Γίνε μέλος στο grifoi.org

Στους γρίφους με τη σήμανση ".Άλυτοι 1-100" μπορούν να στέλνουν τις λύσεις τους μόνο τα Μέλη του site grifoi.org. Πληροφορίες για το πως θα γίνετε μέλος μπορείτε να διαβάσετε εδώ.

Πέμπτη, 1 Αυγούστου 2013

Παράδοξα - Το παράδοξο της Ωραίας Κοιμωμένης (*****)

Η Ωραία Κοιμωμένη δέχτηκε να συμμετάσχει στο παρακάτω πείραμα:
Την Κυριακή θα πάρει μία δόση υπνωτικού και θα πέσει για ύπνο. Ενώ κοιμάται, ένας ερευνητής θα στρίψει ένα νόμισμα.
Αν το νόμισμα έρθει Κορώνα, θα ξυπνήσει την Κοιμωμένη τη Δευτέρα και θα της κάνει την ερώτηση: «ποια είναι η πιθανότητα το νόμισμα που έστριψα να έφερε Κορώνα;». Η Κοιμωμένη θα δώσει την απάντησή της και το πείραμα θα τελειώσει.
Αν το νόμισμα έρθει Γράμματα, θα ξυπνήσει πάλι την Κοιμωμένη τη Δευτέρα και θα της κάνει την ίδια ερώτηση. Η Κοιμωμένη θα απαντήσει, αλλά στη συνέχεια θα της χορηγήσει άλλη μια δόση του υπνωτικού που θα την κοιμίσει μέχρι την Τρίτη. Τότε θα την ξυπνήσει πάλι και θα της επαναλάβει για δεύτερη φορά την ίδια ερώτηση. Η Κοιμωμένη θα απαντήσει και το πείραμα θα τελειώσει.
Η Κοιμωμένη γνωρίζει ακριβώς τους όρους του πειράματος, αλλά σε κανένα ξύπνημά της δεν γνωρίζει τι μέρα είναι, ούτε θυμάται αν έχει ξυπνήσει ξανά.
Ποια είναι η σωστή απάντηση που πρέπει να δώσει μόλις ξυπνήσει;

Το πρόβλημα έχει διχάσει τις γνώμες έμπειρων γριφολυτών, μαθηματικών και φιλοσόφων. Υπάρχουν τρεις διαφορετικές σχολές σκέψης: Οι halfers, που υποστηρίζουν πως η πιθανότητα είναι 1/2, οι thirders που υποστηρίζουν πως η πιθανότητα είναι 1/3 και οι ουδέτεροι που υποστηρίζουν πως το πρόβλημα δεν έχει ξεκάθαρη λύση γιατί δεν ορίζεται επαρκώς. Αυτός είναι ο λόγος που έχει χαρακτηριστεί παράδοξο, ενώ η διαμάχη των halfers με τους thirders συνεχίζεται μέχρι και σήμερα.

8 σχόλια:

pantsik είπε...

Τον γρίφο πρότεινε ο λύτης stratos.

pantsik είπε...

Ας δούμε τα επιχειρήματα που υποστηρίζουν τις απόψεις των τριών σχολών σκέψης:

Οι halfers θεωρούν πως το γεγονός ότι η Κοιμωμένη γίνεται μέρος του πειράματος και της ζητείται να εκτιμήσει την πιθανότητα ξυπνώντας μία άγνωστη σε αυτήν ημέρα, δεν αλλάζει τον αρχικό υπολογισμό της πριν πέσει για ύπνο, γιατί ξυπνώντας δεν παίρνει καμία νέα πληροφορία που δεν ήξερε ήδη πριν κοιμηθεί. Μπορεί μεν η Κοιμωμένη να ξυπνήσει είτε μία είτε δύο φορές, αλλά το νόμισμα ρίχνεται μόνο μία φορά. Έτσι η ζητούμενη πιθανότητα ταυτίζεται με την πιθανότητα να φέρει ένα νόμισμα Κορώνα και γι’ αυτό απαντούν στην ερώτηση με 1/2.

Οι thirders θεωρούν πως το γεγονός ότι η κοιμωμένη γίνεται μέρος του πειράματος και της ζητείται να εκτιμήσει την πιθανότητα ξυπνώντας μία άγνωστη σε αυτήν ημέρα, την υποχρεώνει να κάνει την εκτίμησή της με βάση το συγκεκριμένο ξύπνημά της. Θα ξυπνήσει μόνο μία φορά εάν το νόμισμα έφερε Κορώνα, ενώ θα ξυπνήσει δύο φορές εάν το νόμισμα έφερε Γράμματα. Άρα δύο στις τρεις φορές που θα της γίνει η ερώτηση το νόμισμα θα έχει φέρει Γράμματα. Έτσι, απαντούν στην ερώτηση για Κορώνα με 1/3.

