Ανάλυσης - Μάντεψε το νούμερο (****)

Δύο φοιτητές μαθηματικών παίζουν το παρακάτω παιχνίδι: Ο πρώτος βάζει στο μυαλό του ένα νούμερο από το 0 έως το 2000 και ο δεύτερος πρέπει να το μαντέψει με όσο το δυνατόν λιγότερες προσπάθειες. Ο τρόπος εύρεσης του νούμερου είναι ο εξής: Ο δεύτερος κάνει μία ερώτηση και ο πρώτος απαντάει αποκλειστικά με μία από τις λέξεις "μεγαλύτερο" ή "μικρότερο" ή "ίσο". Η λέξη που επιλέγεται από τον πρώτο παίκτη πρέπει να απαντά ειλικρινά και με σαφήνεια στην ερώτηση που τίθεται. Αν η ερώτηση δεν επιδέχεται μία σαφή απάντηση εκ των τριών που δίνονται, τότε ο δεύτερος παίκτης χάνει την πρόκληση. Κάθε νέα ερώτηση που γίνεται θεωρείται μια νέα προσπάθεια. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός προσπαθειών που απαιτείται για να βρει ο δεύτερος παίκτης το νούμερο, όσο άτυχος και αν φανεί στις απαντήσεις που θα πάρει και ποιες ερωτήσεις πρέπει να κάνει;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:

stratos, swt, skmmcj, Θανάσης Παπαδημητρίου, MrKitsos, batman1986, Μαρια-Χριστινα Κυπραιου, kraptaki, Antonios Seretis, daskalos1971, sf, Michalis, james, John Salt, Βαγγέλης, ΘΩΜΑΣ ΘΩΜΑΙΔΗΣ

Συνδυασμών - Ζηλιάρικα ζευγάρια (***)

Πέντε ζευγάρια βρίσκονται στην όχθη ενός ποταμού και θέλουν να περάσουν στην απέναντι όχθη. Έχουν στη διάθεσή τους μία βάρκα η οποία μπορεί να μεταφέρει έως τρία άτομα και για να κινηθεί χρειάζεται τουλάχιστον ένα άτομο μέσα της. Δυστυχώς οι άντρες των ζευγαριών είναι ζηλιάρηδες και δεν δέχονται επ’ ουδενί να βρεθεί η γυναίκα τους με άλλον άντρα σε κάποια όχθη, έστω και στιγμιαία, εκτός κι αν είναι και οι ίδιοι παρόντες στην ίδια όχθη. Πώς θα περάσουν και οι δέκα απέναντι και πόσες είναι οι ελάχιστες διασχίσεις του ποταμού για να τα καταφέρουν;
Οδηγίες αποστολής λύσεων: Συμβολίστε τους 5 άντρες με τα γράμματα Α-Ε και τις 5 γυναίκες με τα γράμματα α-ε. Συμβολίστε κάθε μεταβολή στη θέση των ατόμων ως προς το ποτάμι με μια νέα γραμμή κειμένου. Κάθε γραμμή κειμένου αναλύεται ως εξής: Σημειώνονται με αλφαβητική σειρά πρώτα οι άντρες που βρίσκονται στην αριστερή όχθη του ποταμού, μετά οι γυναίκες στην αριστερή όχθη, ακολουθεί μία παύλα που συμβολίζει το ποτάμι, μετά οι άντρες που βρίσκονται στη δεξιά όχθη του ποταμού και τέλος οι γυναίκες στη δεξιά όχθη. Κάθε άτομο διαχωρίζεται από το επόμενο με ένα κόμμα. Θα πρέπει το κάθε άτομο να έχει συγκεκριμένη θέση στην κάθε όχθη του ποταμού, δηλαδή αν κάποια άτομα δεν βρίσκονται σε μια δεδομένη όχθη θα πρέπει στη θέση τους να υπάρχουν κενά χωρισμένα με κόμμα.
Σαν παράδειγμα δίνονται δύο γραμμές κειμένου που συμβολίζουν την αρχική θέση των ζευγαριών και την πρώτη (προβληματική) διάσχιση του ποταμού από τους Β,Δ,γ:
Α,Β,Γ,Δ,Ε,α,β,γ,δ,ε,-, , , , , , , , , ,
Α, ,Γ, ,Ε,α,β, ,δ,ε,-, ,Β, ,Δ, , , ,γ, ,

