Ανάλυσης - Παιχνίδι με σπίρτα (*****)

Παίζετε με έναν φίλο σας το παρακάτω παιχνίδι: Σχηματίζετε 9 σειρές από σπίρτα. Στην πρώτη σειρά βάζετε 1 σπίρτο, στη δεύτερη σειρά βάζετε 2 σπίρτα, κ.ο.κ., μέχρι την ένατη σειρά στην οποία βάζετε 9 σπίρτα.
Παίζετε εναλλάξ και ο κάθε παίκτης στη σειρά του μπορεί να αφαιρέσει από 1 έως όλα τα σπίρτα μιας οποιασδήποτε σειράς. Όποιος παίκτης αναγκαστεί να πάρει το τελευταίο σπίρτο χάνει το παιχνίδι.
Σας συμφέρει να παίξετε πρώτος ή δεύτερος; Με ποια στρατηγική θα κερδίσετε στα σίγουρα το παιχνίδι;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
swt, stratos, ΧΑΡΗΣ, batman1986, Michalis, sotrixios, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, kraptaki, percival, Θανάσης Παπαδημητρίου, sf, gerodiak, alexpsomi, saxon, Νίκος Ηλιόπουλος

Ανάλυσης - 4 ίπποι (***)

Στην εικόνα παρουσιάζονται 2 λευκοί και 2 μαύροι ίπποι τοποθετημένοι σε ένα τμήμα της σκακιέρας. Με ποιες κινήσεις μπορούμε να ανταλλάξουμε τις θέσεις των λευκών με τους μαύρους ίππους;

Διευκρινίσεις:

1. Οι ίπποι επιτρέπεται να κινηθούν μόνο εντός των τετραγώνων που απεικονίζονται στο σχήμα.
2. Η κίνηση του κάθε ίππου πρέπει να είναι ίδια με αυτή που κάνει στο σκάκι, δηλαδή σχήματος «Γ».
3. Ένας ίππος μπορεί να υπερπηδά άλλους ίππους, αλλά δεν μπορεί να καταλήγει σε τετράγωνο που καταλαμβάνεται από κάποιον άλλον ίππο.
4. Δώστε τις κινήσεις σας χρησιμοποιώντας τους αριθμούς που φαίνονται σε κάθε τετράγωνο.

Υπόδειξη: Ο γρίφος λύνεται πολύ εύκολα αν κάνετε έναν μετασχηματισμό της αρχικής διάταξης. Αν δεν βλέπετε πώς, σας δίνεται μία λέξη βοήθειας. Μαρκάρετε με το ποντίκι την περιοχή ανάμεσα στα δύο βέλη για να αποκαλυφθεί.
Λέξη βοήθειας: → Γράφημα ←

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
swt, stratos, fighter, ΧΑΡΗΣ, batman1986, Michalis, Vizener, sotrixios, saxon, Chronopoulos, johnthegreek, ξενοφων, efthimis, EpicZeroXXi, Steli0s1, avevaios, mpwallas, straniero, AlexiouG, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, percival, qwerty, BAndrew, Mike Ambas, Tamy, MrKitsos, kraptaki, Θανάσης Παπαδημητρίου, Prefas, G SOZELGI, Αλέκος Ντόρντας, Png, daskalos1971, kakkalos, sf, Χρηστος Χ., Λαέρτης, alexpsomi, Νεφέλη, Stathis, sakis kefallinos, Nikos Stamatiou, manoskothris, John Salt, Βαγγέλης

Συνδυασμών - Δωμάτια ξενοδοχείου (*****)

