Πιθανοτήτων - Οι τέσσερις ψεύτες (****)

Ο Άρης, ο Βασίλης, ο Γιάννης και ο Δημήτρης είναι τέσσερις φίλοι που ο καθένας τους λέει αλήθεια με πιθανότητα 1 στις 3 και ψέματα με πιθανότητα 2 στις 3.
Ο Άρης, ο Βασίλης και ο Γιάννης κάνουν με αυτή τη σειρά από μία δήλωση και στη συνέχεια ο Δημήτρης λέει ότι ο Γιάννης λέει ότι ο Βασίλης λέει ότι ο Άρης έλεγε την αλήθεια. Ποια είναι η πιθανότητα ο Άρης να έλεγε πράγματι την αλήθεια;

Διευκρινίσεις:

1. Ο καθένας τους γνωρίζει πότε ο άλλος λέει αλήθεια και πότε ψέματα.
2. Εμείς γνωρίζουμε μόνο τη δήλωση του Δημήτρη, αλλά ξέρουμε πως οι δηλώσεις του Βασίλη και του Γιάννη έχουν παρόμοια δομή.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Θανάσης Παπαδημητρίου, stratos, sf, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, Michalis, batman1986, percival, theo, swt, kraptaki, panoslep, alexpsomi, saxon, G SOZELGI, kakkalos, Χρήστος Κάλλης

Συνδυασμών - Πλέγμα (***)

Έχουμε ένα πλέγμα που αποτελείται από 6 οριζόντιες και 5 κάθετες ευθείες. Πόσα ορθογώνια παραλληλόγραμμα σχηματίζονται συνολικά μέσα σε αυτό το πλέγμα;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
cris, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, parmapan, jason1996, batman1986, stratos, Tamy, Κ29, demetris72, Harry_Potter, Michalis, swt, Θανάσης Παπαδημητρίου, MrKitsos, percival, theo, kraptaki, G SOZELGI, xaris, Diam, tasosi2008, Prefas, sf, nama, Πειραχτήρι, daskalos1971, Kris Geo, asotos-ios, kostas, alexpsomi, saxon, Γ. Κ., panoslep, Kensh1n, Kordas Antonis, JOELMARX, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, YIANNIS KAZIA, ΧΡΙΣΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, Png, Christina Pebbles, Nikos Stamatiou, AM9079, manoskothris, John Salt, Βαγγέλης

Υπολογισμού - Διπλός τριψήφιος (**)

Σκεφτείτε έναν τριψήφιο αριθμό. Γράψτε στο κομπιουτεράκι σας αυτόν τον αριθμό δύο συνεχόμενες φορές. Π.χ. αν σκεφτήκατε τον αριθμό 123 γράψτε 123123. Διαιρέστε τον αριθμό που έχετε στην οθόνη σας με το 7. Θα παρατηρήσετε πως η διαίρεση είναι τέλεια, δηλαδή δεν προκύπτουν δεκαδικά ψηφία. Διαιρέστε τον νέο αριθμό που έχετε στην οθόνη σας με το 11. Πάλι η διαίρεση είναι τέλεια. Διαιρέστε τον νέο αριθμό με το 13. Και πάλι η διαίρεση είναι τέλεια και μάλιστα τώρα έχετε καταλήξει στον αρχικό σας αριθμό.
Μπορείτε να αποδείξετε ότι όλα τα παραπάνω ισχύουν για οποιονδήποτε τριψήφιο αριθμό;

Ανάλυσης - Ο γύρος του κόσμου (****)

