Πιθανοτήτων - Περισσότερες Κορώνες (***)

Ο Βασίλης έχει 30 νομίσματα και ο Γιώργος 31. Τα στρίβουν ταυτόχρονα.
Ποια είναι η πιθανότητα να φέρει ο Γιώργος περισσότερες Κορώνες από τον Βασίλη;

Υπολογισμού - Συζυγία δεικτών του ρολογιού (***)

Βρείτε την ώρα που συναντώνται για πρώτη φορά μετά τις 12, ο ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης ενός ρολογιού, με ακρίβεια δευτερολέπτου.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
sf, ea, RIZOPOULOS GEORGIOS, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, kakkalos, G SOZELGI, stratos, saxon, Θανάσης Παπαδημητρίου, percival, grvoodoo, Michalis, Πειραχτήρι, Τροικα, MrKitsos, Papaveri, ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΚΑΡΑΤΖΑ, batman1986, erratic, daskalos1971, sotrixios, Γιάννης Α, Γ. Κ., swt, Kos Monodri, Steli0s1, poe815, giorgos f, man erectus, bill2, Νεφέλη, nama, Ανθούλα, gkk, Κ29, arhs flou, Γιώργος Σωτηρόπουλος, lakostas, Antonios Seretis, Peter V, Stathis, Kris Geo, Png, kraptaki, Nikos Stamatiou, Dyer, Athanas79 P., manoskothris, ΑΜ9079, John Salt, skmmcj, loukas, Βαγγέλης, lemur, Χρήστος Κάλλης

Παράδοξα - Όλα τα άλογα έχουν το ίδιο χρώμα (***)

Θα αποδείξουμε πως όλα τα άλογα έχουν το ίδιο χρώμα. Ξεκινάμε με την πρόταση:

$ν$ άλογα έχουν πάντοτε το ίδιο χρώμα.

Αρκεί να αποδείξουμε πως η παραπάνω πρόταση είναι αληθής για κάθε $ν.$ Αυτό θα το επιτύχουμε με τη διαδικασία της Επαγωγής, ως εξής:

1) Επαληθεύουμε την Πρόταση για $ν=1$. Πράγματι, ένα άλογο έχει πάντοτε το ίδιο χρώμα με τον εαυτό του.

2) Υποθέτουμε ότι η πρόταση είναι αληθής για $ν$ άλογα.

3) Θα αποδείξουμε πως η πρόταση είναι αληθής για $ν+1$ άλογα:
Έστω πως έχουμε μια ομάδα $ν+1$ αλόγων. Ονομάζουμε το πρώτο άλογο της ομάδας $Π$ και το τελευταίο άλογο της ομάδας $Τ$.
Αφαιρούμε το άλογο $Π$ από την ομάδα και αυτά που μένουν είναι $ν$ στον αριθμό. Άρα από την υπόθεση που κάναμε στο βήμα 2, πρέπει να έχουν όλα το ίδιο χρώμα. Οπότε το άλογο $Τ$ έχει το ίδιο χρώμα με τα υπόλοιπα.
Βάζουμε το άλογο $Π$ στη θέση του και αφαιρούμε το άλογο $Τ$ από την ομάδα. Μένουν πάλι $ν$ άλογα που έχουν όλα το ίδιο χρώμα. Οπότε το άλογο $Π$ έχει το ίδιο χρώμα με τα υπόλοιπα.
Αφού τόσο το άλογο $Τ$ όσο και το άλογο $Π$ έχουν το ίδιο χρώμα με τα υπόλοιπα, πρέπει να έχουν το ίδιο χρώμα και μεταξύ τους.
Άρα και τα $ν+1$ άλογα έχουν όλα το ίδιο χρώμα.

Αποδείξαμε με τη διαδικασία της Επαγωγής πως όλα τα άλογα έχουν το ίδιο χρώμα. Που βρίσκεται το λάθος στον παραπάνω συλλογισμό;

Λογικής - Αντιστοίχιση κλειδιών (***)

Ένα καινούργιο ξενοδοχείο διαθέτει 10 δωμάτια. Ο ξενοδόχος μπέρδεψε τα 10 κλειδιά τους πριν προλάβει να τους περάσει τους αριθμούς των δωματίων και έτσι τώρα δεν έχει κανένα τρόπο να τα αντιστοιχίσει στις πόρτες που ανοίγουν, παρά μόνο δοκιμάζοντάς τα πάνω τους.
Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός δοκιμών που μπορεί να χρειαστούν προκειμένου να αντιστοιχίσει το κάθε κλειδί στη σωστή πόρτα;

