4 σημεία σε ένα φύλλο χαρτί που να μην ανήκουν όλα στην ίδια ευθεία ή στον ίδιο κύκλο. Πόσες ευθείες και κύκλοι (συνολικά) ισαπέχουν από τα σημεία αυτά;

Διευκρίνιση: Απόσταση σημείου Α από κύκλο με κέντρο Ο, είναι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΤ, όπου Τ το σημείο τομής της ημιευθείας ΟΑ με την περιφέρεια του κύκλου.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Θανάσης Παπαδημητρίου, stratos, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, batman1986, sf, kraptaki, G SOZELGI, MrKitsos, Michalis, swt, saxon, alexpsomi, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, AM9079, John Salt

Υπολογισμού - Το πέρασμα του ποταμού (****)

Ο Νίκος ξεκίνησε από τη Νικόπολη στις 10:18 π.μ. και περπατώντας με σταθερή ταχύτητα έφτασε στην Γεωργιούπολη στις 1:30 μ.μ.
Την ίδια ημέρα, ο Γιώργος ξεκίνησε από την Γεωργιούπολη στις 9:00 π.μ. και περπατώντας με σταθερή ταχύτητα στον ίδιο δρόμο έφτασε στη Νικόπολη στις 11:40 π.μ.
Αυτός ο δρόμος περνάει πάνω από ένα πλατύ ποτάμι με μία γέφυρα. Ο Νίκος και ο Γιώργος έφτασαν ταυτόχρονα στο ποτάμι, ο καθένας από τη δική του πλευρά της όχθης. Ο Νίκος κατέβηκε από τη γέφυρα 1 λεπτό αργότερα από τον Γιώργο.
Τι ώρα έφτασαν στο ποτάμι;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
sf, Θανάσης Παπαδημητρίου, stratos, batman1986, G SOZELGI, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, kakkalos, daskalos1971, percival, Κυριαζής Γιώργος, saxon, MrKitsos, ioannesx, πρεφαδόρος στην υπόγα, Πειραχτήρι, kraptaki, Michalis, bill1988, tasosi2008, Δαιτσης Βασιλης, swt, dim kaps, kostas, ekolovos, asotos-ios, Kris Geo, Png, Petros, alexpsomi, Stathis, sotrixios, nerd, Αναστασία, Kensh1n, kontoleon, Odysseas, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, JOELMARX, Κώστας Κωνσταντάκος, nama, Γιάννης Α, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΤΣΑΟΥΣΗΣ, Νεφέλη, george pap, Antonios Seretis, Νίκος Ηλιόπουλος, Dyer, manoskothris, John Salt, skmmcj, King Ragnar, Nikos Stamatiou, Tamy, Βαγγέλης, Χρήστος Κάλλης

Λογικής - Οικογενειακό σκάκι (**)

Μια οικογένεια διοργάνωσε ένα τουρνουά σκάκι. Οι παίκτες ήταν η μητέρα, ο αδελφός της, η κόρη της και ο γιος της. Δύο από τα μέλη της οικογένειας ήταν δίδυμοι. Ο νικητής του τουρνουά είχε την ίδια ηλικία με τον τελευταίο της κατάταξης και αντίθετο φύλο από τον δίδυμο του τελευταίου. Ποιος κέρδισε το τουρνουά και ποιος ήρθε τελευταίος;

Λογικής - Το Νησί των Καταραμένων (*****)

Ο διευθυντής του φρενοκομείου στο Νησί των Καταραμένων κάλεσε τον αστυνόμο Σαΐνη για να διαλευκάνει μια δύσκολη υπόθεση. Στο ίδρυμά μας, του είπε, στεγάζονται μόνο γιατροί και ψυχικά διαταραγμένοι νοσηλευόμενοι. Τελευταία όμως όλοι έχουν αρχίσει να συμπεριφέρονται περίεργα. Τους παρατήρησα και κατάφερα να συγκεντρώσω τις πιο κάτω πληροφορίες:

