Συνδυασμών - Ελάχιστοι ίπποι (*****)

Πόσοι είναι οι ελάχιστοι ίπποι που απαιτούνται για να απειλούν όλα τα τετράγωνα μιας σκακιέρας εκτός από αυτά που καταλαμβάνονται ήδη από κάποιον ίππο;
Διευκρίνιση: Κανένα τετράγωνο που καταλαμβάνεται από ίππο δεν πρέπει να απειλείται.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
batman1986, Michalis, saxon, swt, efthimis, stratos, kraptaki, percival, Tamy, Θανάσης Παπαδημητρίου, sf, daskalos1971, G SOZELGI, alexpsomi, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, sakis kefallinos, Βαγγέλης

Λογικής - Αγώνες δρόμου (****)

Για την κούρσα των 400 μέτρων μιας αθλητικής διοργάνωσης δήλωσαν συμμετοχή 25 αθλητές. Ο στίβος διαθέτει 5 διαδρομές, οπότε μόνο 5 αθλητές μπορούν να αγωνίζονται ταυτόχρονα. Πόσες είναι οι λιγότερες κούρσες που πρέπει να γίνουν για να προσδιορισθούν οι 3 γρηγορότεροι αθλητές του συνόλου και να τους αποδοθούν το χρυσό, το αργυρό και το χάλκινο μετάλλιο; Ποιοι αθλητές θα τρέξουν σε κάθε κούρσα;

Σημειώσεις: Υποθέστε πως ο κάθε αθλητής έχει την ίδια απόδοση σε κάθε κούρσα. Τα αποτελέσματα των αγώνων βγαίνουν από τη σχετική κατάταξη των αθλητών και όχι από τους χρόνους τους. Δεν είναι απαραίτητο να εφαρμόσετε μια τυπική διαδικασία επιλογής αθλητών γιατί το ζητούμενο εδώ είναι μόνο να αναδειχτούν σωστά οι τρεις ταχύτεροι και όχι να κλιμακώνεται το ενδιαφέρον των αγώνων.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
swt, Michalis, ΧΑΡΗΣ, stratos, saxon, batman1986, cascader, sotrixios, theo, Dimitrios, panos, ξενοφων, ras, teo28april, efthimis, βιγλαβοθ83, Xeliaz, asofe, Θανάσης Παπαδημητρίου, xristoforos, straniero, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, percival, Aspect, kraptaki, hara, pegasusgr, κακολυκος, αχκακος, vassilistrend, depier-2012, giorgaras55, Tamy, Χαράλαμπος Αλεξόπουλος, Aliki, nama, G SOZELGI, Εύα, BOMBER, Anestis, paok, Antonios Seretis, Kris Geo, sf, Stathis, daskalos1971, ioannesx, kostas thanasis, Πειραχτήρι, George Efthim, ΑΝΔΡΕΟΥ ΗΛΙΑΣ, asotos-ios, QuestionOfHeaven, MixMar, panoslep, nerd, alexpsomi, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, JOELMARX, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΤΣΑΟΥΣΗΣ, kakkalos, Νεφέλη, Athanas79 P., Nikos Stamatiou, John Salt, King Ragnar, Βαγγέλης

Παράδοξα - Όλα τα τρίγωνα είναι ισοσκελή (**)

1.     Κατασκευάζουμε ένα τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ.

2.     Φέρνουμε τη διχοτόμο της γωνίας Α και τη μεσοκάθετη της πλευράς ΒΓ. Το σημείο που τέμνονται το ονομάζουμε Η. Από το σημείο Η φέρνουμε κάθετες και προς τις άλλες δύο πλευρές.

3.     Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΕΗ και ΑΖΗ είναι ίσα, επειδή έχουν ίση τη μισή γωνία Α και την πλευρά ΑΗ κοινή. Άρα ΑΕ = ΑΖ (1).

4.     Τα ορθογώνια τρίγωνα ΒΔΗ και ΓΔΗ είναι ίσα, επειδή έχουν ΒΔ = ΔΓ και την πλευρά ΗΔ κοινή. Άρα ΗΒ = ΗΓ.

5.     Τα ορθογώνια τρίγωνα ΒΕΗ και ΓΖΗ είναι ίσα, επειδή έχουν ΗΒ = ΗΓ (από το Βήμα 4) και ΕΗ = ΗΖ (από το Βήμα 3). Άρα ΕΒ = ΖΓ (2).

6.     Με πρόσθεση κατά μέλη των (1) και (2) προκύπτει πως ΑΒ = ΑΓ.

