Συνδυασμών - Ο Χάρος βγήκε παγανιά (****)

Ένας μεθυσμένος οδηγός πέρασε 15 φωτεινούς σηματοδότες είτε με πράσινο είτε με κόκκινο προτού προλάβει να τον σταματήσει η Τροχαία. Το μόνο του “ελαφρυντικό” ήταν πως δεν πέρασε δύο διαδοχικά φανάρια με κόκκινο.
Με πόσους συνδυασμούς μπορεί να έχει συμβεί κάτι τέτοιο;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Θανάσης Παπαδημητρίου, percival, RIZOPOULOS GEORGIOS, stratos, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, Kensh1n, alexpsomi, swt, batman1986, sf, Michalis, kontoleon, kakkalos, G SOZELGI, Dreamkiller, Kordas Antonis, daskalos1971, NikosL, saxon, kontoleon, Giorgos Oikonomou, sotrixios, nama, grvoodoo, poe815, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, Κ29, YIANNIS KAZIA, Νίκος Μπουγιουκος, Png, kraptaki, Antonios Seretis, Nikos Stamatiou, AM9079, John Salt

Λογικής - Χρυσό, ασημένιο, χάλκινο (***)

Κάποιος βάζει ένα χρυσό, ένα ασημένιο και ένα χάλκινο νόμισμα πάνω σε ένα τραπέζι και σας λέει πως αν κάνετε μια αληθή δήλωση θα σας δώσει ένα από τα τρία νομίσματα, όποιο θέλει αυτός, ενώ αν κάνετε μια ψευδή δήλωση δεν θα σας δώσει τίποτα. Με ποια δήλωση θα καταφέρετε να πάρετε το χρυσό νόμισμα;

Έμπνευσης - Ξεκούρδιστο ρολόι (***)

Η κυρα-Μαριγώ ξύπνησε χαράματα από τις φωνές των κοκόρων στο κοτέτσι της. Κοίταξε το ρολόι δίπλα της και έλεγε ώρα 9 και μισή. «Ξέχασα να το κουρδίσω χθες βράδυ και σταμάτησε», σκέφτηκε. Ντύθηκε, έφαγε το πρωινό της και πήρε το δρόμο για το δάσος όπως κάθε πρωί για να μαζέψει χόρτα. Ήξερε πως χρειαζόταν ακριβώς 10 λεπτά για να φτάσει στο δάσος. Μόλις έφτασε, άκουσε το ρολόι του χωριού να χτυπάει 7 φορές και κατάλαβε πως η ώρα ήταν 7 ακριβώς. Αυτή ήταν και η τελευταία πληροφορία που πήρε για το τι ώρα ήταν. Μάζεψε τα χόρτα της και μόλις τελείωσε πήρε το δρόμο της επιστροφής. Μόλις έφτασε στο σπίτι της, ρύθμισε το ρολόι της με ακρίβεια στη σωστή ώρα. Τι είχε κάνει ώστε να γνωρίζει τι ώρα ήταν;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
percival, swt, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, stratos, G SOZELGI, batman1986, Πειραχτήρι, sf, Θανάσης Παπαδημητρίου, alexpsomi, saxon, Vicky Alex, kakkalos, kl je, ioannesx, Jiji, daskalos1971, vassilistrend, sotrixios, nerd, paschalisb, Kensh1n, Takaros Med, ΚωσταςΧρ, filip, Πανος Τσιν, Michalis, Τονια Χ, Λευτέρης, ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΕΛΕΚΙΔΗΣ, MrKitsos, Νικος, JOELMARX, Peter V, milis, nama, John Crabs, Γρηγόρης, Γιάννης Α, geo proud, sciamano caotico, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, MnKpRs, Kos Monodri, ksekarfotos, erratic, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΤΣΑΟΥΣΗΣ, Eleni K., Steli0s1, Antonios Seretis, Charitakis Ioannis, XENIOS ZEUS, Νεφέλη, ντινα, Ermal Lazaj, kb666, lakostas, BOMBER, Stathis, Kris Geo, kraptaki, Christina Pebbles, Konstantinos K, ilias.alkidis, Nikos Stamatiou, tasoe, Conan1982, Athanas79 P., manoskothris, John Salt, jozagor, King Ragnar, antonela, KiraDesu, Βαγγέλης

