Γίνε μέλος στο grifoi.org

Στους γρίφους με τη σήμανση ".Άλυτοι 1-100" μπορούν να στέλνουν τις λύσεις τους μόνο τα Μέλη του site grifoi.org. Πληροφορίες για το πως θα γίνετε μέλος μπορείτε να διαβάσετε εδώ.

Σάββατο, 4 Ιουλίου 2015

Ανάλυσης - Κούφιος κύβος (*****)

Χρησιμοποιώντας 26 μοναδιαίους κύβους φτιάχνουμε έναν μεγάλο κύβο 3x3x3, αφήνοντας κενή τη θέση ενός μοναδιαίου κύβου στο κέντρο του. Η κενή θέση μπορεί να καλύπτεται ολισθαίνοντας οποιονδήποτε γειτονικό της κύβο, οπότε μένει πλέον κενή η αρχική θέση του μετακινούμενου κύβου και αυτό μπορεί να επαναλαμβάνεται όσες φορές θέλουμε. Είναι εφικτό, με μια διαδοχή τέτοιων μετακινήσεων και οι 26 κύβοι να βρεθούν τελικά σε θέσεις συμμετρικές προς τις αρχικές τους θέσεις ως προς το κέντρο της διάταξης; Αν ναι με ποιον τρόπο, αν όχι γιατί;

2 σχόλια:

pantsik είπε...

Τον γρίφο και τη λύση του έστειλε ο λύτης Θανάσης Παπαδημητρίου.

pantsik είπε...

Λύση:

Στην αρχική διάταξη έχουμε 26 κύβους που πρέπει να αλλάξουν μεταξύ τους θέση και έναν κενό κύβο στο κέντρο.
Αν δεν υπήρχε φυσικός περιορισμός στις μετακινήσεις των κύβων, τότε ο συντομότερος τρόπος για να επιτευχθεί το ζητούμενο θα ήταν μέσω 13 αντιμεταθέσεων των κύβων κάθε συμμετρικού ζευγαριού, διατηρώντας πάντοτε τον κενό κύβο στο κέντρο της διάταξης. Αφού το 13 είναι περιττός αριθμός, προκύπτει ότι η τελική διάταξη είναι μια περιττή μετάθεση της αρχικής. Δεν υπάρχει τρόπος να φτάσουμε στην τελική διάταξη με άρτιο αριθμό αντιμεταθέσεων οποιωνδήποτε κύβων.
Με τους περιορισμούς τώρα που θέτει το πρόβλημα, προκύπτει πως η κάθε επιτρεπτή κίνηση είναι μία αντιμετάθεση της εκάστοτε θέσης του κενού κύβου με τη θέση κάποιου άλλου κύβου. Αυτό όμως που δεν αλλάζει με οποιαδήποτε διαδοχή τέτοιων αντιμεταθέσεων είναι το γεγονός ότι θα απαιτούνταν περιττός αριθμός μετακινήσεων προκειμένου να έρθουν οι 26 κύβοι στις συμμετρικές τους θέσεις.
Στην τελική θέση ο κενός κύβος πρέπει να βρίσκεται επίσης στο κέντρο. Για να επιστρέψει όμως ο κενός κύβος στην κεντρική θέση σημαίνει πως απαιτείται κάποιος άρτιος αριθμός μετακινήσεων. Καταλήξαμε δηλαδή στην αντίφαση ότι απαιτείται ταυτόχρονα κάποιος περιττός και κάποιος άρτιος αριθμός μετακινήσεων για να προκύψει η τελική θέση, άρα το ζητούμενο είναι ανέφικτο.

Ένα σχετικό περιστατικό με τον γρίφο είναι το εξής: Τη δεκαετία του 1880, ο Sam Loyd έφτιαξε ένα παιχνίδι σαν αυτό που φαίνεται στο σχήμα και το διένειμε στο εμπόριο. Το ζητούμενο για τους επίδοξους λύτες ήταν, ολισθαίνοντας τα αριθμημένα τετράγωνα, να καταφέρουν να αντιμεταθέσουν τις θέσεις του 15 και του 14 έτσι ώστε όλοι οι αριθμοί να έρθουν στη σειρά τους. Όποιος το κατάφερνε πρώτος θα έπαιρνε ένα σημαντικό χρηματικό έπαθλο. Ο κόσμος ενθουσιάστηκε με το παιχνίδι, αλλά κανείς δεν κατάφερνε να το λύσει. Κάποιοι ισχυρίστηκαν πως το έλυσαν, αλλά όταν τους ζητήθηκε να καταγράψουν τη λύση τους και να τη στείλουν δεν μπορούσαν να θυμηθούν τις κινήσεις που είχαν κάνει! Φυσικά ο παμπόνηρος Sam ήξερε πως το ζητούμενο είναι αδύνατο.
Η απόδειξη είναι όμοια με αυτή του γρίφου: Χρειαζόμαστε 1 (περιττή) αντιμετάθεση μεταξύ των 15-14 για να πάμε από την αρχική θέση του παιχνιδιού στη θέση που κερδίζει το έπαθλο. Όμως η θέση του κενού τετραγώνου είναι και στις δύο διατάξεις η ίδια, οπότε απαιτούνται άρτιες μετακινήσεις του κενού τετραγώνου για να προκύψει η τελική διάταξη. Αυτή η αντίφαση οδηγεί στο συμπέρασμα πως το ζητούμενο είναι αδύνατο.
Σχήμα από την απάντηση της ιστοσελίδας μου