Ζυγίσεων - Κοκκινοσκουφίτσα (***)

Η Κοκκινοσκουφίτσα περνάει μέσα από ένα δάσος με αγριομηλιές για να πάει στη γιαγιά της. Ο δρόμος είναι διάσπαρτος με μήλα, ένα κάθε μερικά βήματα, μερικά καλά και μερικά ελαφρώς σάπια τα οποία όμως δεν μπορεί να διακρίνει από τα καλά. Η Κοκκινοσκουφίτσα πρέπει να πάει στη γιαγιά της ένα καλό μήλο. Η μαμά της τής έχει δώσει ένα καλαθάκι όπου χωράει ακριβώς ένα μήλο, μια ζυγαριά δύο δίσκων και τρεις συμβουλές: α) τα καλά μήλα έχουν όλα το ίδιο βάρος, β) τα σάπια μήλα έχουν όλα βάρος διαφορετικό από αυτό των καλών και γ) υπάρχουν περισσότερα καλά από σάπια μήλα. Πώς μπορεί η Κοκκινοσκουφίτσα να πάει ένα καλό μήλο στη γιαγιά της χωρίς πισωγυρίσματα;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Michalis, Θανάσης Παπαδημητρίου, stratos, batman1986, Βαγγέλης, Ευθύμης Αλεξίου, sf, MrKitsos, swt, daskalos1971, Λευτερης Στριλιγκας, kraptaki, John Salt, saxon

Ανάλυσης - Χρωματιστά καπέλα (*****)

Το μέλλον 5 βαρυποινιτών θα εξαρτηθεί από την παρακάτω δοκιμασία που τους επέβαλε ο διευθυντής των φυλακών: Σε μια ντουλάπα φυλάει 5 είδη καπέλων, άσπρα, μαύρα, κόκκινα, πράσινα, κίτρινα. Χωρίς να βλέπουν, θα τους φορέσει από ένα καπέλο στον καθένα. Τα διαθέσιμα καπέλα κάθε χρώματος είναι πάνω από 5, δηλαδή ενδέχεται να φορέσουν και οι 5 καπέλο του ίδιου χρώματος. Ο καθένας βλέπει τα καπέλα των άλλων, αλλά όχι το δικό του. Τους ζητείται να γράψει ο καθένας σε ένα χαρτί τι χρώμα καπέλο νομίζει ότι φοράει. Αν έστω και ένας μαντέψει σωστά τότε απελευθερώνονται όλοι, αλλιώς τρώνε όλοι ισόβια. Πριν τη δοκιμασία τους επιτρέπεται να συσκεφθούν, αλλά μετά το φόρεμα των καπέλων απαγορεύεται κάθε συνεννόηση. Το γράψιμο γίνεται ταυτόχρονα από όλους, χωρίς να βλέπει ο καθένας τι γράφουν οι άλλοι. Με ποια στρατηγική θα καταφέρουν να απελευθερωθούν;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
stratos, Θανάσης Παπαδημητρίου, patrikios, batman1986, Βαγγέλης, sf, Michalis, Ευθύμης Αλεξίου, swt, kyrkon, daskalos1971, kraptaki, saxon

Συνδυασμών - Ψηφοφόροι και υποψήφιοι (****)

Έχουμε 5 ψηφοφόρους και 5 υποψήφιους. Κάθε ψηφοφόρος θα επιλέξει 2 ακριβώς υποψήφιους και κάθε υποψήφιος θα επιλεγεί από 2 ακριβώς ψηφοφόρους. Με πόσους τρόπους μπορεί να συμβαίνει αυτό;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Θανάσης Παπαδημητρίου, stratos, thrylos7, batman1986, sf, Michalis, Antonios Seretis, Andreas Kattirdzis, swt, riddler, kraptaki, genikos, Nikos Stamatiou, saxon

Υπολογισμού - Εξερευνώντας τον κύβο (****)