Λογικής - Ο μυστηριώδης αριθμός Ζ (****)

Βρείτε τον αριθμό Ζ που προκύπτει από τις παρακάτω 10 προτάσεις:

1. Τουλάχιστον μία από τις προτάσεις 9 και 10 είναι αληθής.
2. Αυτή είναι είτε η πρώτη αληθής είτε η πρώτη ψευδής πρόταση.
3. Υπάρχουν τρεις διαδοχικές ψευδείς προτάσεις.
4. Η διαφορά μεταξύ των αριθμών της τελευταίας αληθούς και της πρώτης αληθούς πρότασης διαιρεί τον αριθμό Z.
5. Ο αριθμός Z είναι το άθροισμα  των αριθμών όλων των αληθών προτάσεων.
6. Αυτή δεν είναι η τελευταία αληθής πρόταση.
7. Ο αριθμός κάθε αληθούς πρότασης διαιρεί τον αριθμό Z.
8. Ο αριθμός Z είναι το ποσοστό (%) των αληθών προτάσεων.
9. Το πλήθος των θετικών ακέραιων διαιρετών του αριθμού Z (χωρίς το 1 και τον Ζ) είναι μεγαλύτερο από το άθροισμα των αριθμών των αληθών προτάσεων.
10. Δεν υπάρχουν τρεις διαδοχικές αληθείς προτάσεις.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:

Θανάσης Παπαδημητρίου, RIZOPOULOS GEORGIOS, percival, stratos, swt, alexpsomi, saxon, nerd, batman1986, Λαέρτης, sf, Kensh1n, Michalis, vas_theo39, Rania Tsiro, Γιάννης Τσιροβασίλης, JOELMARX, dumitru6909, MelLo, George Rockas, ariscampis, poe815, Νεφέλη, G SOZELGI, Stathis, kakkalos, kraptaki, Antonios Seretis, Kris Geo, Nikos Stamatiou, KiraDesu, Μανουηλ, Βαγγέλης, Χρήστος Κάλλης

Παράδοξα - Το παράδοξο του μπογιατζή (***)

