Συνδυασμών - 16 πιόνια (****)

Τοποθετήστε 16 πιόνια πάνω σε μία σκακιέρα, έτσι ώστε να μην υπάρχουν 3 ή περισσότερα πιόνια στην ίδια ευθεία. Οι ευθείες περνάνε από τα κέντρα των τετραγώνων και μπορεί να είναι οριζόντιες, κάθετες, διαγώνιες ή ακόμα και πλάγιες (π.χ. όπως αυτές που σχηματίζονται όταν ένας ίππος κινείται 2 φορές προς την ίδια κατεύθυνση).

Υπολογισμού - Ποδήλατο και πατίνι (****)

Τρεις φίλοι ξεκινούν από την πόλη Α και θέλουν να φτάσουν στην πόλη Β, όσο τον δυνατόν πιο γρήγορα. Η απόσταση των δύο πόλεων είναι 30 χιλιόμετρα. Έχουν στη διάθεσή τους ένα ποδήλατο που κινείται με ταχύτητα έως και 30 χιλιόμετρα την ώρα και ένα πατίνι που κινείται με ταχύτητα έως και 20 χιλιόμετρα την ώρα. Μπορούν όμως και να τρέχουν με τα πόδια με ταχύτητα έως και 10 χιλιόμετρα την ώρα.
Αν το επιθυμούν, μπορούν να αφήνουν το ποδήλατο και το πατίνι στην άκρη του δρόμου ώστε να το πάρει κάποιος άλλος που έρχεται από πίσω. Ποιος είναι ο ελάχιστος χρόνος που θα χρειαστούν για να φτάσουν και οι τρεις στην πόλη Β και με ποιον τρόπο θα τα καταφέρουν;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
stratos, theo, Θανάσης Παπαδημητρίου, Βαγγέλης, sf, batman1986, Michalis, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, Antonios Seretis, Nick Iliopoulos, jimis petkos, MrKitsos, Andreas Kattirdzis, swt, daskalos1971, genikos, kraptaki, Λευτερης Στριλιγκας, Dyer, Yiannis Nikolopoulos, skmmcj, John Salt, saxon

Έμπνευσης - Πρόσληψη (***)

Μια τράπεζα θέλει να προσλάβει ένα στέλεχος με αρμοδιότητα να προβλέπει κατά πόσον ένας δανειολήπτης είναι αξιόπιστος και θα επιστρέψει στην τράπεζα το ποσό του δανείου που έλαβε.
Έκαναν αίτηση τρεις υποψήφιοι για τη θέση. Ο προσωπάρχης της τράπεζας μελέτησε τα βιογραφικά τους και είδε πως όλοι είχαν περίπου την ίδια εμπειρία στη συγκεκριμένη αρμοδιότητα από άλλες τράπεζες που είχαν εργασθεί στο παρελθόν. Στάθηκε λοιπόν ιδιαίτερα στο ποσοστό επιτυχών προβλέψεων του καθενός υποψηφίου.
Επιτυχής θεωρείται μία πρόβλεψη όταν το στέλεχος εκτιμά πως ο δανειολήπτης δεν θα αποπληρώσει το δάνειό του και πράγματι δεν το πληρώνει ή όταν το στέλεχος εκτιμά πως ο δανειολήπτης θα αποπληρώσει το δάνειό του και πράγματι το πληρώνει.
Βρήκε λοιπόν, σε μεγάλο δείγμα περιπτώσεων για τον καθένα, πως ο πρώτος υποψήφιος είχε ποσοστό επιτυχίας 70%, ο δεύτερος υποψήφιος 50% και ο τρίτος υποψήφιος 20%.
Με βάση αυτά τα στατιστικά στοιχεία, ποιον από τους τρεις υποψήφιους πρότεινε να προσληφθεί και ποιον απέρριψε αμέσως;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Θανάσης Παπαδημητρίου, ioannesx, batman1986, stratos, s0t0s, sf, QuestionOfHeaven, Michalis, Antonios Seretis, gerodiak, Μπαμπης.Κ, Orestis Kopsacheilis, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, Aefo karanikas, swt, Kris Geo, sokin123x, andefthim, Βαγγέλης, lefteris, Vagelis Kaftanis, George Peristeri, vassilistrend, nick kal, manos, ΣΩΤΗΡΗΣ ΔΗΜΑΚΑΚΟΣ, Γιώργος Πλούσος, daskalos1971, Nikos V., ΝικΤ, Dimitrios Vavatsioulas, lakostas, Gio Gio, Phae8on, Kostas Andrikopoulos, μανοςμ, takis, dimchondro, kraptaki, Νίκος Πετικίδης, Γιώργος Τράντζας, Diaki theor, Μιχάλης, GeooB, ilias.alkidis, Λευτερης Στριλιγκας, jason1996, rokos, tasoe, Nikos Stamatiou, Sofia, el-oxim, Χρήστος Κάλλης, Χάρης.Κ, King Ragnar, Γιώργος Σφακιανάκης, KiraDesu, John Salt, saxon