Ο διοικητής μιας βάσης αεροσκαφών ζήτησε από έναν πιλότο του να κάνει με το αεροσκάφος του το γύρο της Γης πάνω από τον ισημερινό της και να επιστρέψει πίσω στη βάση. Δυστυχώς τα καύσιμα που θα γεμίσει ο πιλότος στη βάση επαρκούν μέχρι τη μέση της διαδρομής και δεν υπάρχει πουθενά αλλού σταθμός ανεφοδιασμού.
Ο διοικητής που το γνώριζε αυτό, ζήτησε από κάποιους άλλους πιλότους να βοηθήσουν τον αρχικό, ανεφοδιάζοντας το αεροσκάφος του με μεταφορά καυσίμων από τα δικά τους.
Πόσα είναι τα ελάχιστα βοηθητικά αεροσκάφη που θα χρειαστούν ώστε να κάνει το πρώτο αεροσκάφος έναν πλήρη γύρο της Γης και να επιστρέψουν όλοι ασφαλείς στη βάση τους;

Διευκρινίσεις: Μεταφορές καυσίμων μπορούν να γίνουν και μεταξύ των βοηθητικών αεροσκαφών. Η μεταφορά καυσίμου και η αλλαγή πορείας των αεροσκαφών γίνονται ακαριαία. Κατά τη διαδικασία της απογείωσης και της προσγείωσης δεν καταναλώνονται ούτε περισσότερα ούτε λιγότερα καύσιμα από την κανονική πορεία των αεροσκαφών. Τα αεροσκάφη κινούνται με σταθερή ταχύτητα.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
saxon, kraptaki, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, stratos, Θανάσης Παπαδημητρίου, swt, Λουκούμης, batman1986, percival, demetris72, parmapan, sf, G SOZELGI, Tamy, Png, Michalis, theo, ioannesx, Antonios Seretis, Πειραχτήρι, daskalos1971, αχκακος, BOMBER, bill1988, kakkalos, sciamano caotico, nerd, sotrixios, alexpsomi, ΠανοςD, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, Stathis, Νίκος Ηλιόπουλος, John Salt, MrKitsos, Βαγγέλης

Υπολογισμού - Λάθος στην επιταγή (***)

Χτες πήγα στη τράπεζα να εξαργυρώσω μια επιταγή. Ο ταμίας μου έδωσε τα χρήματα και τα έβαλα στην τσέπη μου χωρίς να τα μετρήσω. Εκείνη την ημέρα ξόδεψα 6,23 ευρώ. Το βράδυ, όταν μέτρησα τα χρήματα που είχαν απομείνει στην τσέπη μου, ανακάλυψα ότι, παραδόξως, ήταν διπλάσια από το ποσό της επιταγής που είχα δώσει στην τράπεζα. Έπειτα κατάλαβα πως ο ταμίας είχε κατά λάθος αντιστρέψει τον αριθμό των ευρώ με τον αριθμό των λεπτών της επιταγής στα χρήματα που μου έδωσε. Ποιο ήταν το ποσό της επιταγής;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
sf, Prefas, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, jason1996, lakostas, percival, Θανάσης Παπαδημητρίου, batman1986, MrKitsos, saxon, Papaveri, stratos, Λουκούμης, swt, kraptaki, takis, ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΣΓΟΥΡΟΜΑΛΛΗΣ, Aris Campis, stat7, Unknown, Σαββέλης, demetris72, G SOZELGI, Tamy, cris, Michalis, tasosi2008, μανος, Stathis, πρεφαδόρος στην υπόγα, Πειραχτήρι, Antonios Seretis, Mpego Eri, daskalos1971, nikos_ex, nama, Χρηστος Καλλης, Γεώργιος, kakkalos, BOMBER, Κυριαζής Γιώργος, dimsot1989, dim kaps, asotos-ios, Kris Geo, Γ. Κ., Chris Efthym, Χρηστος Χ., alexpsomi, Petros, sotrixios, Αναστασία, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, JOELMARX, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΤΣΑΟΥΣΗΣ, Kos Monodri, grvoodoo, gkk, K29, Png, Νίκος Ηλιόπουλος, Nikos Stamatiou, Dyer, AM9079, manoskothris, skmmcj, John Salt, Βαγγέλης

Έμπνευσης - Χαμένος στο δάσος (***)

