Ζυγίσεων - Σάκος με ζάχαρη (*****)

Ένας μπακάλης έχει στη διάθεσή του ένα σάκο με ζάχαρη βάρους 10 κιλών, δύο βαρίδια βάρους 200 και 300 γραμμαρίων και μια ζυγαριά δύο δίσκων.
Πουλάει αυτή τη ζάχαρη μόνο σε πολλαπλάσια των 100 γραμμαρίων και μόνο αν η ποσότητα που του ζητήσει ο πελάτης μπορεί να μετρηθεί το πολύ με 3 ζυγίσεις.
Ποια είναι η πιθανότητα να μπορέσει να εξυπηρετηθεί ο πρώτος πελάτης που θα μπει στο μαγαζί και θα του ζητήσει οποιοδήποτε πολλαπλάσιο των 100 γραμμαρίων με όριο τα 10 κιλά;

Σημείωση: Θεωρήστε ότι μία ζύγιση ολοκληρώνεται τη στιγμή που ο ζυγός ισορροπεί. Επίσης θεωρήστε αμελητέο το βάρος κάθε σάκου που θα χρησιμοποιήσει για τη συγκέντρωση της ζάχαρης.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
swt, stratos, saxon, batman1986, Michalis, Evangelos, ksekarfotos, ΧΑΡΗΣ, stavgeor, killerado, theo, boilover, avevaios, Θανάσης Παπαδημητρίου, efthimis, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, Νικόλας_Χ, kraptaki, percival, ΜΑΡΑΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ, G SOZELGI, Aliki, gkk, sf, daskalos1971, Kris Geo, JOELMARX, Γρηγόρης, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, gerodiak, John Salt

Υπολογισμού - Το κυνήγι της χήνας (****)

Μια χήνα βρίσκεται στο κέντρο μιας κυκλικής λίμνης. Ένας λύκος βρίσκεται στην όχθη της λίμνης και θα ήθελε πολύ να τη φάει αλλά δεν ξέρει κολύμπι. Αν η χήνα καταφέρει να κολυμπήσει μέχρι την όχθη της λίμνης τότε μπορεί στιγμιαία να πετάξει και να γλυτώσει από τα δόντια του λύκου. Ο λύκος τρέχει 4 φορές πιο γρήγορα απ’ ότι κολυμπάει η χήνα και κινείται πάντοτε προς την κατεύθυνση που τον φέρνει πιο κοντά της.
Μπορεί να γλυτώσει η χήνα; Αν ναι, περιγράψτε τη διαδρομή που πρέπει να ακολουθήσει και δώστε μια εκτίμηση του ελάχιστου μήκους της.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
stratos, kraptaki, batman1986, ΧΑΡΗΣ, swt, Michalis, aldel, Png,        Aris S, gkk, Fenthick, GooD, Aristotelis Kodos, ΘΑΝΑΤΟΣ, stavgeor, johnthegreek, killerado, Biorebel, tasosi2008, saxon, panos, efthimis, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, takis, percival, Θανάσης Παπαδημητρίου, ZORIKOS, Tamy, L, parmapan, G SOZELGI, Κυριάκος Κουγιουμτζόπουλος, dimsot1989, Steli0s1, ntsa, Πειραχτήρι, daskalos1971, Kris Geo, Γ. Κ., Μιχάλης, sf, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, Γιάννης Α, Νεφέλη, Stathis, Νίκος Ηλιόπουλος, Dyer, John Salt, Βαγγέλης

Συνδυασμών - Χρηματοκιβώτιο (***)