7.     Άρα το τυχαίο τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Που βρίσκεται το λάθος;

Ανάλυσης - Παιχνίδι με σπίρτα (*****)

Παίζετε με έναν φίλο σας το παρακάτω παιχνίδι: Σχηματίζετε 9 σειρές από σπίρτα. Στην πρώτη σειρά βάζετε 1 σπίρτο, στη δεύτερη σειρά βάζετε 2 σπίρτα, κ.ο.κ., μέχρι την ένατη σειρά στην οποία βάζετε 9 σπίρτα.
Παίζετε εναλλάξ και ο κάθε παίκτης στη σειρά του μπορεί να αφαιρέσει από 1 έως όλα τα σπίρτα μιας οποιασδήποτε σειράς. Όποιος παίκτης αναγκαστεί να πάρει το τελευταίο σπίρτο χάνει το παιχνίδι.
Σας συμφέρει να παίξετε πρώτος ή δεύτερος; Με ποια στρατηγική θα κερδίσετε στα σίγουρα το παιχνίδι;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
swt, stratos, ΧΑΡΗΣ, batman1986, Michalis, sotrixios, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, kraptaki, percival, Θανάσης Παπαδημητρίου, sf, gerodiak, alexpsomi, saxon, Νίκος Ηλιόπουλος

Ανάλυσης - 4 ίπποι (***)

Στην εικόνα παρουσιάζονται 2 λευκοί και 2 μαύροι ίπποι τοποθετημένοι σε ένα τμήμα της σκακιέρας. Με ποιες κινήσεις μπορούμε να ανταλλάξουμε τις θέσεις των λευκών με τους μαύρους ίππους;

Διευκρινίσεις:

1. Οι ίπποι επιτρέπεται να κινηθούν μόνο εντός των τετραγώνων που απεικονίζονται στο σχήμα.
2. Η κίνηση του κάθε ίππου πρέπει να είναι ίδια με αυτή που κάνει στο σκάκι, δηλαδή σχήματος «Γ».
3. Ένας ίππος μπορεί να υπερπηδά άλλους ίππους, αλλά δεν μπορεί να καταλήγει σε τετράγωνο που καταλαμβάνεται από κάποιον άλλον ίππο.
4. Δώστε τις κινήσεις σας χρησιμοποιώντας τους αριθμούς που φαίνονται σε κάθε τετράγωνο.

Υπόδειξη: Ο γρίφος λύνεται πολύ εύκολα αν κάνετε έναν μετασχηματισμό της αρχικής διάταξης. Αν δεν βλέπετε πώς, σας δίνεται μία λέξη βοήθειας. Μαρκάρετε με το ποντίκι την περιοχή ανάμεσα στα δύο βέλη για να αποκαλυφθεί.
Λέξη βοήθειας: → Γράφημα ←

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
swt, stratos, fighter, ΧΑΡΗΣ, batman1986, Michalis, Vizener, sotrixios, saxon, Chronopoulos, johnthegreek, ξενοφων, efthimis, EpicZeroXXi, Steli0s1, avevaios, mpwallas, straniero, AlexiouG, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, percival, qwerty, BAndrew, Mike Ambas, Tamy, MrKitsos, kraptaki, Θανάσης Παπαδημητρίου, Prefas, G SOZELGI, Αλέκος Ντόρντας, Png, daskalos1971, kakkalos, sf, Χρηστος Χ., Λαέρτης, alexpsomi, Νεφέλη, Stathis, sakis kefallinos, Nikos Stamatiou, manoskothris, John Salt, Βαγγέλης

Συνδυασμών - Δωμάτια ξενοδοχείου (*****)

Τέσσερα ζευγάρια πήγαν διακοπές σε κάποιο ξενοδοχείο. Μόλις έφτασαν ο ξενοδόχος τους έδωσε τέσσερα συνεχόμενα δίκλινα δωμάτια με τους αριθμούς από 1 έως 4. Οι γυναίκες ανέβηκαν για να διαλέξουν δωμάτια και κάθισε η κάθε μία στο δωμάτιό της περιμένοντας τον σύζυγό της, ενώ οι άντρες έμειναν κάτω για να πιούν ένα ποτό. Μετά από λίγη ώρα, αποφάσισαν να ανέβουν και να πάει ο καθένας στο δωμάτιο που διάλεξε η γυναίκα του.
«Αν ανέβουμε ένας-ένας και ανοίγουμε τις 4 πόρτες μέχρι να βρούμε τη σύζυγό μας, ποια να είναι άραγε η πιθανότητα να το επιτύχουμε αυτό όλοι με δύο το πολύ προσπάθειες ο καθένας;» ρώτησε ο πρώτος.
«Αυτό είναι εύκολο» του απάντησε ο δεύτερος. «Αφού θα ανοίγουμε 2 στις 4 πόρτες, ο καθένας μας έχει πιθανότητα 1/2 να βρει τη σύζυγό του. Και για να τα καταφέρουμε και οι τέσσερις, η πιθανότητα είναι 1/2^4 = 1/16 ή 6,25%».
«Λάθος!» ανακοίνωσε ο τρίτος. «Υπάρχει τρόπος να επιτύχουμε το ζητούμενο με πιθανότητα μεγαλύτερη από 40% και μάλιστα χωρίς να επικοινωνήσουμε με τις γυναίκες μας ή μεταξύ μας από τη στιγμή που θα ανέβει ο πρώτος».
Με ποια μέθοδο μπορούν να το καταφέρουν αυτό;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
stratos, batman1986, Michalis, swt, ΧΑΡΗΣ, saxon, straniero, takis, sotrixios, pegasusgr, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, percival, Θανάσης Παπαδημητρίου, kraptaki, G SOZELGI, Αλέκος Ντόρντας, sf, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, Νεφέλη, Βαγγέλης

