Γίνε μέλος στο grifoi.org

Στους γρίφους με τη σήμανση ".Άλυτοι 1-100" μπορούν να στέλνουν τις λύσεις τους μόνο τα Μέλη του site grifoi.org. Πληροφορίες για το πως θα γίνετε μέλος μπορείτε να διαβάσετε εδώ.

Παρασκευή, 3 Μαΐου 2013

Υπολογισμού - Διπλός τριψήφιος (**)

Σκεφτείτε έναν τριψήφιο αριθμό. Γράψτε στο κομπιουτεράκι σας αυτόν τον αριθμό δύο συνεχόμενες φορές. Π.χ. αν σκεφτήκατε τον αριθμό 123 γράψτε 123123. Διαιρέστε τον αριθμό που έχετε στην οθόνη σας με το 7. Θα παρατηρήσετε πως η διαίρεση είναι τέλεια, δηλαδή δεν προκύπτουν δεκαδικά ψηφία. Διαιρέστε τον νέο αριθμό που έχετε στην οθόνη σας με το 11. Πάλι η διαίρεση είναι τέλεια. Διαιρέστε τον νέο αριθμό με το 13. Και πάλι η διαίρεση είναι τέλεια και μάλιστα τώρα έχετε καταλήξει στον αρχικό σας αριθμό.
Μπορείτε να αποδείξετε ότι όλα τα παραπάνω ισχύουν για οποιονδήποτε τριψήφιο αριθμό;

4 σχόλια:

pantsik είπε...

Λύση:

Αν συμβολίσουμε με x,y,z τα τρία ψηφία του αρχικού τριψήφιου αριθμού, τότε η αλγεβρική μορφή του αριθμού που προκύπτει αν γράψουμε τον αριθμό δύο συνεχόμενες φορές είναι η
x*100.000 + y*10.000 + z*1.000 + x*100 + y*10 + z
Ομαδοποιούμε τους όρους σε ζευγάρια και γίνεται:
x*100.100 + y*10.010 + z*1.001
Βγάζουμε κοινό παράγοντα το 1.001 και καταλήγουμε στην έκφραση:
1.001 * (x*100 + y*10 + z)       (1)
Τώρα η διαίρεση αυτού του αριθμού διαδοχικά με τους 7, 11 και 13 είναι ισοδύναμη με τη διαίρεσή του με το γινόμενο 7*11*13 = 1.001
Παρατηρούμε ότι ο αριθμός της έκφρασης (1) διαιρείται ακριβώς με το 1.001, άρα και με τους παράγοντες 7, 11 και 13 που τον αποτελούν. Κάνοντας τη διαίρεση του αριθμού της έκφρασης (1) με το 1.001 παίρνουμε σαν αποτέλεσμα τον αριθμό
x*100 + y*10 + z
που είναι ο αρχικός μας αριθμός.

Cube8 είπε...

Δεν ήταν απαραίτητος ο διαχωρισμός των ψηφίων σε x,y,z. Η λύση μπορεί να αποδοθεί με το εξής σκεπτικό:

Έστω x ο 3ψήφιος αριθμός. Εφ'όσον θέλουμε να προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό στο τέλος, ο αριθμός που θα προκύψει θα είναι 1000*x + x = 1001*x. Πολλαπλασιάζουμε με 1000, αφού ο αριθμός είναι 3ψήφιος...

Από αυτό το σημείο και κάτω αναφέρουμε τη διαδοχική διαίρεση με τα 7, 11 και 13.

pantsik είπε...

@Cube8: Πολύ σωστά!

Ανώνυμος είπε...

η αλλιως:
{{[(χ 1000 + χ)/7]}/11}/13
{[(χ(1001)/7 ]/11}/13
{[χ(143)/11]}13
[χ(13)]/13
χ 1