Η ουδέτερη άποψη, η οποία ταυτίζεται με τη δική μου, έχει ως εξής:
Το διαφορετικό αποτέλεσμα στο οποίο καταλήγουν οι halfers και οι thirders οφείλεται στον ασαφή καθορισμό του τρόπου με τον οποίο πρέπει να εκτιμηθεί η ζητούμενη πιθανότητα.
Αν αντί της ερώτησης που τέθηκε στην Κοιμωμένη, ο ερευνητής ζητούσε συγκεκριμένα τη συχνότητα των Κορωνών προς τις συνολικές ρίψεις του νομίσματος σε πολλές επαναλήψεις του πειράματος, τότε οι thirders θα συμφωνούσαν με τους halfers πως η απάντηση είναι 1/2.
Αν αντί της ερώτησης που τέθηκε στην Κοιμωμένη, ο ερευνητής ζητούσε συγκεκριμένα τη συχνότητα των ξυπνημάτων ή ερωτημάτων από Κορώνα προς τον συνολικό αριθμό ξυπνημάτων ή ερωτημάτων σε πολλές επαναλήψεις του πειράματος, τότε οι halfers θα συμφωνούσαν με τους thirders πως η απάντηση είναι 1/3.
Οι thirders επίσης θα συμφωνούσαν με τους halfers πως η ζητούμενη πιθανότητα είναι 1/2 στην περίπτωση που η ερώτηση γινόταν πριν αρχίσει ή αφού τελειώσει το πείραμα, γιατί σε αυτήν την περίπτωση το εκάστοτε μελλοντικό ή παρελθοντικό ξύπνημα της κοιμωμένης δεν φαίνεται να συνδέεται με την ερώτηση που της γίνεται.
Σε κάθε περίπτωση, τόσο η θέση των halfers όσο και η θέση των thirders είναι μαθηματικά συνεπείς, υπό τις δικές της προϋποθέσεις η κάθε μία.

Vagelis Gantzias είπε...

Πιστεύω πως ο γρίφος θα έπρεπε να χαρακτηριστεί αόριστος αντί παράδοξος.
Διότι:
-Η ερώτηση που καλείται να απαντήσει κάποιος δεν έχει να κάνει με την πλοκή του γρίφου. Το τι απάντηση θα δώσει η Κοιμωμένη δεν επηρεάζει το αν θα της δωθεί η δόση ή όχι. Αυτό που παίζει ρόλο είναι το αν θα φέρει Κορώνα ή Γράμματα. Συμπέρασμα: δεν υπάρχει σωστή ή λάθος απάντηση για την Κοιμωμένη που να επηρεάζει την εξέλιξη του πειράματος.
-Το πλήθος των επαναλήψεων του πειράματος είναι άγνωστο. Αν πραγματοποιηθεί 1 ή/και 2 φορές τότε δίκιο έχουν οι halfers. Αλλιώς για κάθε μία επιπλέον δοκιμή το δίκιο θα γέρνει όλο και περισσότερο προς τους thirders (λόγω συνολικού αριθμού κλπ.)
-Αδιευκρίνιστο επίσης είναι το αν η απάντηση που θα δώσει η Κοιμωμένη θα είναι η ίδια είτε έρθει Κορώνα είτε Γράμματα.-
-Αδιευκρίνιστο επίσης είναι το ότι η ερώτηση δεν μας λέει για πια από τις 2 φορές που θα απαντήσει η κοιμωμένη (σε περίπτωση που έρθει Γράμματα) θέλει να βρούμε την σωστή ερώτηση.


Πάντως το "λογικό" είναι ότι: το πείραμα θα γίνει 1 φορά.
Θα ρίξει το κέρμα και
-αν έρθει κορώνα, θα απαντήσει η κοιμωμένη και το πείραμα τέλος
-αν έρθει γράμματα, θα απαντήσει η κοιμωμένη, θα την ξανακοιμήσουν, θα την ξαναρωτήσουν 2η φορά και το πείραμα τέλος.
Συνεπώς είτε γράμματα είτε κορώνα, το πλήθος των δοκιμών θα είναι το πολύ 2. (Το κείμενο του γρίφου δεν αναφέρει ότι μετά την 2η φορά θα ξαναρίξει το κέρμα αλλά ότι απλά θα την ρωτήσει.)

Άποψη μου είναι ότι λογικά έχουν δίκιο οι halfers αλλά γενικά ο γρίφος είναι αόριστος (όχι παράδοξος).

pantsik είπε...