Έμπνευσης - 1-2-3 (***)

Η Άννα λέει στον Βασίλη πως θα βάλει στο μυαλό της τον αριθμό 1 ή 2 ή 3. Ο Βασίλης θα της κάνει μία ερώτηση για να ανακαλύψει τον αριθμό της. Η Άννα θα πρέπει να απαντήσει στην ερώτηση ευθέως και ειλικρινώς με μία εκ των φράσεων «ναι», «όχι» ή «δεν ξέρω» αν δεν γνωρίζει την απάντηση. Βρείτε μια ερώτηση για τον Βασίλη που δίνει με βεβαιότητα τον αριθμό της Άννας.
Σημείωση: Οι τρεις αριθμοί δεν επιτρέπεται να αντιστοιχιστούν αυθαίρετα στις τρεις απαντήσεις ή σε άλλες έννοιες.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
batman1986, stratos, Antonis1996, Michalis, ΘΑΝΑΤΟΣ, swt, Papis, Nikos, Evangelos, Dreamkiller, sotrixios, fighter, ksekarfotos, giorgaras55, ΧΑΡΗΣ, DanielGraig, stavgeor, offspring, Δημητρης, iliasultras, johnthegreek, Δ.Δ., killerado, enfante gatee, theo, Κώστας Κ., malo, saxon, mathusalas, Lucidreamer, Dimitrios, panos, giapou, kraptaki, Nikos Stamatiou, Θανάσης Παπαδημητρίου, rockwave, asofe, ION, soulis, koritsares, BOMBER, sbetsika, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, nasok, percival, takis, thanosda, qwerty, forest, Roland_Of_Gilead, Mike Ambas, BAndrew, Dimitris Tsarouhas, erratic, DepyAl, nama, voula, Peter V, Θοδωρής, G SOZELGI, Steli0s1, Charitakis Ioannis, Anestis, Haris kartalis, vergil8893, dimsot1989, paschalisb, Stelios Larisa, Antonios Seretis, sf, lakostas, Lucidreamer, nikos_ex, daskalos1971, Πειραχτήρι, ΧΡ.ΧΑΣΑΝΕΑΣ, kakkalos, Γ.Σωτηρόπουλος, geo, alma, gerodiak, bill1988, Kris Geo, Κατερίνα, alexpsomi, Λαέρτης, InF3XioN, Vagellis XATZHPANTAZHS, tympos, nerd, Stathis, Kensh1n, NikosL, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, Νεφέλη, sciamano caotico, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΤΣΑΟΥΣΗΣ, Γρηγόρης, kostaskr, ilias.alkidis, John Salt, Βαγγέλης, KiraDesu

Ανάλυσης - Τα 101 ρομπότ της Εταιρείας (****)

Μια εταιρεία κατασκεύασε 101 όμοια ρομπότ αλλά στη συνέχεια διαπίστωσε πως κάποια από αυτά βγήκαν ελαττωματικά. Φώναξε λοιπόν ο διευθυντής έναν τεχνικό και του ανέθεσε να εντοπίσει τα ελαττωματικά ρομπότ για να τα στείλουν προς καταστροφή. Του έδωσε τις παρακάτω οδηγίες: «Το κάθε ρομπότ είναι εφοδιασμένο με ένα σύστημα διάγνωσης της κατάστασης κάποιου άλλου ρομπότ. Συνδέεις αυτό το βύσμα του ελεγκτικού ρομπότ σε αυτή την υποδοχή του εξεταζόμενου ρομπότ και αν ανάψει αυτό το φωτάκι στο ελεγκτικό ρομπότ τότε το εξεταζόμενο ρομπότ είναι κανονικό. Αν δεν ανάψει τότε το εξεταζόμενο ρομπότ είναι ελαττωματικό και πρέπει να καταστραφεί. Το κάθε ρομπότ μπορεί να εξεταστεί μέχρι δύο φορές για το αν είναι κανονικό ή όχι. Μπορείς να έχεις εμπιστοσύνη στις διαγνώσεις των κανονικών ρομπότ γιατί είναι πάντοτε σωστές, αλλά δεν μπορείς να έχεις καμία εμπιστοσύνη στις διαγνώσεις των ελαττωματικών οι οποίες είναι πότε σωστές και πότε λάθος. Θα μπορούσαμε βέβαια να τα καταστρέψουμε όλα, αλλά κάτι τέτοιο θα ήταν ασύμφορο για την εταιρεία μας, γιατί γνωρίζουμε με βεβαιότητα ότι τα περισσότερα ρομπότ είναι κανονικά».
Με ποια μέθοδο θα καταφέρει ο τεχνικός να εντοπίσει όλα τα ελαττωματικά ρομπότ;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Nick, stratos, Michalis, swt, Je vais evanouir, batman1986, sotrixios, fighter, ΧΑΡΗΣ, saxon, foikonomop, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, percival, kraptaki, Θανάσης Παπαδημητρίου, MelLo, sf, G SOZELGI, Πειραχτήρι, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, daskalos1971

