Γίνε μέλος στο grifoi.org

Στους γρίφους με τη σήμανση ".Άλυτοι 1-100" μπορούν να στέλνουν τις λύσεις τους μόνο τα Μέλη του site grifoi.org. Πληροφορίες για το πως θα γίνετε μέλος μπορείτε να διαβάσετε εδώ.

Σάββατο, 24 Σεπτεμβρίου 2011

Παράδοξα - Όλα τα τρίγωνα είναι ισοσκελή (**)


γρίφος παράδοξο ισοσκελές τρίγωνο

1.     Κατασκευάζουμε ένα τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ.
2.     Φέρνουμε τη διχοτόμο της γωνίας Α και τη μεσοκάθετη της πλευράς ΒΓ. Το σημείο που τέμνονται το ονομάζουμε Η. Από το σημείο Η φέρνουμε κάθετες και προς τις άλλες δύο πλευρές.
3.     Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΕΗ και ΑΖΗ είναι ίσα, επειδή έχουν ίση τη μισή γωνία Α και την πλευρά ΑΗ κοινή. Άρα ΑΕ = ΑΖ (1).
4.     Τα ορθογώνια τρίγωνα ΒΔΗ και ΓΔΗ είναι ίσα, επειδή έχουν ΒΔ = ΔΓ και την πλευρά ΗΔ κοινή. Άρα ΗΒ = ΗΓ.
5.     Τα ορθογώνια τρίγωνα ΒΕΗ και ΓΖΗ είναι ίσα, επειδή έχουν ΗΒ = ΗΓ (από το Βήμα 4) και ΕΗ = ΗΖ (από το Βήμα 3). Άρα ΕΒ = ΖΓ (2).
6.     Με πρόσθεση κατά μέλη των (1) και (2) προκύπτει πως ΑΒ = ΑΓ.
7.     Άρα το τυχαίο τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Που βρίσκεται το λάθος;

3 σχόλια:

pantsik είπε...

Λύση :

Όλες οι ισότητες τριγώνων είναι σωστές.
Το λάθος βρίσκεται στο σχήμα. Συγκεκριμένα, σε τυχαίο τρίγωνο, το σημείο τομής της διχοτόμου μιας γωνίας και της μεσοκαθέτου της απέναντι πλευράς βρίσκεται εκτός του τριγώνου. Η μοναδική περίπτωση όπου το σημείο τομής βρίσκεται εντός του τριγώνου είναι όταν το τρίγωνο είναι πράγματι ισοσκελές. Το ότι το τρίγωνο που φαίνεται στο σχήμα πρέπει να είναι ισοσκελές αποδεικνύεται από τις τρεις επιμέρους γωνίες που απαρτίζουν τη γωνία ΑΗΔ από την κάθε μεριά. Αυτές είναι ανά ζευγάρια ίσες όπως δείξαμε από τις ισότητες τριγώνων. Άρα το αριστερό μέρος της γωνίας ΑΗΔ είναι ίσο με το δεξί της μέρος και ο μόνος τρόπος να συμβαίνει αυτό είναι όταν η ΑΗΔ είναι ευθεία γωνία. Συνεπώς η ΑΔ είναι και διχοτόμος και μεσοκάθετος του τριγώνου ΑΒΓ, οπότε το τρίγωνο είναι πράγματι ισοσκελές.

Antonis1996 είπε...

Μια άλλη απόδειξη ότι διχοτόμος και μεσοκάθετος τέμνονται εκτός κύκλου είναι η εξής:αν θεωρήσουμε τον περιγεργαμμένο κύκλο του ΑΒΓ η διχοτος τον τεμνει στο μέσο του τοξου ΒΓ.Επίσης η μεσοκάθετος της ΒΓ διέρχεται από το μέσο του τόξου ΒΓ.Άρα αν υποθέσουμε ότι διχοτόμος και μεσοκάθετος τέμνονται εντός τριγώνου τότε οι παραάνω προτάσεις δεν θα ισχύουν(άτοπο).Άρα τέμνονται στο μεσο του τοξου ΒΓ.
Και για όσους δεν το ξέρουν το θεώρημα αυτό ονομάζεται θεώρημα Νοτιου Πολου.

theo είπε...

Kairo exeis na bgaleis kainourgio grifo parado3a. Einai kai oi pio endiaferontes. Anebase kanenan wraio.