Ένας ταξιδιώτης έχει χαθεί μέσα σε ένα μεγάλο δάσος. Κοντεύει να βραδιάσει και σκέφτεται πως θα αναγκαστεί να διανυκτερεύσει εκεί. Ενώ ετοιμαζόταν να ανάψει μια φωτιά για να ζεσταθεί, προσέχει πως λίγο πιο πέρα περνάει ένας σωλήνας ύδρευσης. Σκέφτεται πως αυτός ο σωλήνας πρέπει να τροφοδοτεί με νερό κάποια πόλη, οπότε αν τον ακολουθήσει σώθηκε. Το πρόβλημα είναι πως δεν ξέρει προς ποια κατεύθυνση πρέπει να ακολουθήσει τον σωλήνα για να βρεθεί στην πόλη. Ο σωλήνας είναι σιδερένιος και δεν μπορεί να τον τρυπήσει, ενώ δεν έχει αισθητή κλίση. Πώς θα βρει τη σωστή κατεύθυνση;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
sf, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, demetris72, parmapan, batman1986, paschalisb, MrKitsos, Papaveri, dimsot1989, ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΣΓΟΥΡΟΜΑΛΛΗΣ, kraptaki, stratos, Λάμπρος, anthula, Stelios Larisa, Antonios Seretis, G SOZELGI, Png, percival, Όλγα, swt, lakostas, Θανάσης Παπαδημητρίου, Vangelis Fountoulakis, saxon, Peter V, rockwave, Eleni Kalakona, ΓΚΙΩΝΗΣ, vassilistrend, ΔΕΜΕΛΙΔΙΣ, Johnny, Aris Campis, fran, ΜαΣτ, Agelos_X, Tamy, Τροικα, Michalis, eyedoc, Πειραχτήρι, paulseon, βασ.νταιφ, daskalos1971, triantafyllos, GEORGIOS, PEGI66, nama, Εταιρικές Προμήθειες, μανος, Βάσω Καλαϊτζίδου, τρυπητιανή, psark, Χρηστος Χ., ΧΡ.ΧΑΣΑΝΕΑΣ, Maria Tzogia, alma, bill1988, Michaela, ZORIKOS, Φωτης, QuestionOfHeaven, Μαρια Πανα, forest, Γ. Κ., Κατερίνα, panagiota kalatzi, alexpsomi, Λαέρτης, sciamano caotico, Seyfert, ΣΟΦΊΑ Κ., pbour, Γιασσιράνης Δημήτριος, ΝΙΚΟΣ ΤΟΣΙΤΣΑΣ, Stathis, nerd, filip, Kordas Antonis, ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΕΛΕΚΙΔΗΣ, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΤΣΑΟΥΣΗΣ, geo mwra, John Crabs, irondragon, Γιάννης Α, kiniklis007, Manos7, Kos Monodri, MelLo, dannys, Κίμωνας Προβατάς, ΒΑΛΑΝΤΗΣ, Γιώργης, Μανδαρινος, shieK_, Steli0s1, XENIOS ZEUS, ντινα, Thanos Maravelias, petalotis, Axilleas, Γιαννης Ορφανος, Christina Pebbles, Konstantinos K, Kris Geo, ilias.alkidis, Nikos Stamatiou, Conan1982, John Salt, jozagor, King Ragnar, Βαγγέλης, antonela

Λογικής - Ο κύκλος των χαμένων στοχαστών (****)