Λογικής - Η πεισματάρα μέλισσα (****)

Μια μέλισσα εισέρχεται σε μια κερήθρα - λαβύρινθο και προσπαθεί να φτάσει στο κόκκινο κελί όπου βρίσκεται αποθηκευμένος ο βασιλικός πολτός. Από το κάθε κελί μπορεί να κινηθεί μόνο προς το κελί που δείχνει το βέλος και σε κάθε της κίνηση, το βέλος του κελιού που βρισκόταν πριν, περιστρέφεται κατά 60 μοίρες δεξιόστροφα. Αν βρεθεί σε ακριανό κελί που το βέλος του δείχνει εκτός της κερήθρας, τότε αυτό το βέλος περιστρέφεται δεξιόστροφα μέχρι να δείξει κάποιο άλλο κελί. Αν βρεθεί ξανά στο σημείο απ' όπου μπήκε τότε απλά ξαναμπαίνει στον λαβύρινθο. Υποθέτουμε πως η μέλισσα έχει απεριόριστο πείσμα και χρόνο και στη διάθεσή της.
Μπορείτε να αποδείξετε πως στο τέλος θα καταλήγει πάντοτε στο κόκκινο κελί και μάλιστα με οποιαδήποτε αρχική διάταξη των βελών;

Λογικής - Ο σάκος του Αϊ-Βασίλη (***)

Στο σάκο του Αϊ-Βασίλη υπάρχουν 2015 δώρα, από τα οποία τα 1008 έχουν πράσινο περιτύλιγμα και τα 1007 κόκκινο περιτύλιγμα. Ο Αϊ-Βασίλης μοιράζει τα δώρα στα παιδιά ως εξής: Κάθε παιδί τραβάει στην τύχη από το σάκο 2 δώρα και α) αν είναι και τα δύο κόκκινα, ξαναβάζει το ένα στο σάκο και κρατάει το άλλο, β) αν είναι το ένα πράσινο και το άλλο κόκκινο, ξαναβάζει το πράσινο στο σάκο και κρατάει το κόκκινο, γ) αν είναι και τα δυο πράσινα, τα κρατάει και τα δύο και ο Αϊ-Βασίλης προσθέτει έναν ακόμη κόκκινο δώρο στο σάκο (από κάποιο εφεδρικό στοκ). Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται μέχρις ότου στο σάκο του Αϊ-Βασίλη απομείνει ένα μόνο δώρο. Ποια είναι η πιθανότητα αυτό να έχει κόκκινο περιτύλιγμα;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Θανάσης Παπαδημητρίου, sf, stratos, batman1986, theo, Orestis Kopsacheilis, swt, Michalis, Antonios Seretis, gerodiak, george yiannakou, ΜιχαληςΚρητη, Manos Tzezas, Γεωργία Στεφανουδάκη, Βαγγέλης, MrKitsos, babinos mad, Νανσυ Γλυνου, Andreas Kattirdzis, Μαγος, manos, daskalos1971, Nick Iliopoulos, YannisP, kraptaki, lakostas, Dimitrios Vavatsioulas, manoskothris, nikos, Βεργίνη Κωνσταντίνα, Λευτερης Στριλιγκας, Qbrain Qbrain, rokos, Σηφης Ολειματ, Nikos Stamatiou, Steli0s1, AM9079, manoskothris, John Salt, saxon

Ανάλυσης - Ταυτότητες και θυρίδες (****)

Ο διευθυντής ενός πειραματικού σχολείου επιλέγει 50 μαθητές και τους προκαλεί να κερδίσουν στο παρακάτω παιχνίδι: Βάζει τις ταυτότητές τους σε 50 θυρίδες, μία ταυτότητα ανά θυρίδα, με τυχαίο τρόπο. Ο ένας μετά τον άλλον, κάθε μαθητής μπορεί να ανοίξει μέχρι 25 θυρίδες με σκοπό να βρει την ταυτότητά του. Θα περάσουν τη δοκιμασία μόνο αν όλοι οι μαθητές βρουν την ταυτότητά τους.
Δεν μπορούν κατά τη διάρκεια του παιχνιδιού να αλλάξουν σειρά, ούτε να παρακολουθούν ενώ κάποιος άλλος ανοίγει θυρίδες και δεν επιτρέπεται να συνεννοούνται. Όταν κάποιος μαθητής βρίσκει την ταυτότητά του, όλες οι θυρίδες ξανακλείνουν χωρίς να πειραχτεί τίποτα. Σημάδια ή άλλα ίχνη ανοίγματος μιας θυρίδας ή σχετικά με το περιεχόμενό της, δεν υπάρχουν.
Ο διευθυντής έδωσε στους μαθητές το δικαίωμα να συσκεφθούν πριν αρχίσει η διαδικασία και να συζητήσουν τη στρατηγική τους. Μετά από πολύ συζήτηση, το πρόβλημα τους φαινόταν άλυτο. Τότε παρενέβη η καθαρίστρια του σχολείου, η οποία τους είπε πως το πρόβλημα έχει λύση αρκεί να της επιτρέψει ο διευθυντής  να ανοίξει μια φορά όλες τις θυρίδες πριν αρχίσει το παιχνίδι και να αλλάξει τη θέση δύο ταυτοτήτων μεταξύ τους. Ο διευθυντής το δέχτηκε υπό την προϋπόθεση ότι η καθαρίστρια δεν θα δώσει καμία πληροφορία στους μαθητές.
Με ποια στρατηγική θα μπορέσουν οι μαθητές με τη βοήθεια της καθαρίστριας να κερδίσουν το παιχνίδι;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Michalis, stratos, Θανάσης Παπαδημητρίου, sf, batman1986, Βαγγέλης, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, Antonios Seretis, swt, daskalos1971, genikos, kraptaki, MrKitsos, saxon