Στο Σχήμα 1 βλέπουμε μια επίπεδη επιφάνεια, χωρισμένη σε τμήματα. Το πρώτο τμήμα είναι τετράγωνο πλευράς $1\,εκ.$ Από το δεύτερο τμήμα και μετά, το κάθε νέο τμήμα έχει το διπλάσιο ύψος και το μισό πλάτος του προηγούμενου. Έτσι το εμβαδόν του κάθε τμήματος είναι πάντοτε $1\,εκ.^2$. Τα τμήματα αυτά είναι άπειρα σε πλήθος, οπότε το συνολικό τους εμβαδό είναι:
$E = 1\,εκ.^2 + 1\,εκ.^2 + 1\,εκ.^2 +\ldots$ , δηλαδή άπειρο.
Ένας μπογιατζής σκέφτεται πως αν ήθελε να βάψει αυτή την επιφάνεια θα χρειαζόταν άπειρη ποσότητα χρώματος.
Περιστρέφουμε τώρα την επιφάνεια γύρω από την ημιευθεία που βρίσκεται στο δεξιό σύνορο του Σχήματος 1 μέχρι να σχηματιστεί ένας πλήρης κύκλος. Προκύπτει έτσι το στερεό του Σχήματος 2 που αποτελείται από άπειρο πλήθος κυλίνδρων.
Ο όγκος ενός κυλίνδρου ακτίνας $r$ και ύψους $h$, δίνεται από τον τύπο: $V=πr^2h$.
O $ν\,$–οστός κύλινδρος του Σχήματος 2 μετρώντας από επάνω έχει ακτίνα $r=1/2^{ν-1}\,εκ.$ και ύψος $h=2^{ν-1}\,εκ.$ Άρα ο όγκος του $ν\,$–οστού κυλίνδρου είναι $V_ν=π/2^{ν-1}\,εκ.^3$.
Ο συνολικός όγκος του στερεού του σχήματος 2 είναι:
$$V=π\,(1+1/2+1/2^2+1/2^3+\ldots)\,εκ.^3$$ Μέσα στην παρένθεση του πιο πάνω τύπου έχουμε ένα γνωστό άθροισμα μιας γεωμετρική προόδου απείρων όρων, το οποίο συγκλίνει στην τιμή $2$. Άρα ο συνολικός όγκος του Σχήματος 2 είναι:
$$V=2π\,εκ.^3$$ Ας φανταστούμε τώρα ότι το στερεό του Σχήματος 2 είναι μέσα κούφιο, σχηματίζοντας ένα δοχείο. Για να το γεμίσει ο μπογιατζής θα χρειαζόταν χρώμα όγκου $2π\,εκ.^3$. Στη συνέχεια σκέφτεται πως εάν βουτούσε το επίπεδο του Σχήματος 1 μέσα στο δοχείο με το χρώμα, τότε θα το έβγαζε βαμμένο και μάλιστα και από τις δύο πλευρές.
Οδηγείται λοιπόν σε δύο αντιφατικά συμπεράσματα: το πρώτο είναι ότι το επίπεδο χρειάζεται άπειρη ποσότητα χρώματος για να βαφτεί και το δεύτερο είναι ότι αρκούν $6,28\,εκ.^3$ χρώματος περίπου. Σε ποιο σημείο του συλλογισμού του μπογιατζή βρίσκεται το λάθος;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
RIZOPOULOS GEORGIOS, percival, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, stratos, batman1986, Θανάσης Παπαδημητρίου, Σωτήρης, saxon, BOMBER, alexpsomi, sotrixios, nerd, Kensh1n, Michalis, sf, Kordas Antonis, swt, Νεφέλη, daskalos1971, Steli0s1, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, kraptaki

Πιθανοτήτων - Μετεωρολογικές προβλέψεις (****)

Ο τοπικός μετεωρολόγος προβλέπει ότι δεν θα βρέξει αύριο στο Πήλιο, ενώ αντίθετα η ΕΜΥ προβλέπει βροχή. Οι δύο πηγές είναι ανεξάρτητες και, βάσει ιστορικού, οι προβλέψεις του μεν μετεωρολόγου επιβεβαιώνονται στα 4/5 των περιπτώσεων, της δε ΕΜΥ στα 8/9 των περιπτώσεων. Χωρίς καμία άλλη πληροφορία, εσείς ποια νομίζετε ότι είναι η πιθανότητα να βρέξει αύριο στο Πήλιο;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Θανάσης Παπαδημητρίου, percival, Arithmoulis, stratos, batman1986, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, swt, Petros, theo, sf, alexpsomi, ioannesx, DepyAl, vassilistrend, saxon, Michalis, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, sciamano caotico, G SOZELGI, man123, Νίκος Ηλιόπουλος, kraptaki, Χρήστος Κάλλης

Συνδυασμών - Μαγικό τετράγωνο (**)

Τοποθετήστε 9 τραπουλόχαρτα στη διάταξη που φαίνεται στο σχήμα. Προκύπτει ένας πίνακας του οποίου κάθε γραμμή, στήλη και η μία του διαγώνιος έχουν άθροισμα 6. Αλλάξτε θέση σε κάποια τραπουλόχαρτα έτσι ώστε να έχει κάθε γραμμή, στήλη και οι δύο διαγώνιοι άθροισμα 6.