Τέσσερα ζευγάρια πήγαν διακοπές σε κάποιο ξενοδοχείο. Μόλις έφτασαν ο ξενοδόχος τους έδωσε τέσσερα συνεχόμενα δίκλινα δωμάτια με τους αριθμούς από 1 έως 4. Οι γυναίκες ανέβηκαν για να διαλέξουν δωμάτια και κάθισε η κάθε μία στο δωμάτιό της περιμένοντας τον σύζυγό της, ενώ οι άντρες έμειναν κάτω για να πιούν ένα ποτό. Μετά από λίγη ώρα, αποφάσισαν να ανέβουν και να πάει ο καθένας στο δωμάτιο που διάλεξε η γυναίκα του.
«Αν ανέβουμε ένας-ένας και ανοίγουμε τις 4 πόρτες μέχρι να βρούμε τη σύζυγό μας, ποια να είναι άραγε η πιθανότητα να το επιτύχουμε αυτό όλοι με δύο το πολύ προσπάθειες ο καθένας;» ρώτησε ο πρώτος.
«Αυτό είναι εύκολο» του απάντησε ο δεύτερος. «Αφού θα ανοίγουμε 2 στις 4 πόρτες, ο καθένας μας έχει πιθανότητα 1/2 να βρει τη σύζυγό του. Και για να τα καταφέρουμε και οι τέσσερις, η πιθανότητα είναι 1/2^4 = 1/16 ή 6,25%».
«Λάθος!» ανακοίνωσε ο τρίτος. «Υπάρχει τρόπος να επιτύχουμε το ζητούμενο με πιθανότητα μεγαλύτερη από 40% και μάλιστα χωρίς να επικοινωνήσουμε με τις γυναίκες μας ή μεταξύ μας από τη στιγμή που θα ανέβει ο πρώτος».
Με ποια μέθοδο μπορούν να το καταφέρουν αυτό;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
stratos, batman1986, Michalis, swt, ΧΑΡΗΣ, saxon, straniero, takis, sotrixios, pegasusgr, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, percival, Θανάσης Παπαδημητρίου, kraptaki, G SOZELGI, Αλέκος Ντόρντας, sf, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, Νεφέλη, Βαγγέλης

Έμπνευσης - 1-2-3 (***)

Η Άννα λέει στον Βασίλη πως θα βάλει στο μυαλό της τον αριθμό 1 ή 2 ή 3. Ο Βασίλης θα της κάνει μία ερώτηση για να ανακαλύψει τον αριθμό της. Η Άννα θα πρέπει να απαντήσει στην ερώτηση ευθέως και ειλικρινώς με μία εκ των φράσεων «ναι», «όχι» ή «δεν ξέρω» αν δεν γνωρίζει την απάντηση. Βρείτε μια ερώτηση για τον Βασίλη που δίνει με βεβαιότητα τον αριθμό της Άννας.
Σημείωση: Οι τρεις αριθμοί δεν επιτρέπεται να αντιστοιχιστούν αυθαίρετα στις τρεις απαντήσεις ή σε άλλες έννοιες.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
batman1986, stratos, Antonis1996, Michalis, ΘΑΝΑΤΟΣ, swt, Papis, Nikos, Evangelos, Dreamkiller, sotrixios, fighter, ksekarfotos, giorgaras55, ΧΑΡΗΣ, DanielGraig, stavgeor, offspring, Δημητρης, iliasultras, johnthegreek, Δ.Δ., killerado, enfante gatee, theo, Κώστας Κ., malo, saxon, mathusalas, Lucidreamer, Dimitrios, panos, giapou, kraptaki, Nikos Stamatiou, Θανάσης Παπαδημητρίου, rockwave, asofe, ION, soulis, koritsares, BOMBER, sbetsika, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, nasok, percival, takis, thanosda, qwerty, forest, Roland_Of_Gilead, Mike Ambas, BAndrew, Dimitris Tsarouhas, erratic, DepyAl, nama, voula, Peter V, Θοδωρής, G SOZELGI, Steli0s1, Charitakis Ioannis, Anestis, Haris kartalis, vergil8893, dimsot1989, paschalisb, Stelios Larisa, Antonios Seretis, sf, lakostas, Lucidreamer, nikos_ex, daskalos1971, Πειραχτήρι, ΧΡ.ΧΑΣΑΝΕΑΣ, kakkalos, Γ.Σωτηρόπουλος, geo, alma, gerodiak, bill1988, Kris Geo, Κατερίνα, alexpsomi, Λαέρτης, InF3XioN, Vagellis XATZHPANTAZHS, tympos, nerd, Stathis, Kensh1n, NikosL, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, Νεφέλη, sciamano caotico, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΤΣΑΟΥΣΗΣ, Γρηγόρης, kostaskr, ilias.alkidis, John Salt, Βαγγέλης, KiraDesu

