Γίνε μέλος στο grifoi.org

Στους γρίφους με τη σήμανση ".Άλυτοι 1-100" μπορούν να στέλνουν τις λύσεις τους μόνο τα Μέλη του site grifoi.org. Πληροφορίες για το πως θα γίνετε μέλος μπορείτε να διαβάσετε εδώ.

Δευτέρα, 2 Αυγούστου 2010

Υπολογισμού - Γέμισμα μπανιέρας (**)

Μία μπανιέρα έχει από πάνω της τρεις βρύσες, με διαφορετική ροή η κάθε μία, συνδεδεμένες σε διαφορετικούς σωλήνες παροχής νερού. Η πρώτη βρύση, αν ανοιχτεί μόνη της, γεμίζει την μπανιέρα σε 3 ώρες, η δεύτερη γεμίζει την μπανιέρα σε 4 ώρες και η τρίτη σε 6 ώρες.
Σε πόσο χρόνο θα γεμίσει η μπανιέρα αν ανοιχτούν και οι τρεις βρύσες ταυτόχρονα;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
georgegeo21 kostas, Steli0s1, GRigori0s, Papaveri, BigGeorge, jasonstavran, contucker, antinetrino, Martina, Godfather_X, alpapado, Teo, Giannis, Βασίλης, leyteris, xatzisjr, ΧΑΡΗΣ, jio, Maestro, agios1991, batman1986, bioamanas, fandom, aldel, Δημητρης, trapatsas, Sourotiri, offspring, MrKitsos, pegasusgr, Pavlos D., xazos+xaroumenos!, NoNoKhaN, christos_86, Λουκάς Σ., Kontoleon, Mike, dorian grey, enfante gatee, djasotos, stratos, xara, takis7up, Καλογιαννίδης, angelsoul, civil, swt, Antonis1996, Agelos_X, carabasj, Stoyo, Dimitrios, πρεζοναυτης, ksekarfotos, Michalis, John, tg, johnthegreek, DADINOU, sotrixios, taliosdio, ioannis lele, ZAFEIRHS, aygo, Pantelis, metalas, dpap78, Danger, jorgos, Eris Skampis, κωστικας, efi ^_^, sportbilly, peterpan, ΓΙΩΡΓΟΣ, drakosdim, Dimis, κωστας πετρουπολη, kraptaki, Πάνος, saxon, jimis petkos, Νικόλαος Βασιλικιώτης, giannhs, xrisdum, Μιχαλης Γιοβας, CHRISTOS, vicky, Gkk, Vaios, konikuno, Nikolas A., Κυριαζής Γιώργος, erratic, genadiosadamidis, Μένιππος, Walker, Png, Aris S, Spyros, stauros, Foris, GooD, kostis, Evangelos, moschos, Zort, ΘΑΝΑΤΟΣ, stavgeor, fighter, BOMBER, GT, lmng247, Dreamkiller, Balleader, vlassis, nikdant, tasmil, maria, tasosi2008, Mark, akousis, killerado, GiorgosP, Biorebel, stem, cascader, teoz, Κώστας Κ., malo, sofia, aimatocritis, crocker, Skopelicious7, kostakis, mathusalas, Lucidreamer, Andreas Petrou, efthimis, monia, teo28april, δημητρης, prochatz, gmar, Kyriakos, vad, gedelbil, boilover, Nikos Stamatiou, Xeliaz, gvoutsi1995, st, avevaios, ggg, Θανάσης Παπαδημητρίου, kb666, geo, giorgos k, ALEX K., asofe, jason1996, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, Gipas, BOMBER, straniero, casperakos, Noeta, percival, greece, manos8, g.clifford, takis, harris, Ο_παρατηρητής, Aliki, p@nos, Leo28, PraikoN, Vandina, pantws_oxi_o_beiber, qwerty, αχκακος, Ο Άστατος, depier-2012, AlexiouG, tasoe, Michalis14, ZORIKOS, g&k, Mike Ambas, Theodor, George Betsis, keyser soze, ko3aris, anastakz, BAndrew, πετρος16, nama, ΜΑΡΑΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ, G SOZELGI, Peter V, Εύα, voula, cris, xpanos1999, vacha68, kotsa Riko, G.Kass, panos_n, Manos Dounis, Jim, George78, Antonios Seretis, paok, dimsot1989, marina, Fanis, scap, Κυριάκος Κουγιουμτζόπουλος, paschalisb, Stelios Larisa, lakostas, sf, demetris72, mikes tsampounaris, ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΣΓΟΥΡΟΜΑΛΛΗΣ, timi, Μάριος Παντελιάδης, vapapadopo54, #@#, Kris Geo, ntsa, Stathis, jorge1, μανος, daskalos1971, βασ.νταιφ, Πειραχτήρι, Diam, Παναγιωτης Καταραχιας, nikos_ex, νικος, Γεώργιος, ΧΡ.ΧΑΣΑΝΕΑΣ, kakkalos, bill1988, Γ. Κ., Chris Efthym, alexpsomi, ΓΙΩΡΓΟΣ ΒΟΡΕΙΟΣ, 123efr456, prinkal, sciamano caotico, Λευτέρης, panoslep, MixMar, Adonis Lafazanis, nerd, Kensh1n, grvoodoo, Vis, gcourb, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, JOELMARX, Kos Monodri, dannys, Γρηγόρης, Ιωάννης Μαστοράκης, E.Tsakiris, YIANNIS KAZIA, ΧΡΙΣΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, Konstantinos K, Athanas79 P.AM9079, manoskothris,