Ένα ζωύφιο ξεκινάει από μια κορυφή ενός κύβου ζάχαρης με μήκος ακμής 1 εκατοστό και κινείται πάνω στις ακμές του κύβου. Σε κάθε κορυφή που φτάνει υπάρχει ίση πιθανότητα να διαλέξει οποιαδήποτε από τις 3 δυνατές κατευθύνσεις. Πόση απόσταση θα χρειαστεί να καλύψει κατά μέσο όρο προκειμένου να φτάσει στη διαγωνίως απέναντι κορυφή του κύβου;
Διευκρίνιση: Η ελάχιστη απόσταση για να φτάσει στη ζητούμενη κορυφή είναι 3 εκατοστά.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
ΦΩΤΗΣΔΕΛ, Θανάσης Παπαδημητρίου, swt, stratos, batman1986, Patrikios, sf, theo, Michalis, MrKitsos, jimis petkos, Βαγγέλης, Antonios Seretis, daskalos1971, kraptaki, Λευτερης Στριλιγκας, skmmcj, John Salt, saxon

Ανάλυσης - Λουλούδια στον κήπο (***)

Έχουμε έναν τετράγωνο κήπο με πλευρά 3,5 μέτρα. Θέλουμε να φυτέψουμε λουλούδια μέσα στον κήπο, με ελάχιστη απόσταση μεταξύ τους το 1 μέτρο. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός λουλουδιών που μπορούμε να φυτέψουμε;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Michalis, Θανάσης Παπαδημητρίου, sf, batman1986, stratos, swt, Antonios Seretis, Κ29, MrKitsos, Kris Geo, Ευθύμης Αλεξίου, daskalos1971, Petros18, lakostas, genikos, kraptaki, Βαγγέλης, ΑΜ, Png, Ran-tan-plan, Nikos Stamatiou, John Salt

Λογικής - Γνωριμίες (*****)

Σε μια πόλη οποιοιδήποτε δύο γνωστοί δεν έχουν κοινούς γνωστούς και οποιοιδήποτε δύο άγνωστοι έχουν ακριβώς δύο κοινούς γνωστούς.
Αποδείξτε ότι όλοι οι κάτοικοι έχουν τον ίδιο αριθμό γνωστών.

Παράδοξα - Οι μη παράλληλες ευθείες δεν τέμνονται (****)

Στα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ φέρνουμε μια κάθετη ευθεία ε και μία ευθεία ε' με μικρή κλίση προς τα δεξιά. Έστω Μ το μέσο του τμήματος ΑΒ. Πάνω στην ευθεία ε' παίρνουμε το σημείο Α₁ έτσι ώστε ΑΜ=ΑΑ₁ και πάνω στην ευθεία ε παίρνουμε το σημείο Β₁ έτσι ώστε ΒΜ=ΒΒ₁.
Ας αποδείξουμε ότι ευθείες ε και ε' δεν μπορεί να τέμνονται εντός των τμημάτων ΑΑ₁ και ΒΒ₁: Αν οι δύο ευθείες τέμνονται σε κάποιο σημείο Τ εντός των τμημάτων ΑΑ₁ και ΒΒ₁ θα έπρεπε να ισχύει ότι ΑΤ<ΑΑ₁ και ΒΤ<ΒΒ₁, άρα και ότι ΑΤ+ΤΒ < ΑΑ₁+ΒΒ₁. Όμως ΑΑ₁+ΒΒ₁ = ΑΒ, άρα θα ίσχυε ότι ΑΤ+ΤΒ < ΑΒ. Όμως στο τρίγωνο ΑΤΒ, το άθροισμα των δύο πλευρών του είναι πάντοτε μεγαλύτερο από την τρίτη πλευρά, οπότε καταλήξαμε σε αντίφαση. Άρα πράγματι οι δύο ευθείες δεν μπορεί να τέμνονται εντός των τμημάτων ΑΑ₁ και ΒΒ₁. Φέρνουμε τώρα το ευθύγραμμο τμήμα Α₁Β₁, το μέσο του Μ₁ και τα σημεία Α₂ και Β₂ έτσι ώστε Α₁Μ₁=Α₁Α₂ και Β₁Μ₁=Β₁Β₂. Ακολουθώντας την προηγούμενη απόδειξη βρίσκουμε πως οι δύο ευθείες δεν μπορούν να τέμνονται εντός των τμημάτων Α₁Α₂ και Β₁Β₂.
Αυτή τη διαδικασία μπορούμε να την επαναλαμβάνουμε επ' άπειρον και να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι οι ευθείες ε και ε' δεν τέμνονται πουθενά. Πού βρίσκεται το λάθος;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
batman1986, Θανάσης Παπαδημητρίου, stratos, sf, Βαγγέλης, Antonios Seretis, Michalis, Kris Geo, kontoleon, swt, Fenonaki A., tg, Ποταμιτης, kraptaki, vasoula, Λευτέρης Παναγιωτάκος, Λευτερης Στριλιγκας, Bakaliaros CR, MrKitsos, Sofia, saxon