Ένας άγνωστος σε εμάς αριθμός Ν λογικολόγων πρόκειται να παίξουν το παρακάτω παιχνίδι: Ένας διαιτητής θα κολλήσει από δύο βούλες στο μέτωπο του κάθε λογικολόγου. Λέει σε όλους πως έχει στη διάθεσή του Ν+1 κόκκινες και Ν+1 μαύρες βούλες. Εκείνο που δεν ξέρουν είναι πως ο διαιτητής κόλλησε μία κόκκινη και μία μαύρη βούλα στο μέτωπο όλων των λογικολόγων εκτός από έναν στον οποίο κόλλησε δύο κόκκινες βούλες.
Οι λογικολόγοι κάθονται σε έναν κύκλο έτσι ώστε ο καθένας να βλέπει τις βούλες όλων των υπολοίπων. Ο διαιτητής τους ρωτάει με τη σειρά αρχίζοντας από αυτόν που κάθεται στη θέση 1, τι χρώμα έχουν οι δύο βούλες τους. Ο λογικολόγος με τις δύο κόκκινες βούλες κάθεται στην άγνωστη σε εμάς θέση Θ.
Για ποια Ν και για ποια Θ ο λογικολόγος με τις δύο κόκκινες βούλες καταφέρνει να βρει το χρώμα τους; Η απάντησή σας θα πρέπει να είναι αιτιολογημένη.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
theo, percival, stratos, batman1986, Prefas, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, Θανάσης Παπαδημητρίου, sf, kraptaki, swt, Michalis, G SOZELGI, saxon, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, Kordas Antonis, Νεφέλη, andefthim,

Συνδυασμών - Διαδρομή στην πόλη (***)

Ένας εργαζόμενος ξεκινάει κάθε πρωί από το σπίτι του που βρίσκεται στο σημείο Α στο σχήμα και πηγαίνει στη δουλειά του που βρίσκεται 5 οικοδομικά τετράγωνα ανατολικά και 3 βόρεια, δηλαδή στο σημείο Β.
Για να σπάσει λίγο τη μονοτονία, έχει αποφασίσει πως κάθε πρωί θα ακολουθεί και μία διαφορετική διαδρομή, χωρίς όμως αυτό να του στοιχίζει σε επιπλέον απόσταση. Σε πόσες ημέρες θα έχει εξαντλήσει όλες τις εναλλακτικές διαδρομές;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
takis, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, parmapan, Prefas, G SOZELGI, percival, MrKitsos, stratos, Logician, theo, batman1986, kraptaki, trixas, vassilistrend, Θανάσης Παπαδημητρίου, Michalis, swt, Fanis, stefanos.trikala, jason1996, Πέτρος, lakostas, Steli0s1, sf, Αλέκος Ντόρντας, Κ29, DepyAl, Png, saxon, ΔηΓε, Tamy, xaris, nama, tasosi2008, daskalos1971, kakkalos, asotos-ios, alexpsomi, panoslep, Πανος Τσιν, Kensh1n, Kordas Antonis, JOELMARX, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, Νεφέλη, YIANNIS KAZIA, ΧΡΙΣΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, kontoleon, gavrilos, Kris Geo, sakis kefallinos, Nikos Stamatiou, AM9079, John Salt, Βαγγέλης

Συνδυαστικής σκέψης - Επτά γραμματόσημα (***)