Ανάλυσης - Η πρόκληση των φοιτητών (****)

Ο καθηγητής των μαθηματικών έβαλε την παρακάτω πρόκληση στους 20 φοιτητές του. Τους είπε πως θα τους ζητήσει να σταθούν όλοι σε μία σειρά, ο ένας πίσω από τον άλλον, θα σβήσει τα φώτα και θα φορέσει στον καθέναν από ένα σκουφάκι, του οποίου το χρώμα θα είναι πράσινο ή μπλε. Στη συνέχεια θα ανάψει τα φώτα και θα ρωτήσει τον καθένα τους με τη σειρά, ξεκινώντας από τον τελευταίο στην ουρά, τι χρώμα σκουφάκι φοράει.
Αν τουλάχιστον οι 19 από τους 20 φοιτητές καταφέρουν να δώσουν τη σωστή απάντηση, θα περάσουν όλοι το μάθημα. Για το σκοπό αυτό τους πρότεινε πριν ξεκινήσει η δοκιμασία να συνεργαστούν.
Οι φοιτητές συσκέφτηκαν μεταξύ τους και βρήκαν τον τρόπο, χωρίς να κλέψουν, να κερδίσουν την πρόκληση του καθηγητή. Πως τα κατάφεραν;

Διευκρινίσεις:
  1. Οι φοιτητές θα τοποθετηθούν στη σειρά με τρόπο ώστε ο καθένας να μπορεί να βλέπει όλα τα σκουφάκια των μπροστινών του, αλλά όχι το δικό του ή τα σκουφάκια των πισινών του.
  2. Ο καθηγητής δεν διευκρίνισε τον αριθμό των πράσινων και μπλε σκουφιών που θα φορέσει στους φοιτητές του. Μπορεί να έχουν όλα το ίδιο χρώμα, να είναι 10 πράσινα και 10 μπλε, ή οποιοσδήποτε άλλος συνδυασμός. Η σειρά των χρωμάτων που θα επιλέξει είναι τυχαία.
  3. Ο κάθε φοιτητής απαντάει στην ερώτηση του καθηγητή τι χρώμα σκουφάκι φοράει, με τις λέξεις «πράσινο» ή «μπλε». Απαγορεύεται να πει οτιδήποτε άλλο, να χρωματίσει τη φωνή του, να καθυστερήσει να απαντήσει ή να κάνει οποιουδήποτε είδους νόημα. Γενικά η μόνη πληροφορία που μπορεί να μεταδώσει ο ερωτηθείς φοιτητής στους υπολοίπους αποτελείται αποκλειστικά από μία εκ των δύο αυτών λέξεων.
  4. Την απάντηση του κάθε φοιτητή μπορούν να την ακούσουν όλοι οι υπόλοιποι.
Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Steli0s1, giorgait88, panmag, batman1986, fandom, Δημητρης, aldel, kajabbar, trapatsas, apostolos7880, ΧΑΡΗΣ, MrKitsos, offspring, pegasusgr, Pavlos D., Spiros E, enfante gatee, stratos, takis7up, sotrixios, swt, kostas21, Antonis1996, Dimitrios, Michalis, ksekarfotos, Kontoleon, SecretName, johnthegreek, jimis petkos, saxon, kraptaki, Panos, tommy_boy, babinos_cfu, GooD, ΖΟRΤ, ΘΑΝΑΤΟΣ, Dreamkiller, stavgeor, GeoChris, Νίκαια, Δ.Δ., kwstas148, theo, efthimis, r9, gedelbil, Xeliaz, kb666, BOMBER, Θανάσης Παπαδημητρίου, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, straniero, takis, percival, qwerty, MelLo, george ts, Χαράλαμπος Αλεξόπουλος, forest, Diam, G SOZELGI, sf, Κύριος Ζίκος, Αλέκος Ντόρντας, ioannesx, nikos_ex, daskalos1971, kostas thanasis, Πειραχτήρι, Χρηστος Χ., ΧΡ.ΧΑΣΑΝΕΑΣ, Κυριαζής Γιώργος, demistek, gerodiak, asotos-ios, guitaboygrizi, Λαέρτης, alexpsomi, Γιασσιράνης Δημήτριος, nerd, Kensh1n, JOELMARX, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, milis, Γρηγόρης, sciamano caotico, Sakos, Antonios Seretis, Stathis, Athanas79 P., Nikos Stamatiou