Ανάλυσης - Χρωματίστε τον χάρτη (***)

Ο παρακάτω “χάρτης” έχει δημιουργηθεί από μία συνεχόμενη γραμμή που καταλήγει στο σημείο απ’ όπου ξεκίνησε χωρίς να περνάει δύο φορές από το ίδιο τμήμα της. Πόσα είναι τα λιγότερα χρώματα που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για να χρωματίσουμε όλες τις περιοχές ώστε να μην υπάρχουν δύο γειτονικές περιοχές με το ίδιο χρώμα;
Διευκρίνιση: Δύο περιοχές που έχουν μόνο ένα κοινό σημείο δεν θεωρούνται γειτονικές.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
ΕΑΛΕΞΙΟΥ, RIZOPOULOS GEORGIOS, percival, Θανάσης Παπαδημητρίου, Michalis, batman1986, stratos, MrKitsos, daskalos1971, sf, Λαέρτης, swt, nasos1439, alexpsomi, kakkalos, Τροικα, DepyAl, saxon, tasosi2008, G SOZELGI, karaisko, Evita, Kensh1n, spiros anas, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, Δήμητρα, Antonios Seretis, eftychia orfanou, Kris Geo, kraptaki, Nikos Stamatiou, AM9079, John Salt, Βαγγέλης

Υπολογισμού - Διπλάσιο – τριπλάσιο – πενταπλάσιο (****)

Βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο αριθμό του οποίου το διπλάσιο είναι τέλειο τετράγωνο, το τριπλάσιο είναι τέλειος κύβος και το πενταπλάσιο είναι τέλεια 5η δύναμη.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
batman1986, Θανάσης Παπαδημητρίου, percival, stratos, swt, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, RIZOPOULOS GEORGIOS, Michalis, MrKitsos, Dreamkiller, Thanasis Tasoulas, kraptaki, Κυριαζής Γιώργος, theo, daskalos1971, prinkal, nasos1439, trixas, alexpsomi, Png, sf, tasosi2008, πρεφαδόρος στην υπόγα, xaris, Petros, kakkalos, Κυριάκος, Enrique Orestis, saxon, cris, G SOZELGI, Stathis, Nikos Stamatiou, Γ. Κ., Kensh1n, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, JOELMARX, Sotiris Itsos, Kris Geo, Kos Monodri, ariscampis, Steli0s1, integral, Νεφέλη, YIANNIS KAZIA, george pap, Γιώργος Σωτηρόπουλος, Antonios Seretis, ΧΡΙΣΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, Νίκος Ηλιόπουλος, AM9079, manoskothris, skmmcj, Βαγγέλης, John Salt

Λογικής - Ραντεβού στα τυφλά (***)

Ο Άρης θέλει να επισκεφτεί την παλιά του φίλη Βίκυ που μένει στον κεντρικό δρόμο ενός χωριού. Ο δρόμος έχει 50 σπίτια, μοιρασμένα σε δυο οικισμούς και αριθμημένα από 1-20 στον 1ο και από 21-50 στο 2ο οικισμό. Ο Άρης έχει ξεχάσει τον αριθμό του σπιτιού της Βίκυς και ρωτάει σχετικά έναν περαστικό. Ο περαστικός δεν του απαντά ευθέως, αλλά του λέει σε ποιον ακριβώς οικισμό βρίσκεται το σπίτι, αν ο αριθμός του είναι μονός ή ζυγός και αν είναι ή όχι τέλειο τετράγωνο. Ο Άρης τότε, για να σιγουρευτεί απόλυτα, ρωτάει τον περαστικό αν ο αριθμός του σπιτιού περιέχει το ψηφίο 4. Παίρνοντας την απάντηση, ο Άρης σιγουρεύεται και πηγαίνει στο σπίτι που συμπέρανε ότι έμενε η Βίκυ.
Χτυπάει το κουδούνι, αλλά αντί της Βίκυς του ανοίγει ένας άντρας που του συστήθηκε ως Γιάννης. Ο Γιάννης εξήγησε γελώντας στον Άρη πως ο περαστικός που του είχε δώσει τις πληροφορίες ήταν ο μεγαλύτερος ψεύτης του χωριού και δεν έλεγε ποτέ την αλήθεια. Τότε ο Άρης σκέφτηκε για μια στιγμή και είπε: Ευχαριστώ, τώρα ξέρω τον πραγματικό αριθμό του σπιτιού της Βίκυς!
Ποιος ήταν ο αριθμός του σπιτιού της Βίκυς και ποιος του Γιάννη;