Υπολογισμού - Παράταξη μυρμηγκιών (**)

25 μυρμήγκια βρίσκονται σε 5 διαδοχικούς θαλάμους της φωλιάς τους, με διάταξη 5 μυρμηγκιών σε κάθε θάλαμο. Στόχος τους είναι να απλωθούν έτσι ώστε να βρίσκεται ένα μυρμήγκι σε κάθε θάλαμο. Υπάρχουν αρκετοί θάλαμοι τόσο αριστερά όσο και δεξιά αυτών που βρίσκονται ήδη. Χρειάζεται ένα λεπτό για να μετακινηθεί ένα μυρμήγκι στον διπλανό θάλαμο και κάθε λεπτό μετακινείται μόνο ένα μυρμήγκι. Πόση ώρα χρειάζονται για να επιτύχουν το στόχο τους;

Παράδοξα - Όλοι οι κύκλοι έχουν ίσες περιφέρειες (*)

Στο σχήμα φαίνεται ένας δίσκος που έχει πάνω του χαραγμένους δύο κύκλους και απεικονίζεται στην αρχική και στην τελική του θέση μετά από μια πλήρη κύλισή του. Το σημείο Α του εξωτερικού κύκλου καταλήγει στο σημείο Β και το σημείο Γ του εσωτερικού κύκλου καταλήγει στο σημείο Δ. Αφού η περιστροφή είναι πλήρης, η απόσταση ΑΒ ισούται με την περιφέρεια του μεγάλου κύκλου και η απόσταση ΓΔ ισούται με την περιφέρεια του μικρού κύκλου. Όμως οι αποστάσεις ΑΒ και ΓΔ είναι προφανώς ίσες, οπότε οι δύο κύκλοι έχουν ίσες περιφέρειες.

Ανάλυσης - Μάντεψε τις μπάλες (****)

10 μπάλες είναι παραταγμένες σε μία σειρά μπροστά σε δύο παίκτες, οι οποίοι παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Ο παίκτης Α βάζει στο μυαλό του δυο γειτονικές μπάλες. Ο παίκτης Β ορίζει δύο υποσύνολα των 10 μπαλών και τα αναφέρει στον Α. Ο παίκτης Α λέει στον Β πόσες από τις μπάλες που έβαλε στο μυαλό του περιέχονται σε κάθε υποσύνολο (π.χ. του λέει πως περιέχονται 2 μπάλες στο πρώτο και καμία μπάλα στο δεύτερο υποσύνολο). Τότε ο παίκτης Β, χωρίς να κάνει δεύτερη προσπάθεια, πρέπει να μαντέψει τις μπάλες που έβαλε στο μυαλό του ο Α.
Μπορεί ο παίκτης Β να κερδίζει πάντοτε το παιχνίδι; Αν ναι, πώς;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Orestis Kopsacheilis, Θανάσης Παπαδημητρίου, stratos, batman1986, theo, sf, MrKitsos, Antonios Seretis, Christos Ch, Michalis, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, swt, Βαγγέλης, Kris Geo, genikos, kraptaki, Λευτερης Στριλιγκας, daskalos1971, Nikos Stamatiou, John Salt, saxon

Πιθανοτήτων - Τετράεδρο μέσα σε σφαίρα (****)

Αν πάρουμε 4 τυχαία σημεία πάνω στην επιφάνεια μιας σφαίρας, ποια είναι η πιθανότητα το τετράεδρο που έχει για κορυφές αυτά τα 4 σημεία να περιέχει στο εσωτερικό του το κέντρο της σφαίρας;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Θανάσης Παπαδημητρίου, stratos, ΦΩΤΗΣΔΕΛ, sf, batman1986, Michalis, Antonios Seretis, swt, kraptaki, daskalos1971, Βαγγέλης, MrKitsos, John Salt, saxon