@Vagelis Gantzias: Πράγματι η απάντηση της Κοιμωμένης δεν επηρεάζει την εξέλιξη του πειράματος. Το πείραμα εκτελείται μόνο μία φορά και το πλήθος των ξυπνημάτων της Κοιμωμένης μπορεί να είναι μόνο 1 ή 2. Για τα άλλα δύο αδιευκρίνιστα σημεία που αναφέρεις έχω να παρατηρήσω τα εξής: Το αποτέλεσμα της ρίψης του νομίσματος είναι άγνωστο σε αυτήν, οπότε δεν μπορεί να επηρεάσει την απάντησή της και η Κοιμωμένη πρέπει να δώσει την σωστή πιθανότητα ανεξάρτητα αν η ερώτηση γίνεται τη Δευτέρα ή την Τρίτη αφού η ίδια δεν γνωρίζει τι μέρα είναι. Το παράδοξο του γρίφου είναι ότι υπάρχουν έμπειροι λύτες που υποστηρίζουν διαφορετικά αποτελέσματα ενώ δεν θεωρούν πως το πρόβλημα είναι αόριστο.

Ανώνυμος είπε...

Η σωστή απάντηση είναι 1/2. Η Ωραία Κοιμωμένη πρέπει από πριν να έχει σκεφτεί το πρόβλημα και απλά να θυμάται τη σωστή απάντηση. Η Ωραία μας ξέρει ότι όταν ρίχνουμε ένα νόμισμα υπάρχει πιθανότητα 50% να έρθει κορώνα. Ξέρει όμως ότι δε θα ξέρει σε ποιό ξύπνημα θα βρίσκεται όταν θα ερωτηθεί. Υπάρχει 50% το αποτέλεσμα να είναι κορώνα, οπότε και 50% να βρίσκεται στο πρώτο και μοναδικό ξύπνημα μετά από κορώνα. Υπάρχει άλλο ένα 50% το αποτέλεσμα να είναι γράμματα. Σε αυτήν την περίπτωση οι πιθανότητες να βρίσκεται στο πρώτο ή στο δεύτερο ξύπνημα είναι 25% για κάθε υποπερίπτωση. Η απάντηση 1/3 είναι λανθασμένη. Αυτό φαίνεται και από το εξής: Αν ήταν λίγο διαφορετικό το πείραμα και στην περίπτωση των γραμμάτων κοίμιζαν και ρωτούσαν την Ωραία Κοιμωμένη κάθε μέρα επί 100 ημέρες, η πιθανότητα κορώνας θα ήταν 1/101? Βεβαίως και αυτός ο συλλογισμός είναι λανθασμένος. Η πιθανότητα να βρίσκεται σε κάθε ξύπνημα (της σειράς της κορώνας) θα ήταν 0,5% και συνολικά 50%.

pantsik είπε...

@Ανώνυμος: Ας πάρουμε το ακραίο παράδειγμα που έθεσες όπου αν το νόμισμα φέρει Κορώνα ξυπνάει 1 φορά και αν φέρει Γράμματα ξυπνάει 100 φορές. Αλλάζω λίγο την ερώτηση για να κλονίσω τη σιγουριά σου ότι η πιθανότητα είναι 50%: Έστω ότι η ερώτηση που της γινόταν μόλις ξυπνήσει είναι: "νομίζεις ότι το νόμισμα έφερε Κορώνα ή Γράμματα;". Έστω ότι το πείραμα επαναλήφθηκε δύο φορές και την πρώτη φορά το νόμισμα έφερε Κορώνα και τη δεύτερη Γράμματα (όπως αναμένεται). Αυτό σημαίνει ότι η Κοιμωμένη θα ερωτηθεί συνολικά 101 φορές για την έκβαση του νομίσματος. Αν η Κοιμωμένη έχει αποφασίσει να απαντήσει "Κορώνα" μόλις ξυπνήσει, τότε θα έχει δίκιο μόνο 1 στις 101 φορές που θα της γίνει η ερώτηση και θα έχει άδικο τις 100 από τις 101 φορές. Έτσι αν ο στόχος της ήταν να δώσει τη σωστή απάντηση στην ερώτηση που της έγινε τότε είναι 100 φορές πιο πιθανό να βρει τη σωστή έκβαση του νομίσματος αν απαντήσει Γράμματα από το αν απαντήσει Κορώνα.

piter77 είπε...

@pantsik: Όπως διατυπώθηκε το πρόβλημα είναι προφανές ότι ο στόχος της είναι να εκτιμήσει την πιθανότητα να έρθει Κορώνα και όχι να μεγιστοποιήσει την πιθανότητα να μαντέψει σωστά. Ελπίζω να το καταλαβαίνεις αυτό. Διαφορετική ερώτηση σημαίνει διαφορετικό πρόβλημα, και σημαίνει διαφορετική απάντηση. Πάντως, απ'ότι έχω καταλάβει, αυτός είναι ο κύριος λόγος που κάποιοι μπερδεύονται και νομίζουν ότι η πιθανότητα είναι 1/3.

pantsik είπε...

@piter77: Κατά τη γνώμη μου, δεν είναι σαφές αν πρέπει να απαντήσει ποια είναι η πιθανότητα ένα νόμισμα να φέρει Κορώνα (1/2) ή να δώσει τη σωστή απάντηση που αντιστοιχεί στο συγκεκριμένο ξύπνημά της (1/3).