Κάποιος δείχνει σε τρεις λογικολόγους 7 γραμματόσημα: 2 άσπρα, 2 μαύρα και 3 κόκκινα. Τους λέει πως θα τους δέσει τα μάτια, θα βάλει από ένα γραμματόσημο στο μέτωπο του κάθε λογικολόγου και τα υπόλοιπα θα τα κρύψει. Όταν τους ελευθέρωσε τα μάτια, ο κάθε λογικολόγος μπορεί να βλέπει τα γραμματόσημα των άλλων δύο αλλά όχι το δικό του.
Ρωτάει λοιπόν τον 1ο: Μπορείς να μου πεις ένα χρώμα από τα τρία που σου έδειξα το οποίο σίγουρα δεν έχει το γραμματόσημό σου; Η απάντηση του λογικολόγου ήταν αρνητική. Επαναλαμβάνει την ίδια ερώτηση στον 2ο λογικολόγο και παίρνει επίσης αρνητική απάντηση.
Με αυτές τις πληροφορίες, μπορείτε να βρείτε το χρώμα του γραμματοσήμου ενός από τους τρεις λογικολόγους και ποιος από τους τρεις το έχει;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
percival, swt, Θανάσης Παπαδημητρίου, BOMBER, takis, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, Prefas, Logician, batman1986, MrKitsos, stratos, parmapan, kraptaki, G SOZELGI, theo, ilias.alkidis, Michalis, MelLo, Πέτρος, sotrixios, lakostas, Steli0s1, Κύριος Ζίκος, saxon, Stathis, zoick, sf, #@#, Aris Campis, paok, ΔηΓε, Diam, Antonios Seretis, zog10, nikos_ex, Χρηστος Χ., nama, Apsou, αχκακος, asotos-ios, Kris Geo, Chris Efthym, Peter V, guitaboygrizi, MelLo, alexpsomi, panoslep, nerd, filip, Kensh1n, Zήσης Σ., Νίκος, Celestia, Γιάννης Α, JOELMARX, γιωργοςταφ, iosif, Γιάννης Α, bufoskbekatsas, poe815, Ioannis, anna_x, Νεφέλη, ντινα, George Stamp, kakkalos, kb666, alexa anime, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, Νίκος Ηλιόπουλος, andefthim, Peter Vettas, gerodiak, King Ragnar, John Salt, KiraDesu, Βαγγέλης, Χρήστος Κάλλης,

Πιθανοτήτων - Το ξένο είναι πιο γλυκό (*****)

Ο Mr. Riddler εξηγεί στους παίκτες Α και Β το παιχνίδι που πρόκειται να παίξουν: «Έχω στο γραφείο μου κάποιους φακέλους, ο καθένας από τους οποίους περιέχει ένα διαφορετικό χρηματικό ποσό. Θα διαλέξω στην τύχη έναν από αυτούς τους φακέλους, θα δω το ποσό που περιέχει και θα τον δώσω κλειστό στον παίκτη Α. Στη συνέχεια θα στρίψω ένα νόμισμα και αν φέρει Γράμματα θα βάλω σε έναν νέο φάκελο το μισό ποσό από αυτό που περιέχει ο φάκελος του παίκτη Α, ενώ αν φέρει Κορώνα θα βάλω μέσα το διπλάσιο ποσό. Αυτόν τον φάκελο θα τον δώσω κλειστό στον παίκτη Β. Στη συνέχεια θα σας καλέσω με τη σειρά στο γραφείο μου και θα σας ζητήσω να αποφασίσετε αν θέλετε να ανταλλάξετε φακέλους με τον άλλο παίκτη ή όχι. Αν ζητήσετε και οι δύο ανταλλαγή τότε αυτή θα πραγματοποιηθεί, αλλιώς θα μείνει ο καθένας με τον αρχικό του φάκελο. Το ποσό που θα καταλήξει στον καθένα σας θα είναι δικό σας».
Πράγματι ακολουθήθηκε αυτή η διαδικασία, αλλά πριν ο Mr. Riddler φωνάξει τον παίκτη Α στο γραφείο του, ο Α λέει στον Β ότι μιας και δεν τους βλέπει ο Riddler, δεν θα είχε αντίρρηση αν ο Β αποκάλυπτε το ποσό του φακέλου του ώστε να βοηθηθούν λίγο στην απόφασή τους. Ο Β συμφωνεί, ανοίγει τον φάκελό του και βλέπουν και οι δύο πως περιέχει το ποσό των 100 ευρώ. Στη συνέχεια ο Mr. Riddler καλεί τους δύο παίκτες με τη σειρά να του ανακοινώσουν την απόφασή τους.
Ποια απόφαση αποδίδει το μεγαλύτερο αναμενόμενο κέρδος ξεχωριστά για τους παίκτες Α και Β και γιατί;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
percival, Θανάσης Παπαδημητρίου, batman1986, Aliki, stratos, kraptaki, stat7, Michalis, saxon, kontoleon, sf, swt,