Συνδυαστικής σκέψης - Άθροισμα και γινόμενο (*****)

Δύο φοιτητές μαθηματικών, ο Άρης και ο Γιώργος, ενδιαφέρονται για την ίδια συμφοιτήτριά τους τη Μαρία. Αυτή τους είπε πως θα τα φτιάξει με αυτόν που θα αποδειχτεί πιο έξυπνος από τους δύο. Έβαλε στο μυαλό της δύο ακέραιους αριθμούς από το 3 έως το 100 και ψιθύρισε στον Άρη το άθροισμά τους και στον Γιώργο το γινόμενό τους. Τους εξήγησε τους κανόνες και τους είπε πως όποιος από τους δύο καταφέρει να βρει τους δύο αριθμούς θα κερδίσει την καρδιά της. Τότε οι δύο φοιτητές έκαναν μεταξύ τους τον παρακάτω διάλογο:

• Άρης: Ξέρω πως δεν μπορείς να βρεις τους αριθμούς. Δυστυχώς ούτε κι εγώ μπορώ.
• Γιώργος: Τώρα με αυτό που είπες τους βρήκα!
• Άρης: Τώρα τους βρήκα κι εγώ!

Στο τέλος έμειναν κι οι δύο μπουκάλες γιατί ήρθαν ισοπαλία, αλλά τουλάχιστον πήραν την ικανοποίηση πως έλυσαν το γρίφο της Μαρίας. Ποιοι ήταν οι δύο αριθμοί;
Σαν βοήθεια δίνεται η Εικασία του Goldbach, που λέει πως κάθε ζυγός αριθμός μπορεί να γραφτεί σαν άθροισμα δύο πρώτων. Παρόλο που δεν έχει αποδειχτεί για κάθε αριθμό, ισχύει στα σίγουρα μέσα στα όρια που θέτει το πρόβλημα.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
batman1986, stratos, swt, Michalis, UERTHI, Θανάσης Παπαδημητρίου, saxon, MrKitsos, kraptaki, forest, percival, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, A.S., sf, G SOZELGI, alexpsomi, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ

Ζυγίσεων - Σάκος με ζάχαρη (*****)

Ένας μπακάλης έχει στη διάθεσή του ένα σάκο με ζάχαρη βάρους 10 κιλών, δύο βαρίδια βάρους 200 και 300 γραμμαρίων και μια ζυγαριά δύο δίσκων.
Πουλάει αυτή τη ζάχαρη μόνο σε πολλαπλάσια των 100 γραμμαρίων και μόνο αν η ποσότητα που του ζητήσει ο πελάτης μπορεί να μετρηθεί το πολύ με 3 ζυγίσεις.
Ποια είναι η πιθανότητα να μπορέσει να εξυπηρετηθεί ο πρώτος πελάτης που θα μπει στο μαγαζί και θα του ζητήσει οποιοδήποτε πολλαπλάσιο των 100 γραμμαρίων με όριο τα 10 κιλά;

Σημείωση: Θεωρήστε ότι μία ζύγιση ολοκληρώνεται τη στιγμή που ο ζυγός ισορροπεί. Επίσης θεωρήστε αμελητέο το βάρος κάθε σάκου που θα χρησιμοποιήσει για τη συγκέντρωση της ζάχαρης.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
swt, stratos, saxon, batman1986, Michalis, Evangelos, ksekarfotos, ΧΑΡΗΣ, stavgeor, killerado, theo, boilover, avevaios, Θανάσης Παπαδημητρίου, efthimis, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, Νικόλας_Χ, kraptaki, percival, ΜΑΡΑΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ, G SOZELGI, Aliki, gkk, sf, daskalos1971, Kris Geo, JOELMARX, Γρηγόρης, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, gerodiak, John Salt