Συνδυαστικής σκέψης - Έξι βούλες (****)

Τρεις λογικολόγοι πρόκειται να παίξουν ένα παιχνίδι. Θα καθίσουν σε τρεις καρέκλες και ένας διαιτητής θα βάλει στα κρυφά δύο βούλες στο μέτωπο του καθενός, έτσι ώστε ο καθένας τους να μπορεί να βλέπει τις βούλες των άλλων δύο, αλλά όχι τις δικές του. Ο διαιτητής έχει στη διάθεσή του 4 κόκκινες και 4 μαύρες βούλες. Θα επιλέξει τυχαία τις 6 βούλες που θα βάλει στα μέτωπα των τριών παικτών και θα του περισσέψουν 2 που δεν θα χρησιμοποιήσει και θα τις κρύψει μετά την τοποθέτηση.
Οι παίκτες με τη σειρά, ερωτούνται για το χρώμα που έχουν οι βούλες στο μέτωπό τους. Σκοπός του παιχνιδιού είναι κάποιος παίκτης να απαντήσει σωστά και να τεκμηριώσει τη λογική διαδικασία που τον οδήγησε στην απάντησή του. Αν κάποιος παίκτης δεν ξέρει τι χρώμα βούλες έχει, ερωτάται ο αμέσως επόμενος. Η σειρά των ερωτήσεων, ανάλογα με τη θέση που κάθονται, είναι η εξής: 1 – 2 – 3 – 1 – 2 – 3 - κλπ.
Πριν ξεκινήσει το παιχνίδι ερωτάται ο πρώτος λογικολόγος σε ποια από τις τρεις θέσεις θέλει να καθίσει. Ποια θέση πρέπει να διαλέξει και γιατί;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
Steli0s1, alpapado, aldel, batman1986, pegasusgr, enfante gatee, stratos, takis7up, Michalis, MrKitsos, swt, offspring, Κηαες, ΘΑΝΑΤΟΣ, stavgeor, kraptaki, percival, theo, sbetsika, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, Θανάσης Παπαδημητρίου, G SOZELGI, saxon, sf, alexpsomi, man123

Συνδυασμών - Αποτέλεσμα 33333 (***)

Βρείτε έναν πενταψήφιο και έναν τετραψήφιο αριθμό για τους οποίους αν αφαιρεθεί ο τετραψήφιος από τον πενταψήφιο, το αποτέλεσμα της αφαίρεσης θα είναι ο αριθμός 33333 και θα έχετε χρησιμοποιήσει όλα τα ψηφία από 1 έως 9, μία φορά το καθένα.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
kostas, Steli0s1, GRigori0s, tsimartsie, Godfather_X, ΧΑΡΗΣ, Βασίλης, bioamanas, batman1986, fandom, aldel, trapatsas, MrKitsos, Pavlos D., pegasusgr, Spiros E, offspring, deniskol54565456, stratos, takis7up, xara, swt, Antonis1996, stelios, ksekarfotos, Michalis, Καλογιαννίδης, tg, Stoyo, Danger, Kontoleon, xristina, johnthegreek, Πάνος, kraptaki, saxon, giannhs, Diuplontoyvaros, erratic, Png, Test, Emily4ever, Nick, stauros, GooD, ΘΑΝΑΤΟΣ, stavgeor, p.kritikos, maria, tasmil, killerado, Biorebel, tasosi2008, stavuoa, fighter, efthimis, Giannismarg, Xeliaz, Θάνος, Nikos Stamatiou, gvoutsi1995, avevaios, giorgos k, manos8, jason1996, Gipas, AlexiouG, sbetsika, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, straniero, Θανάσης Παπαδημητρίου, percival, BOMBER, takis, g.clifford, p@nos, Leo28, Καραγιάννη Ειρήνη, MelLo, kostas menidi, Ο Άστατος, Tamy, Mike Ambas, Theodor, anastakz, nama, Greg Balaskas, Εύα, G SOZELGI, Panos, cris, nomnomnom, BAndrew, Aliki, ZORIKOS, Antonios Seretis, lakostas, sf, paok, Stathis, daskalos1971, nikos_ex, Κάποιος, Kris Geo, asotos-ios, alexpsomi, stem, cris, panoslep, Kensh1n, grvoodoo, JOELMARX, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΤΣΑΟΥΣΗΣ, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, Kos Monodri, Γρηγόρης, sakis kefallinos,