Ο ιδιοκτήτης μιας τράπεζας θέλει να βάλει ένα καινούργιο χρηματοκιβώτιο. Επειδή δεν έχει και πολύ εμπιστοσύνη στον διευθυντή και τους 5 ταμίες του, θέλει το χρηματοκιβώτιο να μπορεί να ανοιχτεί μόνο από τον διευθυντή και έναν οποιονδήποτε ταμία ή από τρεις οποιουσδήποτε ταμίες μαζί. Οπότε αποφάσισε το χρηματοκιβώτιο να έχει έναν ορισμένο αριθμό διαφορετικών κλειδαριών και τα κλειδιά τους να μοιραστούν με κάποιο τρόπο ο διευθυντής και οι 5 ταμίες. Κάθε κλειδαριά μπορεί να έχει πολλά αντικλείδια.
Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κλειδαριών που πρέπει να έχει το νέο χρηματοκιβώτιο και πώς θα μοιραστούν τα κλειδιά τους στον διευθυντή και τους 5 ταμίες;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Michalis, stratos, swt, batman1986, kraptaki, ΧΑΡΗΣ, Volanaron, Test, ΘΑΝΑΤΟΣ, giorgaras55, stavgeor, efthimis, asofe, Θανάσης Παπαδημητρίου, Png, sbetsika, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, percival, pegasusgr, Κ29, G SOZELGI, jason1996, sf, daskalos1971, nama, alexpsomi, saxon, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, John Salt

Συνδυαστικής σκέψης - Καπέλα με αριθμούς (****)

Τρεις λογικολόγοι, ο Α ο Β και ο Γ, φοράνε από ένα καπέλο το οποίο έχει πάνω του έναν θετικό ακέραιο αριθμό. Ο καθένας μπορεί να βλέπει τους αριθμούς στα καπέλα των άλλων δύο αλλά δεν ξέρει τον αριθμό του δικού του καπέλου. Η μόνη πληροφορία που τους δίνεται είναι ότι το άθροισμα των αριθμών των δύο καπέλων μας δίνει τον αριθμό στο τρίτο καπέλο. Τους ζητείται με τη σειρά να βρουν τον αριθμό που έχει ο καθένας στο καπέλο του και δίνονται οι πιο κάτω απαντήσεις:

- Α: Δεν γνωρίζω
- Β: Δεν γνωρίζω
- Γ: Δεν γνωρίζω
- Α: Ο αριθμός μου είναι το 50.

Ποιους αριθμούς έχουν τα καπέλα του Β και του Γ και πως κατέληξε ο Α σε αυτό το συμπέρασμα;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
stratos, kraptaki, batman1986, Michalis, swt, sotrixios, manwlou, offspring, ΧΑΡΗΣ, aldel, kyriakos, Url, sam66, Συνδυαστης, Test, ΘΑΝΑΤΟΣ, stavgeor, Theo, eltsa85, Diam, Aspect, Xeliaz, AlexiouG, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, straniero, Θανάσης Παπαδημητρίου, ΜΑΚΗΣ, percival, κακολυκος, αχκακος, giorgaras55, panosvlach, saxon, Ioannis, george_pap, Prefas, G SOZELGI, Panagioths Panos, sf, stergios, asotos-ios, MelLo, alexpsomi, nerd, irene mich, Γιώργος Κουκ, Steli0s1, mpaslisd, Αχιλλέας, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, andefthim,

Ανάλυσης - Ποιος είναι ο μεγαλύτερος; (*****)

Ποιος από τους δύο αριθμούς είναι μεγαλύτερος; Ο 17¹⁴ ή ο 31¹¹ ;
Βρείτε έναν τρόπο να το αποδείξετε με ελάχιστες πράξεις, χωρίς να χρησιμοποιήσετε κομπιουτεράκι ή λογαριθμικό πίνακα.

Συνδυασμών - Τέσσερα σημεία στο επίπεδο (****)

Από τις τέσσερις κορυφές ενός τετραγώνου ορίζονται δύο διαφορετικές αποστάσεις, αυτές της πλευράς και της διαγωνίου. Βρείτε όλες τις υπόλοιπες ομάδες τεσσάρων σημείων πάνω σε ένα επίπεδο οι οποίες έχουν την ίδια ιδιότητα, δηλαδή να ορίζουν μεταξύ τους ακριβώς δύο διαφορετικές αποστάσεις.

Οδηγίες:

1. Απαγορεύεται δύο ή περισσότερα σημεία να ταυτίζονται.
2. Περιγράψτε τα σχήματα που δημιουργούνται αν ενωθούν μεταξύ τους τα 4 σημεία κάθε ομάδας που βρήκατε ή σχεδιάστε τα και στείλτε τα με email.
3. Μη βιαστείτε να απαντήσετε. Σωστές θα θεωρούνται μόνο οι απαντήσεις που περιλαμβάνουν όλες τις δυνατές διατάξεις σημείων με τη ζητούμενη ιδιότητα. 