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
batman1986, stratos, daskalos1971, Θανάσης Παπαδημητρίου, MrKitsos, swt, Tamy, TheGrey, Michalis, Steli0s1, kraptaki, skmmcj, Nikos Stamatiou, John Salt, sf, james, ΒΕΗΣ, Βαγγέλης, ΘΩΜΑΣ ΘΩΜΑΙΔΗΣ, Png, saxon, ellinas109, G SOZELGI, kakkalos

Ζυγίσεων - Οι ράβδοι του Βασιλιά Ιέρωνα (*****)

Ο βασιλιάς Ιέρων έχει έντεκα ράβδους χρυσού, 1, 2, 3, ...,11 κιλών αντιστοίχως. Η κάθε ράβδος έχει πάνω της ένα σύμβολο για να την ξεχωρίζει από τις υπόλοιπες. Ο Αρχιμήδης ισχυρίζεται ότι γνωρίζει το βάρος της κάθε ράβδου. Για να δοκιμάσει τον ισχυρισμό (και την εξυπνάδα) του Αρχιμήδη, ο βασιλιάς ζήτησε από αυτόν να του υποδείξει ποια είναι η ράβδος του 1 κιλού και να του το αποδείξει. Αντί για ζυγαριά, ο βασιλιάς έδωσε στον Αρχιμήδη ένα και μοναδικό σακί που αντέχει βάρος μέχρι 11 κιλά, αλλιώς σκίζεται και είναι πλέον άχρηστο. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός χρήσεων του σακιού που απαιτούνται για να καταφέρει ο Αρχιμήδης το ζητούμενο και ποιες ράβδους θα βάλει μέσα του σε κάθε χρήση;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:

Θανάσης Παπαδημητρίου, batman1986, swt, MrKitsos, stratos, sf, kraptaki, Tamy, Michalis, daskalos1971, skmmcj, Tpb master, Antonios Seretis, YannisP, Sotrixios, John Salt, james, theo, Αχιλλέας Σ, Βαγγέλης, ΘΩΜΑΣ ΘΩΜΑΙΔΗΣ, Sergjio, saxon, ΒΕΗΣ, Στράβων, Png, G SOZELGI, kakkalos, Kontoleon,

Παράδοξα – Πάλι 1=2 (****)

1. Ορίζουμε σαν S το παρακάτω άθροισμα απείρων όρων: $$ S = \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\dots $$ 2. Ομαδοποιούμε τους όρους του αθροίσματος με τον εξής τρόπο: $$ S = \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{10}\right)-\dots $$ 3. Κάνουμε τις πράξεις εντός των παρενθέσεων: $$ S = \frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\dots $$ 4. Βγάζουμε κοινό παράγοντα το 1/2: $$ S = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\dots\right) $$ 5. Αυτό που έμεινε μέσα στην παρένθεση είναι το αρχικό μας S. Άρα μπορούμε να γράψουμε: $$ S = \frac{1}{2}S $$ 6. Από την πιο πάνω ισότητα προκύπτει ότι: $$ 1 = 2 $$ Πού βρίσκεται το λάθος στην παραπάνω συλλογιστική;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
sf, stratos, daskalos1971, MrKitsos, Θανάσης Παπαδημητρίου, swt, batman1986, Michalis, Χρήστος Ευθυμίου, kraptaki, Nikos Stamatiou, Διας Π, Antonios Seretis, theo, skmmcj, Tamy, John Salt, KiraDesu, Kordas Antonis, saxon, Kris Geo

Λογικής - Χαρακτηρισμός προτάσεων (****)

Χαρακτηρίστε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως αληθή ή ψευδή. Στο τέλος όλοι οι χαρακτηρισμοί σας πρέπει να είναι σωστοί.