Συνδυασμών - Πινακίδες κυκλοφορίας (****)

Σε μια χώρα οι πινακίδες κυκλοφορίας των αυτοκινήτων είναι όλες 8ψήφιες αριθμητικές με ψηφία από 0 έως 9 σε κάθε θέση. Κάθε πινακίδα όμως πρέπει να διαφέρει από οποιαδήποτε άλλη σε τουλάχιστον 2 από τις 8 θέσεις. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός πινακίδων που μπορούν να εκδοθούν;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Θανάσης Παπαδημητρίου, stratos, sf, batman1986, Antonios Seretis, Michalis, vassilistrend, ioannesx, swt, kraptaki, ellipsis, Βαγγέλης, Andreas Kattirdzis, daskalos1971, MrKitsos, Nikos Stamatiou, saxon

Ανάλυσης - Όλα είναι Δρόμος (****)

4 χωριά βρίσκονται στις κορυφές ενός τετραγώνου πλευράς 1 χιλιομέτρου. Ο Δήμος θέλει να φτιάξει δρόμους που να τα συνδέουν με το μικρότερο δυνατό κόστος, άρα και το μικρότερο δυνατό μήκος. Τι σχήμα πρέπει να έχει το δίκτυο των δρόμων και πόσο θα είναι το συνολικό μήκος τους;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Michalis, Θανάσης Παπαδημητρίου, stratos, batman1986, Πατρίκιος71, swt, theo, sf, Orestis Kopsacheilis, Antonios Seretis, MrKitsos, Κ29, Ευθύμης Αλεξίου, daskalos1971, kraptaki, sakis kefallinos, Png, Athanas79 P., Nikos Stamatiou, John Salt, saxon

Ζυγίσεων - Χαλασμένη ζυγαριά (****)

Μια χαλασμένη ζυγαριά ισορροπίας έχει άνισους αβαρείς βραχίονες και ανισοβαρή τάσια. Δοκιμάζουμε την ισορροπία της με δύο αντικείμενα άνισων βαρών και σταθμά γνωστών βαρών ως εξής: Τοποθετώντας το πρώτο αντικείμενο στο αριστερό τάσι, χρειαζόμαστε βάρος 200 γρ. στο δεξί για να ισορροπήσει, ενώ τοποθετώντας το ίδιο αντικείμενο στο δεξί τάσι, χρειαζόμαστε βάρος 600 γρ. στο αριστερό. Αντιστοίχως, για το δεύτερο αντικείμενο χρειαζόμαστε βάρη 190 γρ. και  510 γρ. Τοποθετώντας τώρα ένα τρίτο αντικείμενο αριστερά, χρειαζόμαστε βάρος 250 γρ. δεξιά. Ποιο είναι το βάρος σε γραμμάρια του τρίτου αντικειμένου;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Θανάσης Παπαδημητρίου, stratos, sf, Πατρίκιος71, Antonios Seretis, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, theo, batman1986, MrKitsos, Michalis, Βαγγέλης, swt, kraptaki, Γιώργος Γ., daskalos1971, jonyt, Nikos Stamatiou, John Salt, saxon