Γίνε μέλος στο grifoi.org

Στους γρίφους με τη σήμανση ".Άλυτοι 1-100" μπορούν να στέλνουν τις λύσεις τους μόνο τα Μέλη του site grifoi.org. Πληροφορίες για το πως θα γίνετε μέλος μπορείτε να διαβάσετε εδώ.

Σάββατο, 1 Φεβρουαρίου 2014

Παράδοξα - Όλα τα άλογα έχουν το ίδιο χρώμα (***)

Θα αποδείξουμε πως η παρακάτω πρόταση ισχύει για κάθε $ν$ με τη διαδικασία της Επαγωγής:

Πρόταση: $ν$ άλογα έχουν πάντοτε το ίδιο χρώμα.

1) Επαληθεύουμε την Πρόταση για $ν=1$. Πράγματι, ένα άλογο έχει πάντοτε το ίδιο χρώμα με τον εαυτό του.

2) Υποθέτουμε ότι η πρόταση ισχύει για $ν$ άλογα.

3) Θα αποδείξουμε πως η πρόταση ισχύει για $ν+1$ άλογα:
Έστω πως έχουμε μια ομάδα $ν+1$ αλόγων. Ονομάζουμε το πρώτο άλογο της ομάδας $Π$ και το τελευταίο άλογο της ομάδας $Τ$.
Αφαιρούμε το άλογο $Π$ από την ομάδα και αυτά που μένουν είναι $ν$ στον αριθμό. Άρα από την υπόθεση που κάναμε στο βήμα 2, πρέπει να έχουν όλα το ίδιο χρώμα. Οπότε το άλογο $Τ$ έχει το ίδιο χρώμα με τα υπόλοιπα.
Βάζουμε το άλογο $Π$ στη θέση του και αφαιρούμε το άλογο $Τ$ από την ομάδα. Μένουν πάλι $ν$ άλογα που έχουν όλα το ίδιο χρώμα. Οπότε το άλογο $Π$ έχει το ίδιο χρώμα με τα υπόλοιπα.
Αφού τόσο το άλογο $Τ$ όσο και το άλογο $Π$ έχουν το ίδιο χρώμα με τα υπόλοιπα, πρέπει να έχουν το ίδιο χρώμα και μεταξύ τους.
Άρα και τα $ν+1$ άλογα έχουν όλα το ίδιο χρώμα.

Αποδείξαμε με τη διαδικασία της Επαγωγής πως όλα τα άλογα έχουν το ίδιο χρώμα. Που βρίσκεται το λάθος στον παραπάνω συλλογισμό;

4 σχόλια:

pantsik είπε...

Λύση:

Στην απόδειξη που παρουσιάστηκε και στο σημείο που αναφερθήκαμε στα ν+1 άλογα, χρειάζεται να υπάρχουν τουλάχιστον 3 άλογα προκειμένου το επιχείρημα να ευσταθεί. Αυτά είναι το Π, το Τ και ένα τουλάχιστον ενδιάμεσο άλογο που παίζει το ρόλο του συνδετικού κρίκου μεταξύ του Π και του Τ.
Όμως για ν=1, το ν+1 αναφέρεται σε 2 μόνο άλογα για τα οποία το επιχείρημα δεν μπορεί να εφαρμοστεί. Άρα η επαγωγική αλυσίδα σπάει στη μετάβαση από το ν=1 προς το ν=2.
Αν από την άλλη δοκιμάσουμε να εξαιρέσουμε το ν=1 από τα πλήθη αλόγων για τα οποία η πρόταση είναι αληθής, τότε θα πρέπει να δείξουμε στο βήμα 1 πως η πρόταση είναι αληθής για το μικρότερο δυνατό ν, δηλαδή για ν=2. Όμως καμία τέτοια απόδειξη δεν υπάρχει, αφού 2 άλογα μπορεί πράγματι να έχουν διαφορετικά χρώματα.

papadim είπε...