1. Μερικοί έχουν γίνει δάσκαλοι των υπολοίπων. Ο καθένας έχει τουλάχιστον έναν δάσκαλο.
2. Κανένα άτομο Α δεν είναι διατεθειμένο να γίνει δάσκαλος ενός άλλου Β, εκτός αν ο Α πιστεύει ότι ο Β εμπιστεύεται τον εαυτό του.
3. Ο καθένας είτε εμπιστεύεται κάποιον είτε όχι.
4. Για κάθε άτομο Α υπάρχει ένα Β που εμπιστεύεται μόνο τα άτομα τα οποία έχουν τουλάχιστον έναν δάσκαλο που τον εμπιστεύεται ο Α. Με άλλα λόγια, για οποιοδήποτε άτομο Χ ισχύει ότι αν ο Α εμπιστεύεται κάποιον δάσκαλο του Χ  τότε ο Β εμπιστεύεται τον Χ, αντίθετα αν ο Α δεν εμπιστεύεται κανέναν δάσκαλο του Χ, τότε ο Β δεν εμπιστεύεται τον Χ.
5. Υπάρχει κάποιος που εμπιστεύεται όλους τους νοσηλευόμενους αλλά δεν εμπιστεύεται κανέναν από τους γιατρούς.
6. Οι παράφρονες αντιλαμβάνονται τις σχέσεις εμπιστοσύνης όλων των υπολοίπων αντίθετα, ενώ οι υγιείς τις αντιλαμβάνονται σωστά.

Πράγματι, κάτι δεν πάει καθόλου καλά στο φρενοκομείο σας, συμπέρανε ο Σαΐνης. Είτε κάποιος από τους νοσηλευόμενους είναι υγιής και θα πρέπει να ελευθερωθεί, είτε κάποιος από τους γιατρούς είναι παράφρων και θα πρέπει να απολυθεί.
Πώς έφτασε ο αστυνόμος Σαΐνης σε αυτό το συμπέρασμα;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:

sf, stratos, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, Θανάσης Παπαδημητρίου, percival, batman1986, G SOZELGI, Michalis, alexpsomi, swt, eshtebah, Dreamkiller, kraptaki

Ανάλυσης - Ζευγάρια ζώων (***)

Ενώστε με τρεις γραμμές τα ζευγάρια των ίδιων ζώων, έτσι ώστε οι γραμμές σας να μην διασταυρώνονται και να μην περνούν μέσα από τη λίμνη ή έξω από τη ζούγκλα.

Πιθανοτήτων - Οι τέσσερις ψεύτες (****)

Ο Άρης, ο Βασίλης, ο Γιάννης και ο Δημήτρης είναι τέσσερις φίλοι που ο καθένας τους λέει αλήθεια με πιθανότητα 1 στις 3 και ψέματα με πιθανότητα 2 στις 3.
Ο Άρης, ο Βασίλης και ο Γιάννης κάνουν με αυτή τη σειρά από μία δήλωση και στη συνέχεια ο Δημήτρης λέει ότι ο Γιάννης λέει ότι ο Βασίλης λέει ότι ο Άρης έλεγε την αλήθεια. Ποια είναι η πιθανότητα ο Άρης να έλεγε πράγματι την αλήθεια;

Διευκρινίσεις:

1. Ο καθένας τους γνωρίζει πότε ο άλλος λέει αλήθεια και πότε ψέματα.
2. Εμείς γνωρίζουμε μόνο τη δήλωση του Δημήτρη, αλλά ξέρουμε πως οι δηλώσεις του Βασίλη και του Γιάννη έχουν παρόμοια δομή.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Θανάσης Παπαδημητρίου, stratos, sf, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, Michalis, batman1986, percival, theo, swt, kraptaki, panoslep, alexpsomi, saxon, G SOZELGI, kakkalos, Χρήστος Κάλλης

Συνδυασμών - Πλέγμα (***)

