Γίνε μέλος στο grifoi.org

Στους γρίφους με τη σήμανση ".Άλυτοι 1-100" μπορούν να στέλνουν τις λύσεις τους μόνο τα Μέλη του site grifoi.org. Πληροφορίες για το πως θα γίνετε μέλος μπορείτε να διαβάσετε εδώ.

Δευτέρα, 2 Αυγούστου 2010

Παράδοξα - Προσδιορισμός αριθμών (****)

Παρακάτω θα αποδείξουμε πως κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να προσδιορισθεί με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες. Φυσικοί λέγονται οι ακέραιοι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι του 0. Λέγοντας λέξεις εννοούμε ελληνικές λέξεις που περιέχονται σε οποιοδήποτε λεξικό και οι οποίες πρέπει να σχηματίζουν κάποια φράση με νόημα. Π.χ. η φράση "ο φυσικός αριθμός μεταξύ του τρία και του πέντε" προσδιορίζει τον αριθμό 4.
Η πρόταση είναι προφανώς εσφαλμένη για τον εξής λόγο: Οι ελληνικές λέξεις είναι πεπερασμένες. Οι συνδυασμοί που προκύπτουν από δεκατέσσερις λέξεις επιλεγμένες από ένα πεπερασμένο σύνολο λέξεων είναι επίσης πεπερασμένοι. Οι φυσικοί αριθμοί όμως είναι άπειροι και συνεπώς δεν μπορούν να αντιστοιχιστούν όλοι με κάποιον συνδυασμό 14 ή λιγότερων λέξεων, ακόμα και αν όλοι αυτοί οι συνδυασμοί είχαν κάποιο νόημα.

Η παρακάτω απόδειξη γίνεται με τη μέθοδο της ατόπου απαγωγής που λειτουργεί ως εξής: Θέλουμε να αποδείξουμε πως μία πρόταση Α είναι αληθής. Υποθέτουμε αρχικά πως είναι ψευδής και στη συνέχεια με λογικούς συνειρμούς προσπαθούμε να καταλήξουμε σε αντίφαση. Τότε η υπόθεση που κάναμε πως η πρόταση Α είναι ψευδής δεν είναι σωστή και συνεπώς η πρόταση Α πρέπει να είναι αληθής.
Προσπαθήστε να ανακαλύψετε γιατί η απόδειξη είναι λανθασμένη.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ
  1. Υποθέτουμε πως υπάρχουν φυσικοί αριθμοί που δεν μπορούν να προσδιορισθούν με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες.
  2. Ένας από αυτούς τους αριθμούς θα είναι ο μικρότερος τους. Τον ονομάζουμε Ν.
  3. Τότε ο αριθμός Ν μπορεί να ορισθεί ως «ο μικρότερος φυσικός αριθμός που δεν μπορεί να προσδιορισθεί με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες».
  4. Αυτή η πρόταση προσδιορίζει τον αριθμό Ν με δεκατέσσερις λέξεις και άρα έρχεται σε αντίφαση με την υπόθεση πως ο Ν είναι ένας αριθμός που δεν μπορεί να προσδιορισθεί με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες.
  5. Αφού η αρχική υπόθεση που κάναμε στο Βήμα 1 οδήγησε με λογικά βήματα σε αντίφαση, πρέπει να είναι εσφαλμένη.
  6. Άρα όλοι οι φυσικοί αριθμοί μπορούν να προσδιορισθούν με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες!
Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
aldel, batman1986, pegasusgr, MrKitsos, offspring, Christine MgKl, swt, Michalis, Stoyo, gaga, stratos, kraptaki, saxon, Zaxarias, Test, ΘΑΝΑΤΟΣ, theo, Θανάσης Παπαδημητρίου, Crocodile23, percival, Leo28, sbetsika, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, Roland_Of_Gilead, Βαγγέλης, Σωτήρης, Nikos Lentzos, alexpsomi, nerd, sf, Γρηγόρης, Νεφέλη

197 σχόλια:

GRigori0s είπε...