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
swt, Michalis, stratos, kraptaki, alterego, sotrixios, batman1986, ΧΑΡΗΣ, Xiaris, Test, Emily4ever, ΘΑΝΑΤΟΣ, theo, Xeliaz, efthimis, Θανάσης Παπαδημητρίου, MrKitsos, sbetsika, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, percival, parmapan, G SOZELGI, sf, alexpsomi, saxon, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, sciamano caotico, Nikos Stamatiou, John Salt, Βαγγέλης

Ανάλυσης - Αυγά στρουθοκαμήλου (*****)

Στο μάθημα της πειραματικής φυσικής σε κάποιο πανεπιστήμιο μπήκε το εξής θέμα στις εξετάσεις:
Θέλετε να προσδιορίσετε τη δύναμη που απαιτείται για να σπάσει το αυγό της στρουθοκαμήλου. Έχετε στη διάθεσή σας δύο όμοια αυγά στρουθοκαμήλου και ένα κτήριο 100 ορόφων (1ος όροφος θεωρείται αυτός που πηγαίνουμε αν πατήσουμε στο ασανσέρ τον αριθμό 1). Σκοπός σας είναι να βρείτε τον υψηλότερο όροφο από τον οποίο αν πέσει το αυγό δεν θα σπάσει. Ξέρετε πως τα αυγά στρουθοκαμήλου σπάνε στα σίγουρα αν ριχτούν από ύψος μεγαλύτερο των 100 ορόφων, αλλά δεν έχετε κανένα επιπλέον στοιχείο για την αντοχή τους. Μπορεί δηλαδή να σπάνε από τον 1ο μόλις όροφο ή να αντέχουν μέχρι και τον 100ο.
Ζητείται να βρείτε τον μικρότερο δυνατό μέσο όρο ρίψεων που απαιτούνται για τον εντοπισμό του υψηλότερου ορόφου και να περιγράψετε τη στρατηγική που θα ακολουθήσετε.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Michalis, swt, stratos, batman1986, stavgeor, ksekarfotos, percival, Θανάσης Παπαδημητρίου, Theodor, MrKitsos, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, sf, G SOZELGI, alexpsomi, Kordas Antonis, saxon, Nikos Stamatiou

Ανάλυσης - Γιαούρτωμα σε διαδήλωση (**)

Σε μια διαδήλωση έχουν κατέβει στην πλατεία πολλοί διαδηλωτές, όλοι τους οπλισμένοι με ένα γιαούρτι. Ξαφνικά τα αίματα ανάβουν και ο καθένας εκτοξεύει το γιαούρτι του προς τον πλησιέστερο σε αυτόν διαδηλωτή για να είναι σίγουρος πως θα τον πετύχει. Πόσα είναι τα περισσότερα γιαούρτια που μπορεί να φάει ο πιο άτυχος διαδηλωτής της συγκέντρωσης;
Διευκρινίσεις:
1) Όταν δύο διαδηλωτές απέχουν ακριβώς το ίδιο από αυτόν που ρίχνει το γιαούρτι, τότε το τρώει ο ένας από τους δύο στην τύχη.
2) Στη διαδήλωση δεν υπάρχουν πολιτικοί.

Δεύτερο ερώτημα:
Ας υποθέσουμε πως η διαδήλωση στο μέλλον γίνεται στο διάστημα. Έτσι οι διαδηλωτές είναι αστροναύτες που κινούνται ελεύθερα στο χώρο. Πόσα γιαούρτια μπορεί να φάει τώρα ο πιο άτυχος διαδηλωτής;
Σημείωση: Ο βαθμός δυσκολίας του γρίφου αναφέρεται στο πρώτο ερώτημα. Στο δεύτερο θα έβαζα 4 αστεράκια.

Το πρώτο σχόλιο πιο κάτω περιέχει τη λύση του πρώτου ερωτήματος και το 13ο σχόλιο περιέχει τη λύση του δεύτερου ερωτήματος.

