Γίνε μέλος στο grifoi.org

Στους γρίφους με τη σήμανση ".Άλυτοι 1-100" μπορούν να στέλνουν τις λύσεις τους μόνο τα Μέλη του site grifoi.org. Πληροφορίες για το πως θα γίνετε μέλος μπορείτε να διαβάσετε εδώ.

Δευτέρα, 1 Δεκεμβρίου 2014

Παράδοξα - Όλοι οι κύκλοι έχουν ίσες περιφέρειες (*)

γρίφος παράδοξο κύκλων
Στο σχήμα φαίνεται ένας δίσκος που έχει πάνω του χαραγμένους δύο κύκλους και απεικονίζεται στην αρχική και στην τελική του θέση μετά από μια πλήρη κύλισή του. Το σημείο Α του εξωτερικού κύκλου καταλήγει στο σημείο Β και το σημείο Γ του εσωτερικού κύκλου καταλήγει στο σημείο Δ. Αφού η περιστροφή είναι πλήρης, η απόσταση ΑΒ ισούται με την περιφέρεια του μεγάλου κύκλου και η απόσταση ΓΔ ισούται με την περιφέρεια του μικρού κύκλου. Όμως οι αποστάσεις ΑΒ και ΓΔ είναι προφανώς ίσες, οπότε οι δύο κύκλοι έχουν ίσες περιφέρειες.

5 σχόλια:

pantsik είπε...

Λύση:

Ο μεγάλος κύκλος μπορεί να θεωρηθεί πράγματι πως κυλάει οπότε η απόσταση ΑΒ ισούται με την περιφέρεια του μεγάλου κύκλου, αλλά ο μικρός κύκλος κυλάει και ολισθαίνει ταυτόχρονα οπότε η απόσταση ΓΔ είναι μεγαλύτερη από την περιφέρεια του μικρού κύκλου.

pantsik είπε...

Ευχαριστω Γιώργο για την επισήμανση. Απ' οτι είδα στο Βόλφραμ επιχειρείται μια μαθηματική εξήγηση που μένει μετέωρη. Προτιμώ τη φυσική εξήγηση του προβλήματος όπου φανταζόμαστε ότι οι δύο κύκλοι είναι χαραγμένοι σε μία ρόδα που κυλάει.

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Πάνο, δεν καταλαβαίνω υπό ποία έννοια μένει "μετέωρη" η εξήγηση του Βόλφραμ. Η "καρδιά" του παραδόξου (που απασχόλησε μεγάλα μυαλά όπως ο Γαλιλαίος και ο Ντεκάρτ)δεν είναι η μεταφορική και περιστροφική κίνηση,αλλά είναι ακριβώς η "ένα προς ένα" αντιστοίχηση σημείων ,που είναι υπαρκτότατη! μιας και ο κύκλος είναι μασίφ και οι γωνιακές ταχύτητες ίδιες, αλλά παρολαυτά ανήκουν σε άνισες περιφέρειες.
Τέλος πάντων, δεν θέλω να εμπλακώ σε άλλη μία διένεξη για τους πληθαρίθμους και τον ταλαίπωρο Κάντορ :-), δες πως αναλύει το θέμα και ο μέγας Γκάρντνερ εδώ(σελ.2-3):
http://www.cfrd.cl/~moises/DVD/05Bibliografia%20-%20Geometria%20Sagrada/Matematica%20Recreativa/Martin%20Gardner/Wheels,%20Life,%20and%20Other%20Mathematical%20Amusements%20(M.%20Gardner).pdf

pantsik είπε...

Μένει μετέωρη υπό την εξής έννοια: αναφέρεται πως η αντιστοίχιση 1-προς-1 των σημείων των δύο ευθύγραμμων τμημάτων δεν σημαίνει αναγκαστικά πως τα δύο τμήματα είναι ίσα, αλλά δεν αποκλείεται και να είναι. Δεν αποδεικνύεται δηλαδή πως τα δύο τμήματα είναι άνισα.

pantsik είπε...

Το άρθρο του Wolfram στο οποίο γίνεται μια μαθηματική αναφορά του παραδόξου βρίσκεται εδώ: http://mathworld.wolfram.com/AristotlesWheelParadox.html