Πιθανοτήτων - Θέσεις στο σινεμά (****)

Το μεσαίο διάζωμα ενός κινηματογράφου έχει 7 θέσεις σε κάθε σειρά, αριθμημένες με τους αριθμούς από 1 έως 7 και ο κάθε θεατής κάθεται στον αριθμό της θέσης που αναγράφεται στο εισιτήριό του. Σε μία από τις σειρές έχουν κοπεί όλα τα εισιτήρια και έχουν αγορασθεί από τους θεατές Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ και Η, με τυχαία σειρά. Ο καθένας από αυτούς τους θεατές έχει έρθει μόνος του και όλοι έφτασαν αφού είχε αρχίσει η ταινία και με αλφαβητική σειρά, δηλαδή πρώτος έφτασε ο Α και τελευταίος ο Η.
Ποια είναι η πιθανότητα να κάτσει ο καθένας στη θέση του χωρίς να αναγκαστεί να περάσει μπροστά από κάποιον από τους υπολοίπους;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
cris, percival, doberman30, sf, Θανάσης Παπαδημητρίου, stratos, ea, G SOZELGI, RIZOPOULOS GEORGIOS, Michalis, daskalos1971, Kordas Antonis, batman1986, saxon, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, swt, MrKitsos, kraptaki, John Salt

Έμπνευσης - Ισότητα με LEGO (****)

Κάποιος σας δίνει το ταμπλό με τα LEGO που φαίνεται στην εικόνα και σας προκαλεί να μετατρέψετε την ισότητα σε αληθή, με όσο το δυνατόν λιγότερες κινήσεις. Κίνηση θεωρείται κάθε αφαίρεση ή πρόσθεση ενός LEGO, ενώ δεν υπάρχει περιορισμός στα τουβλάκια που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε. Τι πρέπει να κάνετε;


Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
swt, percival, Papaveri, ea, batman1986, saxon, G SOZELGI, manos, jason1996, kakkalos, BAndrew, Θανάσης Παπαδημητρίου, sf, MrKitsos, RIZOPOULOS GEORGIOS, stratos, JOELMARX, Michalis, alexpsomi, daskalos1971, Πανος Τσιν, Kordas Antonis, gkk, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, milis, Γρηγόρης, vassilistrend, βασίλης, Vis, tasoe, Γιάννης Α, MelLo, Τροικα, ksekarfotos, Kos Monodri, Antonios Seretis, shieK_, Steli0s1, Charitakis Ioannis, Lampros LaKo, Νεφέλη, dimsot1989, Κ29, Ιωάννης Βελκόπουλος, Stathis, BOMBER, petalotis, Png, ioannesx, kraptaki, ilias.alkidis, King Ragnar, John Salt, loukas, jozagor, Βαγγέλης, Tamy, KiraDesu

Ανάλυσης - Επίλυση προβλημάτων (***)

100 μαθητές κλήθηκαν να λύσουν 4 προβλήματα σε ένα διαγώνισμα μαθηματικών.
Το 1ο πρόβλημα το έλυσαν 90 μαθητές, το 2ο 80 μαθητές, το 3ο 70 μαθητές και το 4ο 60 μαθητές.
Κανείς δεν κατάφερε να λύσει και τα 4 προβλήματα. Πόσοι μαθητές έλυσαν και το 3ο και το 4ο πρόβλημα;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
sf, percival, jason1996, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, stratos, swt, Θανάσης Παπαδημητρίου, doberman30, batman1986, RIZOPOULOS GEORGIOS, Kensh1n, alexpsomi, Πανος Τσιν, vassilistrend, nerd, ioannesx, Michalis, Pz, Γ. Κ., sotrixios, G SOZELGI, daskalos1971, NikosL, saxon, ΠανοςD, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, grvoodoo, Andreas Papanikolaou, αχκακος, Μάντια, Stathis, MrKitsos, JOELMARX, Antonios Seretis, Πειραχτήρι, Γρηγόρης, model1792, milis, shaps, poe815, Ευγένιος Σαχλοσοφίξ, ΤΟΜΤΟΜ, Δήμητρα, XENIOS ZEUS, ντινα, Ανθούλα, Parmen Koutsogeorgos, giorgosk, kb666, arhs flou, lakostas, kostaskr, petalotis, Kris Geo, Png, kraptaki, Nikos Stamatiou, King Ragnar, John Salt, Βαγγέλης