Ζυγίσεων - Απόδειξη στο δικαστήριο (****)

Σε κάποια δίκη καταγράφηκε ο παρακάτω διάλογος:

- Κατήγορος: Σε έρευνα που έγινε στον Κατηγορούμενο, βρέθηκαν στην κατοχή του 14 λίρες εκ των οποίων οι 7 ήταν χρυσές και οι 7 κάλπικες. Είχε κάνει μάλιστα τόσο καλή δουλειά ως παραχαράκτης, ώστε οι κάλπικες λίρες δεν ξεχώριζαν από τις γνήσιες παρά μόνο με ζυγαριά ακριβείας, γιατί ήταν λίγο ελαφρύτερες. Πάντως και οι 7 κάλπικες λίρες είχαν όλες ακριβώς το ίδιο βάρος, όπως άλλωστε συμβαίνει και με τις γνήσιες.
- Πρόεδρος: Αυτά τα γνωρίζουμε κύριε Κατήγορε. Άλλωστε τα έχει ομολογήσει και ο Κατηγορούμενος. Ισχυρίζεται όμως πως από τις 14 λίρες που βρήκατε μόνο λίγες ήταν οι κάλπικες.
- Κατήγορος: Οι κάλπικες ήταν ακριβώς 7 κύριε Πρόεδρε. Ορίστε, τις έχω ξεχωρίσει από τις 7 γνήσιες. Έχω φέρει μάλιστα μαζί μου μια ζυγαριά δύο δίσκων, με την οποία θα σας αποδείξω πόσες και ποιες ακριβώς είναι.
- Πρόεδρος: Λίγο γρήγορα μόνο κύριε Κατήγορε… Έχουμε καθυστερήσει ήδη πολύ με αυτή τη δίκη.
- Κατήγορος: Χρειάζονται μόνο τρεις ζυγίσεις κύριε Πρόεδρε και θα έχετε την απόδειξη που σας υποσχέθηκα.

Ποιες ζυγίσεις είχε στο μυαλό του να κάνει ο Κατήγορος;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
stratos, Michalis, batman1986, Papaveri, sotrixios, swt, alterego, MrKitsos, offspring, kraptaki, ΧΑΡΗΣ, ΖΕΔΔΙΨΘΣ, giorgaras55, fighter, stavgeor, saxon, entzi, Θανάσης Παπαδημητρίου, efthimis, straniero, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, percival, Tamy, sf, G SOZELGI, daskalos1971, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, Βαγγέλης, John Salt

Ανάλυσης - Κωδικοποίηση με τράπουλα (****)

Δύο φίλοι ο Α και ο Β παρουσιάζουν το εξής κόλπο σε έναν τρίτο, τον Γ: Ο Β βγαίνει από το δωμάτιο και ο Γ επιλέγει 5 φύλλα από μια κανονική τράπουλα 52 φύλλων. Δίνει τα φύλλα που επέλεξε στον Α και αυτός αφού τα δει, αφαιρεί ένα από αυτά, το οποίο δίνει πίσω στον Γ. Στη συνέχεια ο Β επιστρέφει στο δωμάτιο και ο Α του ανακοινώνει τα 4 φύλλα που του έμειναν (πρώτα τον αριθμό και μετά το σύμβολο), χωρίς να του τα δείξει. Τότε ο Β με ελάχιστη σκέψη καταφέρνει να βρει το 5ο φύλλο που εξαίρεσε ο Α (αριθμό και σύμβολο).
Βρείτε έναν τρόπο που μπορούν να έχουν συμφωνήσει εξ αρχής ο Α με τον Β ώστε το κόλπο να πετυχαίνει πάντοτε και για οποιαδήποτε φύλλα κι αν επιλέξει ο Γ. Ο γρίφος δεν έχει κρυφά ή πονηρά σημεία και βασίζεται εξ ολοκλήρου στη λογική.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
swt, stratos, Antonis1996, Michalis, sotrixios, batman1986, jimvoda, saxon, Lady of loss, Test, eleni, ΘΑΝΑΤΟΣ, stavgeor, Θανάσης Παπαδημητρίου, kraptaki, percival, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, sf, G SOZELGI, Πειραχτήρι, gerodiak, alexpsomi, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, Νεφέλη, Stathis, Νίκος Ηλιόπουλος, John Salt