Ανάλυσης - Τα 101 ρομπότ της Εταιρείας (****)

Μια εταιρεία κατασκεύασε 101 όμοια ρομπότ αλλά στη συνέχεια διαπίστωσε πως κάποια από αυτά βγήκαν ελαττωματικά. Φώναξε λοιπόν ο διευθυντής έναν τεχνικό και του ανέθεσε να εντοπίσει τα ελαττωματικά ρομπότ για να τα στείλουν προς καταστροφή. Του έδωσε τις παρακάτω οδηγίες: «Το κάθε ρομπότ είναι εφοδιασμένο με ένα σύστημα διάγνωσης της κατάστασης κάποιου άλλου ρομπότ. Συνδέεις αυτό το βύσμα του ελεγκτικού ρομπότ σε αυτή την υποδοχή του εξεταζόμενου ρομπότ και αν ανάψει αυτό το φωτάκι στο ελεγκτικό ρομπότ τότε το εξεταζόμενο ρομπότ είναι κανονικό. Αν δεν ανάψει τότε το εξεταζόμενο ρομπότ είναι ελαττωματικό και πρέπει να καταστραφεί. Το κάθε ρομπότ μπορεί να εξεταστεί μέχρι δύο φορές για το αν είναι κανονικό ή όχι. Μπορείς να έχεις εμπιστοσύνη στις διαγνώσεις των κανονικών ρομπότ γιατί είναι πάντοτε σωστές, αλλά δεν μπορείς να έχεις καμία εμπιστοσύνη στις διαγνώσεις των ελαττωματικών οι οποίες είναι πότε σωστές και πότε λάθος. Θα μπορούσαμε βέβαια να τα καταστρέψουμε όλα, αλλά κάτι τέτοιο θα ήταν ασύμφορο για την εταιρεία μας, γιατί γνωρίζουμε με βεβαιότητα ότι τα περισσότερα ρομπότ είναι κανονικά».
Με ποια μέθοδο θα καταφέρει ο τεχνικός να εντοπίσει όλα τα ελαττωματικά ρομπότ;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Nick, stratos, Michalis, swt, Je vais evanouir, batman1986, sotrixios, fighter, ΧΑΡΗΣ, saxon, foikonomop, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, percival, kraptaki, Θανάσης Παπαδημητρίου, MelLo, sf, G SOZELGI, Πειραχτήρι, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, daskalos1971

Συνδυαστικής σκέψης - Άθροισμα και γινόμενο (*****)

Δύο φοιτητές μαθηματικών, ο Άρης και ο Γιώργος, ενδιαφέρονται για την ίδια συμφοιτήτριά τους τη Μαρία. Αυτή τους είπε πως θα τα φτιάξει με αυτόν που θα αποδειχτεί πιο έξυπνος από τους δύο. Έβαλε στο μυαλό της δύο ακέραιους αριθμούς από το 3 έως το 100 και ψιθύρισε στον Άρη το άθροισμά τους και στον Γιώργο το γινόμενό τους. Τους εξήγησε τους κανόνες και τους είπε πως όποιος από τους δύο καταφέρει να βρει τους δύο αριθμούς θα κερδίσει την καρδιά της. Τότε οι δύο φοιτητές έκαναν μεταξύ τους τον παρακάτω διάλογο:

• Άρης: Ξέρω πως δεν μπορείς να βρεις τους αριθμούς. Δυστυχώς ούτε κι εγώ μπορώ.
• Γιώργος: Τώρα με αυτό που είπες τους βρήκα!
• Άρης: Τώρα τους βρήκα κι εγώ!

