Γίνε μέλος στο grifoi.org

Στους γρίφους με τη σήμανση ".Άλυτοι 1-100" μπορούν να στέλνουν τις λύσεις τους μόνο τα Μέλη του site grifoi.org. Πληροφορίες για το πως θα γίνετε μέλος μπορείτε να διαβάσετε εδώ.

Σάββατο, 5 Οκτωβρίου 2013

Παράδοξα - Το παράδοξο του μπογιατζή (***)

γρίφος παράδοξο μπογιατζή
Στο Σχήμα 1 βλέπουμε μια επίπεδη επιφάνεια, χωρισμένη σε τμήματα. Το πρώτο τμήμα είναι τετράγωνο πλευράς $1\,εκ.$ Από το δεύτερο τμήμα και μετά, το κάθε νέο τμήμα έχει το διπλάσιο ύψος και το μισό πλάτος του προηγούμενου. Έτσι το εμβαδόν του κάθε τμήματος είναι πάντοτε $1\,εκ.^2$. Τα τμήματα αυτά είναι άπειρα σε πλήθος, οπότε το συνολικό τους εμβαδό είναι:
$E = 1\,εκ.^2 + 1\,εκ.^2 + 1\,εκ.^2 +\ldots$ , δηλαδή άπειρο.
Ένας μπογιατζής σκέφτεται πως αν ήθελε να βάψει αυτή την επιφάνεια θα χρειαζόταν άπειρη ποσότητα χρώματος.
Περιστρέφουμε τώρα την επιφάνεια γύρω από την ημιευθεία που βρίσκεται στο δεξιό σύνορο του Σχήματος 1 μέχρι να σχηματιστεί ένας πλήρης κύκλος. Προκύπτει έτσι το στερεό του Σχήματος 2 που αποτελείται από άπειρο πλήθος κυλίνδρων.
Ο όγκος ενός κυλίνδρου ακτίνας $r$ και ύψους $h$, δίνεται από τον τύπο: $V=πr^2h$.
O $ν\,$–οστός κύλινδρος του Σχήματος 2 μετρώντας από επάνω έχει ακτίνα $r=1/2^{ν-1}\,εκ.$ και ύψος $h=2^{ν-1}\,εκ.$ Άρα ο όγκος του $ν\,$–οστού κυλίνδρου είναι $V_ν=π/2^{ν-1}\,εκ.^3$.
Ο συνολικός όγκος του στερεού του σχήματος 2 είναι:
$$V=π\,(1+1/2+1/2^2+1/2^3+\ldots)\,εκ.^3$$ Μέσα στην παρένθεση του πιο πάνω τύπου έχουμε ένα γνωστό άθροισμα μιας γεωμετρική προόδου απείρων όρων, το οποίο συγκλίνει στην τιμή $2$. Άρα ο συνολικός όγκος του Σχήματος 2 είναι:
$$V=2π\,εκ.^3$$ Ας φανταστούμε τώρα ότι το στερεό του Σχήματος 2 είναι μέσα κούφιο, σχηματίζοντας ένα δοχείο. Για να το γεμίσει ο μπογιατζής θα χρειαζόταν χρώμα όγκου $2π\,εκ.^3$. Στη συνέχεια σκέφτεται πως εάν βουτούσε το επίπεδο του Σχήματος 1 μέσα στο δοχείο με το χρώμα, τότε θα το έβγαζε βαμμένο και μάλιστα και από τις δύο πλευρές.
Οδηγείται λοιπόν σε δύο αντιφατικά συμπεράσματα: το πρώτο είναι ότι το επίπεδο χρειάζεται άπειρη ποσότητα χρώματος για να βαφτεί και το δεύτερο είναι ότι αρκούν $6,28\,εκ.^3$ χρώματος περίπου. Σε ποιο σημείο του συλλογισμού του μπογιατζή βρίσκεται το λάθος;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
RIZOPOULOS GEORGIOS, percival, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, stratos, batman1986, Θανάσης Παπαδημητρίου, Σωτήρης, saxon, BOMBER, alexpsomi, sotrixios, nerd, Kensh1n, Michalis, sf, Kordas Antonis, swt, Νεφέλη, daskalos1971, Steli0s1, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, kraptaki

35 σχόλια:

pantsik είπε...

@Cardani mediolanensis: Πολύ καλή η ανάλυσή σου! Σε ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια. Ισχύει το ίδιο και για εσένα.

pantsik είπε...

@percival: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

pantsik είπε...

@ΕΑΛΕΞΙΟΥ: Πολύ καλή η εξήγησή σου. Συγχαρητήρια!

pantsik είπε...