Πιθανοτήτων - Τζόκερ (***)

Έχουμε μία τράπουλα με 52 φύλλα στην οποία προσθέτουμε και τον έναν τζόκερ. Ανακατεύουμε τα 53 φύλλα και τα απλώνουμε κλειστά πάνω σε ένα τραπέζι. Ανοίγουμε ένα-ένα τα φύλλα με τυχαία σειρά.
Ποια είναι η πιθανότητα όταν θα ανοίξουμε τον τζόκερ να έχουμε ανοίξει ήδη τους τέσσερις άσσους της τράπουλας;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
ΧΑΡΗΣ, fandom, batman1986, trapatsas, offspring, MrKitsos, Pavlos D., pegasusgr, Kontoleon, Φώτης Π., stratos, takis7up, Dimitrios, Michalis, swt, kraptaki, saxon, Πιθανολογος, Test, Antonis1996, ΘΑΝΑΤΟΣ, Jason, stavgeor, GiorgosP, EpicZeroXXi, gvoutsi1995, avevaios, Θανάσης Παπαδημητρίου, BOMBER, Crocodile23, efthimis, greece, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, k4rp, takis, percival, giorgaras55, vassilistrend, inenitable216, Theodor, john vas, Aliki, Panos, G SOZELGI, scap, cris, sf, daskalos1971, alexpsomi, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, PraikoN, sciamano caotico, Νεφέλη, Nikos Stamatiou

Πιθανοτήτων - Ο χαρτοκλέφτης (***)

Σε μια πόλη της Άγριας Δύσης έπιασαν έναν ξένο που έκλεβε στα χαρτιά.Μιας και ήταν τζογαδόρος, ο σερίφης αποφάσισε η μοίρα του να κριθεί στην τύχη.
Έβαλε λοιπόν δύο σφαίρες σε ένα εξάσφαιρο πιστόλι με μύλο και αποφάσισε να πατήσει τη σκανδάλη δύο φορές με το όπλο στραμμένο προς τον κλέφτη. Αν και τις δύο φορές το όπλο δεν πυροβολούσε, τότε θα του χαριζόταν η ζωή. Για να μην κατηγορηθεί μάλιστα για μεροληψία, ο σερίφης γύρισε δυνατά τον μύλο πριν τον κλείσει ώστε να μη γνωρίζει ούτε ο ίδιος τη θέση των δύο σφαιρών πριν πατήσει τη σκανδάλη.
Πατάει λοιπόν τη σκανδάλη για πρώτη φορά και το όπλο κάνει «κλικ», χωρίς να πυροβολήσει. Στο σημείο αυτό ο σερίφης ρωτάει τον κλέφτη αν προτιμάει να ξαναγυρίσει τυχαία τον μύλο πριν πατήσει τη σκανδάλη για δεύτερη φορά ή να πατήσει τη σκανδάλη με τη θαλάμη που είναι οπλισμένη εκείνη τη στιγμή, δηλαδή στην αμέσως επόμενη θέση από την πρώτη απόπειρα.
Ο κλέφτης, σαν τζογαδόρος που ήταν, γνώριζε από πιθανότητες, γι αυτό ρώτησε τον σερίφη αν τοποθέτησε τις σφαίρες στο πιστόλι τη μία δίπλα στην άλλη ή όχι.
Ανάλογα με την απάντηση του σερίφη ξέρει τι θα ζητήσει να γίνει με τον μύλο ώστε να μεγιστοποιήσει την πιθανότητά του να του χαριστεί η ζωή.
Ποια θα είναι η απόφασή του για κάθε μία από τις ακόλουθες πιθανές απαντήσεις του σερίφη;
Α) «Έβαλα τις σφαίρες σε διαδοχικές θέσεις»
Β) «Δεν έβαλα τις σφαίρες σε διαδοχικές θέσεις»
Γ) «Πολλά ρωτάς. Πάρε μια απόφαση τώρα!»