Στο τέλος έμειναν κι οι δύο μπουκάλες γιατί ήρθαν ισοπαλία, αλλά τουλάχιστον πήραν την ικανοποίηση πως έλυσαν το γρίφο της Μαρίας. Ποιοι ήταν οι δύο αριθμοί;
Σαν βοήθεια δίνεται η Εικασία του Goldbach, που λέει πως κάθε ζυγός αριθμός μπορεί να γραφτεί σαν άθροισμα δύο πρώτων. Παρόλο που δεν έχει αποδειχτεί για κάθε αριθμό, ισχύει στα σίγουρα μέσα στα όρια που θέτει το πρόβλημα.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
batman1986, stratos, swt, Michalis, UERTHI, Θανάσης Παπαδημητρίου, saxon, MrKitsos, kraptaki, forest, percival, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, A.S., sf, G SOZELGI, alexpsomi, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ

Ζυγίσεων - Σάκος με ζάχαρη (*****)

Ένας μπακάλης έχει στη διάθεσή του ένα σάκο με ζάχαρη βάρους 10 κιλών, δύο βαρίδια βάρους 200 και 300 γραμμαρίων και μια ζυγαριά δύο δίσκων.
Πουλάει αυτή τη ζάχαρη μόνο σε πολλαπλάσια των 100 γραμμαρίων και μόνο αν η ποσότητα που του ζητήσει ο πελάτης μπορεί να μετρηθεί το πολύ με 3 ζυγίσεις.
Ποια είναι η πιθανότητα να μπορέσει να εξυπηρετηθεί ο πρώτος πελάτης που θα μπει στο μαγαζί και θα του ζητήσει οποιοδήποτε πολλαπλάσιο των 100 γραμμαρίων με όριο τα 10 κιλά;

Σημείωση: Θεωρήστε ότι μία ζύγιση ολοκληρώνεται τη στιγμή που ο ζυγός ισορροπεί. Επίσης θεωρήστε αμελητέο το βάρος κάθε σάκου που θα χρησιμοποιήσει για τη συγκέντρωση της ζάχαρης.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
swt, stratos, saxon, batman1986, Michalis, Evangelos, ksekarfotos, ΧΑΡΗΣ, stavgeor, killerado, theo, boilover, avevaios, Θανάσης Παπαδημητρίου, efthimis, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, Νικόλας_Χ, kraptaki, percival, ΜΑΡΑΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ, G SOZELGI, Aliki, gkk, sf, daskalos1971, Kris Geo, JOELMARX, Γρηγόρης, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, gerodiak, John Salt

Υπολογισμού - Το κυνήγι της χήνας (****)

Μια χήνα βρίσκεται στο κέντρο μιας κυκλικής λίμνης. Ένας λύκος βρίσκεται στην όχθη της λίμνης και θα ήθελε πολύ να τη φάει αλλά δεν ξέρει κολύμπι. Αν η χήνα καταφέρει να κολυμπήσει μέχρι την όχθη της λίμνης τότε μπορεί στιγμιαία να πετάξει και να γλυτώσει από τα δόντια του λύκου. Ο λύκος τρέχει 4 φορές πιο γρήγορα απ’ ότι κολυμπάει η χήνα και κινείται πάντοτε προς την κατεύθυνση που τον φέρνει πιο κοντά της.
Μπορεί να γλυτώσει η χήνα; Αν ναι, περιγράψτε τη διαδρομή που πρέπει να ακολουθήσει και δώστε μια εκτίμηση του ελάχιστου μήκους της.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
stratos, kraptaki, batman1986, ΧΑΡΗΣ, swt, Michalis, aldel, Png,        Aris S, gkk, Fenthick, GooD, Aristotelis Kodos, ΘΑΝΑΤΟΣ, stavgeor, johnthegreek, killerado, Biorebel, tasosi2008, saxon, panos, efthimis, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, takis, percival, Θανάσης Παπαδημητρίου, ZORIKOS, Tamy, L, parmapan, G SOZELGI, Κυριάκος Κουγιουμτζόπουλος, dimsot1989, Steli0s1, ntsa, Πειραχτήρι, daskalos1971, Kris Geo, Γ. Κ., Μιχάλης, sf, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, Γιάννης Α, Νεφέλη, Stathis, Νίκος Ηλιόπουλος, Dyer, John Salt, Βαγγέλης