Για τη συζήτηση και μόνο, θα ήθελα να παραθέσω μια εναλλακτική προσέγγιση στην καθ’ όλα έγκυρη εξήγηση του Πάνου.
Ο τρόπος που γίνεται η χρήση της επαγωγής για την ‘απόδειξη’ τού ότι όλα τα άλογα έχουν το ίδιο χρώμα περιέχει το εξής σφάλμα μαθηματικής λογικής:
Η μετάβαση από τα ν>2 στα ν+1 άλογα χρησιμοποιεί, και σωστά, τη μεταβατική ιδιότητα της ‘ισοχρωμίας’ (α=β και β=γ ==> α=β=γ). Η μετάβαση όμως από το 1 στα 2 άλογα, μη έχοντας ενδιάμεσο μέλος β για σύγκριση, δεν μπορεί να κάνει χρήση της μεταβατικής ιδιότητας και στη θέση της κάνει πονηρή (και άκυρη φυσικά) χρήση ενός (ανύπαρκτου) είδους υβριδίου ανακλαστικής – μεταβατικής ιδιότητας, του τύπου α=α και γ=γ ==> α=γ, πράγμα που φυσικά καθόλου δεν συνεπάγεται.
Ως προς την τελευταία πρόταση του Πάνου, ότι δηλαδή «2 άλογα μπορεί πράγματι να έχουν διαφορετικά χρώματα», θα έλεγα ότι αυτό πράγματι προκύπτει από την εμπειρία, αλλά αν το επικαλούμαστε ως στοιχείο της απόδειξης, γιατί άραγε να μην επικαλούμαστε εξ αρχής την ίδια εμπειρία για να πούμε ότι και «3 ή 5 ή οσαδήποτε άλογα μπορεί πράγματι να έχουν διαφορετικά χρώματα»;
Αυτό που θέλω να πω είναι ότι με την αποκάλυψη του επαγωγικού σφάλματος ακυρώνεται απλά η εγγυημένη βεβαιότητά μας για το συμπέρασμα (όλα τα άλογα έχουν το ίδιο χρώμα). Αυτό όμως δεν αρκεί για να το απορρίψουμε κιόλας. Σ’ αυτό χρειαζόμαστε πλέον την εμπειρία.

pantsik είπε...

Θανάση, συμφωνώ με όσα γράφεις. Το σχόλιό μου ότι δύο άλογα μπορεί να έχουν διαφορετικό χρώμα βρίσκεται έξω από το σώμα της ψευτοαπόδειξης οπότε δεν αποτελεί μέρος της. Δεν αποτελεί όμως ούτε και στοιχείο κατάρριψης της ψευτοαπόδειξης. Είναι μόνο μια προειδοποίηση για όποιον επιχειρήσει να χρησιμοποιήσει αυτήν την απόδειξη αρχίζοντας από ν=2 ότι δεν θα καταφέρει να αποδείξει το βήμα 1, δηλαδή πως 2 άλογα έχουν πάντα το ίδιο χρώμα.
Έτσι τελικά δείχνουμε πως η απόδειξη ότι όλα τα άλογα έχουν το ίδιο χρώμα δεν είναι σωστή, χωρίς αυτό να σημαίνει πως αποδείξαμε ότι όλα τα άλογα δεν έχουν το ίδιο χρώμα. Κάτι τέτοιο βέβαια είναι εύκολο να αποδειχτεί κάνοντας μια βόλτα στον ιππόδρομο.

papadim είπε...

Ακριβώς Πάνο και το έδωσες πολύ παραστατικά! Με εντοπισμένο τον αδύναμο κρίκο της επαγωγικής αλυσίδας στη μετάβαση από το 1 στα 2 άλογα, αν κανείς επιχειρούσε να τον παρακάμψει ξεκινώντας από τα 2 άλογα, θα έπρεπε να κάνει και τη βόλτα στον ιππόδρομο, εγκαταλείποντας την ασφάλεια των μαθηματικών και της καθαρής λογικής και εκτιθέμενος στις ‘πλάνες’ των αισθήσεων και της εμπειρίας (και στους πειρασμούς τους :-)).