@stratos: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

pantsik είπε...

@batman1986: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

pantsik είπε...

@Θανάσης Παπαδημητρίου: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

pantsik είπε...

@Σωτήρης: Έπεσες πολύ μέσα. Μπράβο!

pantsik είπε...

@DepyAl: Δεν κατάλαβα την εξήγησή σου. Ποια επιφάνεια αυξάνεται;

pantsik είπε...

@saxon: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

pantsik είπε...

@Ανώνυμος στο Γρίφοι τη 20 Οκτωβρίου, 2013 04:45: Δεν είναι αυτός ο λόγος. Θα μπορούσε π.χ. το άνοιγμα του δοχείου να ήταν στο πλάι του.

pantsik είπε...

@Ανώνυμος στο Γρίφοι τη 20 Οκτωβρίου, 2013 16:43: Κατά την άλλη του διάσταση βυθίζεται μόνο κατά 1 εκατοστό. Καλύτερα όπως λες να σκεφτείς κάτι άλλο.

pantsik είπε...

@BOMBER: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

pantsik είπε...

@nerd: Έχεις εντοπίσει σωστά την πηγή του παραδόξου, αλλά το λάθος στον συλλογισμό του μπογιατζή δεν βρίσκεται στο σημείο που αναφέρεις.

pantsik είπε...

@alexpsomi: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

pantsik είπε...

@nerd: Εξακολουθείς να είσαι κοντά, αλλά δεν έχεις δώσει μια ξεκάθαρη απάντηση για τον τρόπο που λύνεται το παράδοξο.

pantsik είπε...

@sotrixios: Όχι, το έχει υπολογίσει. Είναι σωστό αυτό το σημείο.

pantsik είπε...

@sotrixios: Το ύψος h το αντικαταστήσαμε με την τιμή 2^(ν-1) όπου ν είναι ο αριθμός του κυλίνδρου. Όταν προσθέτουμε όλους τους κυλίνδρους αυτά τα αθροίσματα γίνονται: 1/2^0 + 1/2^1 + ... όπως δείχνει ο τύπος. Το π βγαίνει κοινός παράγοντας.
ΥΓ. Παρόλο που σταμάτησες τις σπουδές σου νωρίς, είναι ξεκάθαρο πως έχεις σημαντικές δυνατότητες.

pantsik είπε...

@sotrixios: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

pantsik είπε...

@nerd: Αυτή είναι μια σωστή απάντηση. Δεν συμφωνώ με το τελευταίο σου σχόλιο, αλλά γνώμες είναι αυτές.

pantsik είπε...

@nerd: Όχι απαραίτητα πιο μαθηματικές, αλλά διαφορετικές. Ισχύει το β.

pantsik είπε...

@Ανώνυμος στο Γρίφοι τη 04 Δεκεμβρίου, 2013 05:20: Καλά τα λες.

pantsik είπε...

@Kensh1n: Σωστές είναι οι σκέψεις σου. Μπράβο.

pantsik είπε...

@Michalis: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

pantsik είπε...

@sf: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

pantsik είπε...

@Kordas Antonis: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

pantsik είπε...

@swt: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

pantsik είπε...

@sciamano caotico: Δεν ήταν σωστή η απάντησή σου. Το σημείο που αναφέρεις είναι σωστό.

pantsik είπε...

@Νεφέλη: Συμφωνώ απόλυτα με την ανάλυση που έκανες, ειδικά στο σημείο που γράφεις "ποτέ δεν παίζουμε με πράγματα που δεν γνωρίζουμε καλά".
Σε ευχαριστώ και για τα καλά σου λόγια. Στείλε μου ένα email για να συζητήσουμε τα υπόλοιπα θέματα που θίγεις.

pantsik είπε...

@daskalos1971: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

pantsik είπε...

@Steli0s1: Κάτι πας να πεις, αλλά έτσι όπως το θέτεις δεν συμφωνώ μαζί σου. Πρέπει να το ταιριάξεις καλύτερα με το πρόβλημα όπως παρουσιάζεται.

pantsik είπε...

@Steli0s1: Έτσι όπως το πάντρεψες τώρα, το δέχομαι σωστό.

pantsik είπε...

@geo: Θα πρέπει να γίνεις μέλος για να συνεχίσεις να στέλνεις λύσεις στους άλυτους γρίφους 1-100. Διάβασε σχετικές οδηγίες. Ευχαριστώ.

pantsik είπε...

@ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

pantsik είπε...

@ακης21: Δεν είναι σωστό.

pantsik είπε...

@kraptaki: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.