Συνδυασμών - Χρηματοκιβώτιο (***)

Ο ιδιοκτήτης μιας τράπεζας θέλει να βάλει ένα καινούργιο χρηματοκιβώτιο. Επειδή δεν έχει και πολύ εμπιστοσύνη στον διευθυντή και τους 5 ταμίες του, θέλει το χρηματοκιβώτιο να μπορεί να ανοιχτεί μόνο από τον διευθυντή και έναν οποιονδήποτε ταμία ή από τρεις οποιουσδήποτε ταμίες μαζί. Οπότε αποφάσισε το χρηματοκιβώτιο να έχει έναν ορισμένο αριθμό διαφορετικών κλειδαριών και τα κλειδιά τους να μοιραστούν με κάποιο τρόπο ο διευθυντής και οι 5 ταμίες. Κάθε κλειδαριά μπορεί να έχει πολλά αντικλείδια.
Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κλειδαριών που πρέπει να έχει το νέο χρηματοκιβώτιο και πώς θα μοιραστούν τα κλειδιά τους στον διευθυντή και τους 5 ταμίες;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Michalis, stratos, swt, batman1986, kraptaki, ΧΑΡΗΣ, Volanaron, Test, ΘΑΝΑΤΟΣ, giorgaras55, stavgeor, efthimis, asofe, Θανάσης Παπαδημητρίου, Png, sbetsika, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, percival, pegasusgr, Κ29, G SOZELGI, jason1996, sf, daskalos1971, nama, alexpsomi, saxon, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, John Salt

Συνδυαστικής σκέψης - Καπέλα με αριθμούς (****)

Τρεις λογικολόγοι, ο Α ο Β και ο Γ, φοράνε από ένα καπέλο το οποίο έχει πάνω του έναν θετικό ακέραιο αριθμό. Ο καθένας μπορεί να βλέπει τους αριθμούς στα καπέλα των άλλων δύο αλλά δεν ξέρει τον αριθμό του δικού του καπέλου. Η μόνη πληροφορία που τους δίνεται είναι ότι το άθροισμα των αριθμών των δύο καπέλων μας δίνει τον αριθμό στο τρίτο καπέλο. Τους ζητείται με τη σειρά να βρουν τον αριθμό που έχει ο καθένας στο καπέλο του και δίνονται οι πιο κάτω απαντήσεις:

- Α: Δεν γνωρίζω
- Β: Δεν γνωρίζω
- Γ: Δεν γνωρίζω
- Α: Ο αριθμός μου είναι το 50.

Ποιους αριθμούς έχουν τα καπέλα του Β και του Γ και πως κατέληξε ο Α σε αυτό το συμπέρασμα;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
stratos, kraptaki, batman1986, Michalis, swt, sotrixios, manwlou, offspring, ΧΑΡΗΣ, aldel, kyriakos, Url, sam66, Συνδυαστης, Test, ΘΑΝΑΤΟΣ, stavgeor, Theo, eltsa85, Diam, Aspect, Xeliaz, AlexiouG, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, straniero, Θανάσης Παπαδημητρίου, ΜΑΚΗΣ, percival, κακολυκος, αχκακος, giorgaras55, panosvlach, saxon, Ioannis, george_pap, Prefas, G SOZELGI, Panagioths Panos, sf, stergios, asotos-ios, MelLo, alexpsomi, nerd, irene mich, Γιώργος Κουκ, Steli0s1, mpaslisd, Αχιλλέας, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, andefthim,