Ααααα κατάλαβα τι ψάχνουμε και βρήκα το λάθος. Το λάθος είναι η λέξη "δεν" στο τρίτο βήμα. Χωρίς αυτόν οι λέξεις είναι δώδεκα και επομένως δεν υπάρχει αντίφαση.

pantsik είπε...

@GRigori0s: Σύμφωνα όμως με την υπόθεση που κάναμε στα Βήματα 1 και 2, ο Ν δεν πρέπει να μπορεί να προσδιορισθεί με 14 λέξεις. Αν αφαιρέσουμε τη λέξη "δεν" τότε η Πρόταση 3 δεν προκύπτει λογικά από τις προηγούμενες.

Ανώνυμος είπε...

Νομιζω πως ειναι εσφαλμενη η γενικευση στη προταση 6. Δεν μπορουμε να βγαλουμε συμπερασμα απο εναν αριθμο για ολους.

pantsik είπε...

@Ανώνυμος: Η γενίκευση στην Πρόταση 6 είναι συνεπής με τη διαδικασία της ατόπου απαγωγής. Η αρχική υπόθεση ήταν πως ΥΠΑΡΧΟΥΝ αριθμοί που δεν μπορούν να προσδιορισθούν με 14 λέξεις ή λιγότερες. Αφού όμως αυτή η υπόθεση κατέληξε σε αντίφαση τότε η αρχική υπόθεση είναι ψευδής. Άρα ΔΕΝ υπάρχουν αριθμοί που δεν μπορούν να προσδιορισθούν με 14 λέξεις ή λιγότερες.

salstelios είπε...

ΣΤΗ ΥΠΟΘΕΣΗ ΛΕΜΕ ''ΕΣΤΩ ΟΤΙ ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΟΥ ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΟΥΝ ΜΕ 14 ΛΕΞΕΙΣ Η ΛΙΓΟΤΕΡΕΣ'' ΘΕΩΡΩΝΤΑΣ ΣΙΓΟΥΡΑ ΠΩΣ ΚΑΠΟΙΟΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ 14 Η ΛΙΓΟΤΕΡΕΣ ΛΕΞΕΙΣ.ΤΟ ΙΔΙΟ ΟΜΩΣ ΘΑ ΜΠΟΡΟΥΣΕ ΝΑ ΙΣΧΥΕΙ ΚΑΙ ΓΙΑ 15, 16, 17...ν πεπερασμενες ΛΕΞΕΙΣ, ΕΤΣΙ ΑΝ ΚΑΝΑΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΕ ΓΙΑ ν ΛΕΞΕΙΣ Ο ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΤΟ 3 ΓΙΑ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΖΕΤΑΙ ΜΕ ν ΛΕΞΕΙΣ Η ΛΙΓΟΤΕΡΕΣ ΘΑ ΔΙΑΤΥΠΩΝΟΤΑΝ.'' Ο ΜΙΚΡΟΤΕΡΟΣ ΦΥΣΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΠΟΥ ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΙ ΜΕ ν ΛΕΞΕΙΣ Η ΛΙΓΟΤΕΡΕΣ'' ΕΔΩ ΔΕ ΘΑ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΣΑΜΕ ΜΟΝΟ ΛΕΞΕΙΣ ΑΛΛΑ ΚΑΙ ΤΟ ΓΡΑΜΜΑ ν. ΚΑΙ ΕΤΣΙ ΔΕ ΘΑ ΙΣΧΥΕ Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ. ΔΗΛΑΔΗ ΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΕΙΝΑΙ ΑΥΘΕΡΑΙΤΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 14 ΓΙΑ ΤΟΝ ΟΠΟΙΟ ΥΠΑΡΧΕΙ Η ΛΕΞΗ ΔΕΚΑΤΕΣΣΕΡΑ ΚΑΙ Ο ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΜΕ 14 ΛΕΞΕΙΣ.

pantsik είπε...

