Γίνε μέλος στο grifoi.org

Στους γρίφους με τη σήμανση ".Άλυτοι 1-100" μπορούν να στέλνουν τις λύσεις τους μόνο τα Μέλη του site grifoi.org. Πληροφορίες για το πως θα γίνετε μέλος μπορείτε να διαβάσετε εδώ.

Σάββατο, 1 Μαρτίου 2014

Πιθανοτήτων - Περισσότερες Κορώνες (***)

Ο Βασίλης έχει 30 νομίσματα και ο Γιώργος 31. Τα στρίβουν ταυτόχρονα.
Ποια είναι η πιθανότητα να φέρει ο Γιώργος περισσότερες Κορώνες από τον Βασίλη;

8 σχόλια:

pantsik είπε...

Τον γρίφο πρότεινε ο λύτης stratos, ο οποίος έστειλε και την παρακάτω λύση:

Ο Γιώργος έχει ένα νόμισμα παραπάνω από τον Βασίλη. Άρα θα φέρει είτε περισσότερες Κορώνες είτε περισσότερα Γράμματα (όχι όμως και τα δύο ταυτόχρονα, γιατί έχει μόνο ένα νόμισμα παραπάνω). Άρα, λόγω συμμετρίας, έχει 50% πιθανότητα να φέρει περισσότερες Κορώνες (και αντίστοιχα 50% πιθανότητα για περισσότερα Γράμματα).

pantsik είπε...

Η δική μου λύση έχει ως εξής:

Ας γενικεύσουμε θεωρώντας πως ο Βασίλης έχει ν νομίσματα και ο Γιώργος ν+1.
Για να περάσει σε Κορώνες αυτός με τα ν+1 νομίσματα αυτόν με τα ν, θα πρέπει είτε να τον περνάει ήδη στα ν, είτε να είναι ισοπαλία στα ν και στο ν+1 νόμισμα να φέρει Κορώνα με πιθανότητα 1/2.
Θα συμβολίσω αυτήν την πρόταση ως εξής:

P(μπροστά στα ν+1) = P(μπροστά στα ν) + P(ίσοι στα ν)*1/2

Για να μην περάσει σε Κορώνες αυτός με τα ν+1 νομίσματα αυτόν με τα ν, θα πρέπει είτε να είναι πίσω στα ν, είτε να είναι ισοπαλία στα ν και στο ν+1 νόμισμα να φέρει Γράμματα με πιθανότητα 1/2.
Θα συμβολίσω αυτήν την πρόταση ως εξής:

P(όχι μπροστά στα ν+1) = P(πίσω στα ν) + P(ίσοι στα ν)*1/2

Λόγω συμμετρίας έχουμε ότι: P(μπροστά στα ν) = P(πίσω στα ν)

Άρα μέχρι εδώ έχουμε ότι: P(μπροστά στα ν+1) = P(όχι μπροστά στα ν+1)

Επειδή όμως: P(μπροστά στα ν+1) + P(όχι μπροστά στα ν+1) = 1

προκύπτει τελικά πως:
P(μπροστά στα ν+1) = 1/2

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Πολύ ωραίο και απλό το επιχείρημα του Στράτου! Τόσο απλό, που για να είμαι ειλικρινής στην αρχή μού φάνηκε λάθος. Πείστηκα πως τα δύο γεγονότα (ο ένας να φέρει είτε περισ. κ ή περισοτ. γ) είναι συμπληρωματικά,μόνο όταν έκανα στο μυαλό μου την αναλογία με 1 και 2 νομίσματα.Εκεί είναι φανερό πως από τα 8 ενδεχόμενα των τριών ρίψεων, ο παίκτης με τα 2 νομίσματα φέρνει περισσοτ. κορώνες σε 4 περιπτώσεις, ενώ στις 3 από τις 4 που φέρνει περισσότ. γράμματα , και οι δύο έχουν τις ίδιες κορώνες.
Πάνο, επίτρεψέ μου και να γενικεύσω την ..γενίκευσή σου. :-)
Αν ο τυχαίος παίκτης i στρίψει νi νομίσματα και φέρει Κi κεφάλια, τότε το (Κ1-Κ2+ν2) ακολουθεί μια διωνυμική κατανομή με παραμέτρους:
Δοκιμές=ν1+ν2 ,και p=1/2
H πιθανότητα, ο παίκτης 1 να φέρει κ περισσότερες κορώνες από τον 2, είναι:
P(K1-K2=κ)=(1/2^(ν1+ν2))*C{(ν1+ν2),(κ+ν2)) (τον διωνυμ.συντελεστή ν1+ν2 "πάνω στο" κ+ν2 ) ,με -ν2<ίσον κ <ίσον1
Η κατανομή λοιπόν του Κ1-Κ2 +(ν1+ν2)/2 είναι συμμετρική ως προς το 0. Έτσι,στο πρόβλημά μας έχουμε:
ν1=31, ν2=30 και
P(Κ1 – Κ2 ≥ 1) = P(Κ1 – Κ2 ≤ 0)=1/2

pantsik είπε...

@RIZOPOULOS GEORGIOS: Ευχαριστώ Γιώργο για τη γενίκευση της γενίκευσης.

sf είπε...

εγω θα στείλω μια πολύ απλή κατα την γνώμη μου λύση. Εστω χ η πιθανότητα στις 30 ρίψεις να φέρει ο Γιώργος παραπάνω κορώνες, η ίδια πιθανότητα υπάρχει και για παραπάνω γράμματα λόγω συμμετριας, έστω ψ η πιθανότητα στις 30 ρίψεις να έχει ο Γίωργος ίσο αριθμο κορώνων με τον Βασίλη άρα 2χ+ψ=1 (1)
για την 31 ρίψη, αν στις 30 παραγματοποιείται το ψ τότε θα πρέπει να έρθει κορώνα δηλαδη πιθανότητα ψ/2, σε αυτή πρόθέτουμε γενικά την πιθανότητα ο Γίωργος να είχε εξαρχής φέρει στις 30 ρίψεις παραπάνω κορώνες, συνεπως το ζητούμενο πραγματοποιείται με πιθανότητα χ+ψ/2=1/2 (διαίρεση της σχέσης 1 με το 2)

pantsik είπε...

@sf: Πολύ ωραία η λύση που σκέφτηκες.

kontoleon είπε...

Πφφ τελικά έχεις δίκιο...


Εκανα ανάλυση στο excel. Η πιθανότητα ΝΙΚΗΣ =50% μπορεί η συχνότητα νίκης με ήττας να παίζει, αλλά η πιθ =50%... Στα 3 κερματα 4(απο 8)(3x 1 ήττα) στα 5 κέρματα(16/32)...(10χ, 6 ήττες)

Στα 61 ακολουθεί EXCEL!
Νικη 50% Χ=10,1% Ήττα 39,9%

Παντως η αμφιβολία με έβαλε να χτρησημοποιήσω excel!

pantsik είπε...

@kontoleon: Το Excel είναι ο υπέρτατος κριτής!