 1. Χαρακτήρισες το πολύ 1 πρόταση ως αληθή.
 2. Χαρακτήρισες το πολύ 1 πρόταση ως ψευδή.
 3. Χαρακτήρισες το πολύ 2 προτάσεις ως αληθείς.
 4. Χαρακτήρισες το πολύ 2 προτάσεις ως ψευδείς.
 5. Χαρακτήρισες το πολύ 3 προτάσεις ως αληθείς.
 6. Χαρακτήρισες το πολύ 3 προτάσεις ως ψευδείς.
 7. Χαρακτήρισες το πολύ 4 προτάσεις ως αληθείς.
 8. Χαρακτήρισες το πολύ 4 προτάσεις ως ψευδείς.
 9. Χαρακτήρισες το πολύ 5 προτάσεις ως αληθείς.
10. Χαρακτήρισες το πολύ 5 προτάσεις ως ψευδείς.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Steli0s1, stratos, MrKitsos, Θανάσης Παπαδημητρίου, theo, batman1986, Michalis, dimchondro, Χρήστος Κάλλης, kraptaki, Γιαννης παοκαρα, Κατερίνα, sf, Sotrixios, swt, Petros18, daskalos1971, ANDREKAT, Nikos Stamatiou, skmmcj, Antonios Seretis, Γιάννης, james, Konstantinos Anesiadis, Ioannis-John Mizithras, Ποταμιτης, John Salt, Ran-tan-plan, el-oxim, lakostas, Βαγγέλης, Chris Stavropoulos, ΘΩΜΑΣ ΘΩΜΑΙΔΗΣ, Antonio Banderas, KiraDesu, G SOZELGI, saxon, Zatrikios, kakkalos, ΒΕΗΣ, Png, Kris Geo, King Ragnar

Συνδυαστικής σκέψης - Δύο μονοψήφιοι ακέραιοι (****)

Ο δάσκαλος σκέφτεται δύο μονοψήφιους ακέραιους αριθμούς από το 1 έως το 9, όχι απαραίτητα διαφορετικούς και γνωστοποιεί το άθροισμα τους στην Άννα και το γινόμενο τους στον Γιώργο, που είναι δύο από τους εξυπνότερους μαθητές του. Ακολουθεί ο παρακάτω διάλογος μεταξύ τους:

1. Γιώργος: Δεν ξέρω τους αριθμούς
2. Άννα: Δεν ξέρω τους αριθμούς
3. Γιώργος: Δεν ξέρω τους αριθμούς
4. Άννα: Δεν ξέρω τους αριθμούς
5. Γιώργος: Δεν ξέρω τους αριθμούς
6. Άννα: Δεν ξέρω τους αριθμούς
7. Γιώργος: Δεν ξέρω τους αριθμούς
8. Άννα: Δεν ξέρω τους αριθμούς
9. Γιώργος: Τώρα ξέρω τους αριθμούς!

Ποιοι είναι οι δύο αριθμοί;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:

stratos, Steli0s1, BabisFlu, kraptaki, MrKitsos, Θανάσης Παπαδημητρίου, Nikos Stamatiou, Michalis, Βαγγέλης Κωστούλας, batman1986, sf, swt, Tamy, daskalos1971, skmmcj, Antonios Seretis, james, ΒΕΗΣ, Png, John Salt, lakostas, Dyer, Βαγγέλης, ΘΩΜΑΣ ΘΩΜΑΙΔΗΣ, Ποταμιτης, Nick Lol, GiannisL, saxon, kakkalos, G SOZELGI, zatrikios,

Πιθανοτήτων – Καζίνο (***)