Έχουμε ένα πλέγμα που αποτελείται από 6 οριζόντιες και 5 κάθετες ευθείες. Πόσα ορθογώνια παραλληλόγραμμα σχηματίζονται συνολικά μέσα σε αυτό το πλέγμα;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
cris, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, parmapan, jason1996, batman1986, stratos, Tamy, Κ29, demetris72, Harry_Potter, Michalis, swt, Θανάσης Παπαδημητρίου, MrKitsos, percival, theo, kraptaki, G SOZELGI, xaris, Diam, tasosi2008, Prefas, sf, nama, Πειραχτήρι, daskalos1971, Kris Geo, asotos-ios, kostas, alexpsomi, saxon, Γ. Κ., panoslep, Kensh1n, Kordas Antonis, JOELMARX, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, YIANNIS KAZIA, ΧΡΙΣΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, Png, Christina Pebbles, Nikos Stamatiou, AM9079, manoskothris, John Salt, Βαγγέλης

Υπολογισμού - Διπλός τριψήφιος (**)

Σκεφτείτε έναν τριψήφιο αριθμό. Γράψτε στο κομπιουτεράκι σας αυτόν τον αριθμό δύο συνεχόμενες φορές. Π.χ. αν σκεφτήκατε τον αριθμό 123 γράψτε 123123. Διαιρέστε τον αριθμό που έχετε στην οθόνη σας με το 7. Θα παρατηρήσετε πως η διαίρεση είναι τέλεια, δηλαδή δεν προκύπτουν δεκαδικά ψηφία. Διαιρέστε τον νέο αριθμό που έχετε στην οθόνη σας με το 11. Πάλι η διαίρεση είναι τέλεια. Διαιρέστε τον νέο αριθμό με το 13. Και πάλι η διαίρεση είναι τέλεια και μάλιστα τώρα έχετε καταλήξει στον αρχικό σας αριθμό.
Μπορείτε να αποδείξετε ότι όλα τα παραπάνω ισχύουν για οποιονδήποτε τριψήφιο αριθμό;

Ανάλυσης - Ο γύρος του κόσμου (****)

Ο διοικητής μιας βάσης αεροσκαφών ζήτησε από έναν πιλότο του να κάνει με το αεροσκάφος του το γύρο της Γης πάνω από τον ισημερινό της και να επιστρέψει πίσω στη βάση. Δυστυχώς τα καύσιμα που θα γεμίσει ο πιλότος στη βάση επαρκούν μέχρι τη μέση της διαδρομής και δεν υπάρχει πουθενά αλλού σταθμός ανεφοδιασμού.
Ο διοικητής που το γνώριζε αυτό, ζήτησε από κάποιους άλλους πιλότους να βοηθήσουν τον αρχικό, ανεφοδιάζοντας το αεροσκάφος του με μεταφορά καυσίμων από τα δικά τους.
Πόσα είναι τα ελάχιστα βοηθητικά αεροσκάφη που θα χρειαστούν ώστε να κάνει το πρώτο αεροσκάφος έναν πλήρη γύρο της Γης και να επιστρέψουν όλοι ασφαλείς στη βάση τους;

Διευκρινίσεις: Μεταφορές καυσίμων μπορούν να γίνουν και μεταξύ των βοηθητικών αεροσκαφών. Η μεταφορά καυσίμου και η αλλαγή πορείας των αεροσκαφών γίνονται ακαριαία. Κατά τη διαδικασία της απογείωσης και της προσγείωσης δεν καταναλώνονται ούτε περισσότερα ούτε λιγότερα καύσιμα από την κανονική πορεία των αεροσκαφών. Τα αεροσκάφη κινούνται με σταθερή ταχύτητα.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
saxon, kraptaki, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, stratos, Θανάσης Παπαδημητρίου, swt, Λουκούμης, batman1986, percival, demetris72, parmapan, sf, G SOZELGI, Tamy, Png, Michalis, theo, ioannesx, Antonios Seretis, Πειραχτήρι, daskalos1971, αχκακος, BOMBER, bill1988, kakkalos, sciamano caotico, nerd, sotrixios, alexpsomi, ΠανοςD, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, Stathis, Νίκος Ηλιόπουλος, John Salt, MrKitsos, Βαγγέλης