Συνδυασμών - Ο Χάρος βγήκε παγανιά (****)

Ένας μεθυσμένος οδηγός πέρασε 15 φωτεινούς σηματοδότες είτε με πράσινο είτε με κόκκινο προτού προλάβει να τον σταματήσει η Τροχαία. Το μόνο του “ελαφρυντικό” ήταν πως δεν πέρασε δύο διαδοχικά φανάρια με κόκκινο.
Με πόσους συνδυασμούς μπορεί να έχει συμβεί κάτι τέτοιο;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Θανάσης Παπαδημητρίου, percival, RIZOPOULOS GEORGIOS, stratos, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, Kensh1n, alexpsomi, swt, batman1986, sf, Michalis, kontoleon, kakkalos, G SOZELGI, Dreamkiller, Kordas Antonis, daskalos1971, NikosL, saxon, kontoleon, Giorgos Oikonomou, sotrixios, nama, grvoodoo, poe815, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, Κ29, YIANNIS KAZIA, Νίκος Μπουγιουκος, Png, kraptaki, Antonios Seretis, Nikos Stamatiou, AM9079, John Salt

Λογικής - Χρυσό, ασημένιο, χάλκινο (***)

Κάποιος βάζει ένα χρυσό, ένα ασημένιο και ένα χάλκινο νόμισμα πάνω σε ένα τραπέζι και σας λέει πως αν κάνετε μια αληθή δήλωση θα σας δώσει ένα από τα τρία νομίσματα, όποιο θέλει αυτός, ενώ αν κάνετε μια ψευδή δήλωση δεν θα σας δώσει τίποτα. Με ποια δήλωση θα καταφέρετε να πάρετε το χρυσό νόμισμα;

Έμπνευσης - Ξεκούρδιστο ρολόι (***)

Η κυρα-Μαριγώ ξύπνησε χαράματα από τις φωνές των κοκόρων στο κοτέτσι της. Κοίταξε το ρολόι δίπλα της και έλεγε ώρα 9 και μισή. «Ξέχασα να το κουρδίσω χθες βράδυ και σταμάτησε», σκέφτηκε. Ντύθηκε, έφαγε το πρωινό της και πήρε το δρόμο για το δάσος όπως κάθε πρωί για να μαζέψει χόρτα. Ήξερε πως χρειαζόταν ακριβώς 10 λεπτά για να φτάσει στο δάσος. Μόλις έφτασε, άκουσε το ρολόι του χωριού να χτυπάει 7 φορές και κατάλαβε πως η ώρα ήταν 7 ακριβώς. Αυτή ήταν και η τελευταία πληροφορία που πήρε για το τι ώρα ήταν. Μάζεψε τα χόρτα της και μόλις τελείωσε πήρε το δρόμο της επιστροφής. Μόλις έφτασε στο σπίτι της, ρύθμισε το ρολόι της με ακρίβεια στη σωστή ώρα. Τι είχε κάνει ώστε να γνωρίζει τι ώρα ήταν;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
percival, swt, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, stratos, G SOZELGI, batman1986, Πειραχτήρι, sf, Θανάσης Παπαδημητρίου, alexpsomi, saxon, Vicky Alex, kakkalos, kl je, ioannesx, Jiji, daskalos1971, vassilistrend, sotrixios, nerd, paschalisb, Kensh1n, Takaros Med, ΚωσταςΧρ, filip, Πανος Τσιν, Michalis, Τονια Χ, Λευτέρης, ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΕΛΕΚΙΔΗΣ, MrKitsos, Νικος, JOELMARX, Peter V, milis, nama, John Crabs, Γρηγόρης, Γιάννης Α, geo proud, sciamano caotico, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, MnKpRs, Kos Monodri, ksekarfotos, erratic, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΤΣΑΟΥΣΗΣ, Eleni K., Steli0s1, Antonios Seretis, Charitakis Ioannis, XENIOS ZEUS, Νεφέλη, ντινα, Ermal Lazaj, kb666, lakostas, BOMBER, Stathis, Kris Geo, kraptaki, Christina Pebbles, Konstantinos K, ilias.alkidis, Nikos Stamatiou, tasoe, Conan1982, Athanas79 P., manoskothris, John Salt, jozagor, King Ragnar, antonela, KiraDesu, Βαγγέλης