Η γιορτή αποφοίτησης ενός πανεπιστημίου έγινε σε ένα καζίνο. Οι απόφοιτοι συμμετείχαν στο παρακάτω παιχνίδι: Πήρε ο καθένας τους 100 μάρκες που αντιστοιχούν σε 100 ευρώ. Οι παίκτες θα πρέπει να ποντάρουν αυτές τις μάρκες, σε μία ρουλέτα όσες φορές θέλουν και όσες από αυτές επιθυμούν μέχρι τις 3:00 τα ξημερώματα. Όποιος παίκτης έχει συγκεντρώσει τις περισσότερες μάρκες μέχρι τότε θα τις εξαργυρώσει σε πραγματικά χρήματα. Όταν η ώρα είχε πάει 2:59 είχαν μείνει μόνο δύο παίκτες στη ρουλέτα: Ο Ανδρέας που είχε 700 μάρκες και η Βασιλική που είχε 300 μάρκες. Όλοι οι υπόλοιποι παίκτες είχαν χάσει τις μάρκες τους.
Στο σημείο αυτό ας κάνουμε μια παρένθεση για να αναφέρουμε κάποια πράγματα για τις αποδόσεις των πονταρισμάτων σε μία ρουλέτα: Για απλοποίηση της κατάστασης, ας θεωρήσουμε πως υπάρχουν μόνο πονταρίσματα που κερδίζεις με πιθανότητα 1/2 στα οποία διπλασιάζεις τις μάρκες που πόνταρες, πονταρίσματα που με πιθανότητα 1/3 τριπλασιάζεις τις μάρκες που πόνταρες, πονταρίσματα που με πιθανότητα 1/9 9πλασιάζεις τις μάρκες που πόνταρες, πονταρίσματα που με πιθανότητα 1/18 18πλασιάζεις τις μάρκες που πόνταρες και πονταρίσματα που με πιθανότητα 1/36 36πλασιάζεις τις μάρκες που πόνταρες. Σε κάθε γύρο ένας παίκτης μπορεί να κάνει ταυτόχρονα πονταρίσματα διαφορετικών αποδόσεων. Ας θεωρήσουμε επίσης ότι τα διάφορα είδη πονταρισμάτων είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, δηλαδή πως αν κερδίσεις σε ένα ποντάρισμα πιθανότητας 1/2 δεν επηρεάζεται η πιθανότητα να κερδίσεις ταυτόχρονα και σε ένα ποντάρισμα πιθανότητας 1/3.
Πίσω στο παιχνίδι μας λοιπόν, η Βασιλική αντιλαμβάνεται πως έχει χρόνο μόνο για έναν γύρο ακόμα. Αν δεν ποντάρει τίποτα στον τελευταίο γύρο, θα χάσει το έπαθλο. Σκέφτεται πως δεν έχει νόημα να ποντάρει τις 300 μάρκες της σε ποντάρισμα με πιθανότητα επιτυχίας 1/2 γιατί ακόμα και αν κέρδιζε θα κατέληγε με 600 μάρκες και πάλι θα υπολειπόταν του Ανδρέα που έχει 700. Αποφασίζει λοιπόν να ποντάρει και τις 300 μάρκες της σε ποντάρισμα με πιθανότητα επιτυχίας 1/3, ώστε αν κερδίσει να φτάσει τις 900 μάρκες. Αφού τοποθέτησε τις μάρκες της στη ρουλέτα, δεν έχει πια δικαίωμα να τις αφαιρέσει. Ο Ανδρέας βλέπει την κίνηση της Βασιλικής και σκέφτεται ποια είναι η καλύτερη δική του κίνηση έτσι ώστε να μεγιστοποιήσει την πιθανότητά του να τελειώσει το παιχνίδι με περισσότερες μάρκες από αυτές τις Βασιλικής. Τι πρέπει να κάνει;
Σημείωση: Το παραπάνω σενάριο είναι βασισμένο σε πραγματικό περιστατικό. Ο πραγματικός «Ανδρέας», κουρασμένος και πιωμένος όπως ήταν, δεν έκανε την καλύτερη δυνατή επιλογή και κατέληξε να χάσει τελικά το έπαθλο, παρά το αρχικό του πλεονέκτημα.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
dimchondro, stratos, Θανάσης Παπαδημητρίου, theo, Nikos Stamatiou, Michalis, Κώστας, Χρήστος Κάλλης, Steli0s1, batman1986, BabisFlu, kraptaki, sf, swt, Petros18, Tamy, Rokos, daskalos1971, MrKitsos, John Salt, Antonios Seretis, Sotrixios, skmmcj, lakostas, Fauxτις, Βαγγέλης, Μανουηλ, saxon, Zatrikios, Katsitom

Υπολογισμού - Φτωχογειτονιά (****)

Στο πλαίσιο αντιμετώπισης της ανθρωπιστικής κρίσης, η κυβέρνηση έκανε έρευνα σε μια φτωχογειτονιά, όπου διαπιστώθηκαν τα εξής:

1. Κανένα σπίτι δεν είχε και φως και νερό και θέρμανση.
2. Το 19% των σπιτιών δεν είχαν ακριβώς μία από τις τρεις παροχές.
3. Τουλάχιστον το 67% των σπιτιών δεν είχαν φως.
4. Τουλάχιστον το 83% των σπιτιών δεν είχαν νερό.
5. Τουλάχιστον το 73% των σπιτιών δεν είχαν θέρμανση.