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
kostas, Steli0s1, Chris, ΧΑΡΗΣ, fandom, batman1986, trapatsas, offspring, MrKitsos, pegasusgr, xazos+xaroumenos!,  Kontoleon, stratos, civil, swt, takis7up, Michalis, Stoyo, Πάνος, saxon, jimis petkos, kraptaki, Πιθανολογος, Test, Antonis1996, ΘΑΝΑΤΟΣ, manolito, stavgeor, killerado, Lucidreamer, panos1982, Xeliaz, Nikos Stamatiou, joanna 1996, Θανάσης Παπαδημητρίου, straniero, Crocodile23, greece, sbetsika, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, percival, vassilistrend, john vas, Peter V, G SOZELGI, sf, alexpsomi, Kensh1n, JOELMARX, Γρηγόρης, Νεφέλη, daskalos1971, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ

Παράδοξα - Προσδιορισμός αριθμών (****)

Παρακάτω θα αποδείξουμε πως κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να προσδιορισθεί με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες. Φυσικοί λέγονται οι ακέραιοι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι του 0. Λέγοντας λέξεις εννοούμε ελληνικές λέξεις που περιέχονται σε οποιοδήποτε λεξικό και οι οποίες πρέπει να σχηματίζουν κάποια φράση με νόημα. Π.χ. η φράση "ο φυσικός αριθμός μεταξύ του τρία και του πέντε" προσδιορίζει τον αριθμό 4.
Η πρόταση είναι προφανώς εσφαλμένη για τον εξής λόγο: Οι ελληνικές λέξεις είναι πεπερασμένες. Οι συνδυασμοί που προκύπτουν από δεκατέσσερις λέξεις επιλεγμένες από ένα πεπερασμένο σύνολο λέξεων είναι επίσης πεπερασμένοι. Οι φυσικοί αριθμοί όμως είναι άπειροι και συνεπώς δεν μπορούν να αντιστοιχιστούν όλοι με κάποιον συνδυασμό 14 ή λιγότερων λέξεων, ακόμα και αν όλοι αυτοί οι συνδυασμοί είχαν κάποιο νόημα.

Η παρακάτω απόδειξη γίνεται με τη μέθοδο της ατόπου απαγωγής που λειτουργεί ως εξής: Θέλουμε να αποδείξουμε πως μία πρόταση Α είναι αληθής. Υποθέτουμε αρχικά πως είναι ψευδής και στη συνέχεια με λογικούς συνειρμούς προσπαθούμε να καταλήξουμε σε αντίφαση. Τότε η υπόθεση που κάναμε πως η πρόταση Α είναι ψευδής δεν είναι σωστή και συνεπώς η πρόταση Α πρέπει να είναι αληθής.
Προσπαθήστε να ανακαλύψετε γιατί η απόδειξη είναι λανθασμένη.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ
  1. Υποθέτουμε πως υπάρχουν φυσικοί αριθμοί που δεν μπορούν να προσδιορισθούν με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες.
  2. Ένας από αυτούς τους αριθμούς θα είναι ο μικρότερος τους. Τον ονομάζουμε Ν.
  3. Τότε ο αριθμός Ν μπορεί να ορισθεί ως «ο μικρότερος φυσικός αριθμός που δεν μπορεί να προσδιορισθεί με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες».
  4. Αυτή η πρόταση προσδιορίζει τον αριθμό Ν με δεκατέσσερις λέξεις και άρα έρχεται σε αντίφαση με την υπόθεση πως ο Ν είναι ένας αριθμός που δεν μπορεί να προσδιορισθεί με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες.
  5. Αφού η αρχική υπόθεση που κάναμε στο Βήμα 1 οδήγησε με λογικά βήματα σε αντίφαση, πρέπει να είναι εσφαλμένη.
  6. Άρα όλοι οι φυσικοί αριθμοί μπορούν να προσδιορισθούν με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες!
Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
aldel, batman1986, pegasusgr, MrKitsos, offspring, Christine MgKl, swt, Michalis, Stoyo, gaga, stratos, kraptaki, saxon, Zaxarias, Test, ΘΑΝΑΤΟΣ, theo, Θανάσης Παπαδημητρίου, Crocodile23, percival, Leo28, sbetsika, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, Roland_Of_Gilead, Βαγγέλης, Σωτήρης, Nikos Lentzos, alexpsomi, nerd, sf, Γρηγόρης, Νεφέλη