Σε ποιο τουλάχιστον ποσοστό των σπιτιών έλειπαν και οι τρεις παροχές;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Θανάσης Παπαδημητρίου, batman1986, stratos, Γιαννης παοκαρα, riddler, kraptaki, swt, MrKitsos, Nikos Stamatiou, Tony For Garbage, Χρήστος Κάλλης, Sotrixios, ANDREKAT, Steli0s1, Michalis, Petros18, John Salt, daskalos1971, skmmcj, Antonios Seretis, Αρουνας, ioannesx, lakostas, james, Ποταμιτης, Παοκαρα, Χριστόφορος Χρηστάκης, Βαγγέλης, ΘΩΜΑΣ ΘΩΜΑΙΔΗΣ, ΒΕΗΣ, Png, Dyer, cristosg1, ΝΙΚΗΦΟΡΟΣ, G SOZELGI

Έμπνευσης - Ποιο σχήμα ταιριάζει; (****)

Ποιο από τα αριθμημένα σχήματα ταιριάζει στη θέση του ερωτηματικού;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
batman1986, riddler, kraptaki, Nikos Stamatiou, stratos, swt, Θανάσης Παπαδημητρίου, sakis kefallinos, MrKitsos, Vagelisss, tools, pelhammet, Steli0s1, theo, Michalis, Βαγγέλης Κωστούλας, sf, daskalos1971, Petros18, John Salt, Tamy, Antonios Seretis, skmmcj, Sofia, dimchondro, Ποταμιτης, lakostas, james, Maggie M, heron vesper, Fauxτις, Βαγγέλης, ΘΩΜΑΣ ΘΩΜΑΙΔΗΣ, danos, aris, Romanos, saxon, kakkalos, G SOZELGI, Kordas Antonis, ellinas109

Ανάλυσης - Σύγκρουση τυφλών (**)

Δύο τυφλοί βρέθηκαν σε ένα εμπορικό κέντρο και ο καθένας τους αγόρασε ένα ζευγάρι άσπρες και δύο ζευγάρια μαύρες κάλτσες, όλες ίδιες μεταξύ τους εκτός από το χρώμα τους. Στο δρόμο προς το σπίτι τους συγκρούστηκαν μεταξύ τους και τα 6 ζευγάρια καλτσών σκορπίστηκαν στο έδαφος. Ευτυχώς το κάθε ζευγάρι παρέμεινε ενωμένο γιατί οι δύο κάλτσες του συγκρατούνταν μεταξύ τους με ένα μανταλάκι.
Οι δύο τυφλοί όμως δεν έχασαν την ψυχραιμία τους και παρόλο που δεν είχαν κανέναν να τους βοηθήσει, κατάφεραν να γυρίσει ο καθένας σπίτι του έχοντας μαζί του τις κάλτσες που ήθελε. Τι έκαναν;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
batman1986, kraptaki, Ευθύμης Αλεξίου, riddler, stratos, Tamy, Nikos Stamatiou, Γιαννης παοκαρα, swt, Θανάσης Παπαδημητρίου, MrKitsos, sakis kefallinos, Antonios Seretis, dimsot1989, Tony For Garbage, Steli0s1, BabisFlu, theo, Michalis, Petros18, sf, Γ. Κ., daskalos1971, Χρήστος Ευθυμίου, John Salt, Αντρεας, John Karous, skmmcj, AntonisK, ΑΜ, Png, PraikonHS, Ποταμιτης, lakostas, james, Maggie M, el-oxim, Sunshine, Χρήστος Κάλλης, Βαγγέλης, ΘΩΜΑΣ ΘΩΜΑΙΔΗΣ, tasoe, mariosG, Mania, saxon, aris, G SOZELGI, Romanos, kakkalos, TheBiologicalRiddle, KiraDesu