Προφανώς η απόδειξη είναι κατασκευασμένη έτσι ώστε να δημιουργείται αντίφαση. Γι αυτό μπαίνει το δεκατέσσερα που είναι και ο αριθμός των λέξεων του ορισμού της Πρότασης 3.
Η επιλεκτικότητα στις παραμέτρους της απόδειξης όμως δεν σημαίνει πως η λογική διαδικασία που ακολουθείται είναι λανθασμένη. Για να αποδείξουμε πως κάτι είναι αληθές πρέπει να ισχύει για όλα τα δυνατά παραδείγματα στο πλαίσιο αναφοράς του, ενώ για να αποδείξουμε πως κάτι δεν είναι αληθές αρκεί να βρούμε ένα μόνο παράδειγμα (γνωστό σαν αντιπαράδειγμα) που το καταρρίπτει. Αυτό το τελευταίο κάνουμε στη διαδικασία της απόδειξης του προβλήματος.

GRigori0s είπε...

Συγγνώμη αλλά... έτσι λειτουργεί η άτοπος απαγωγή;

pantsik είπε...

@GRigori0s: Απ' όσο ξέρω, ναι. Έχετε διαφορετική γνώμη;

GRigori0s είπε...

Εφ´όσον το Βήμα 1 μιλάει για ένα μέρος του συνόλου τότε αποδεικνύεται ψευδής για αυτό και μόνο το μέρος του συνόλου. Εκεί έγγυται και το λάθος...

pantsik είπε...

@GRigori0s: Το Βήμα 1 αναφέρεται σε όλους τους αριθμούς που δεν μπορούν να προσδιορισθούν με 14 λέξεις ή λιγότερες.
Δείτε και την απάντησή μου της 03 Αυγούστου 2010 10:30 π.μ. από τη δεύτερη πρόταση και μετά.

Godfather_X είπε...

Μία διευκρίνιση:
Δεν είναι αντιφατικό να προσπαθούμε να συνδέσουμε (και να καταλήξουμε σε Άτοπο) την απειρότητα των φυσικών αριθμών με τη λεκτική περιγραφή τους;
Αυτό που εννοώ είναι ότι η ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ενός αριθμού μπορεί να γίνει με όσες λέξεις θέλουμε, ενώ η ΑΝΑΓΝΩΣΗ του αριθμού όχι.
π.χ.:
Τον αριθμό 1.385.067.972.329.584 δε θα μπορούσαμε ποτέ να τον ΔΙΑΒΑΣΟΥΜΕ με 14 ή λιγότερες λέξεις, αλλά θα μπορούσαμε κάλλιστα να τον ΠΕΡΙΓΡΑΨΟΥΜΕ ως εξής:
"Ένας ακόμα φυσικός αριθμός που είναι μεγαλύτερος του ενός εκατομμυρίου και πεντακοσίων πενήντα χιλιάδων."
Έχουμε έτσι μία περιγραφή (μεταξύ πάρα πολλών άλλων επιλογών του ίδιου μοτίβου) με 14 λέξεις!
Μπορώ να έχω μία διευκρίνιση για αυτό;

pantsik είπε...

@Godfather_X: Ο γρίφος αναφέρεται σε προσδιορισμό αριθμών και όχι απλά στην περιγραφή τους. Η διαφορά είναι πως όταν ένας αριθμός περιγράφεται με λέξεις, τότε μπορεί όπως λέτε να αναφερόμαστε απλώς σε κάποιες ιδιότητές του, τις οποίες όμως μπορούν να μοιράζονται και άλλοι αριθμοί. Όταν ένας αριθμός προσδιορίζεται με λέξεις, τότε αυτός ο προσδιορισμός πρέπει να αντιστοιχεί μόνο σε αυτόν τον αριθμό και σε κανέναν άλλον. Ο προσδιορισμός του Ν στο Βήμα 3 δεν μπορεί να αντιστοιχεί σε οποιονδήποτε άλλο αριθμό γιατί μόνο ένας από αυτούς που έχουν την αναφερόμενη ιδιότητα είναι ο μικρότερος.
Η ανάγνωση ενός αριθμού είναι ο συνηθέστερος - αλλά όχι ο μοναδικός - τρόπος προσδιορισμού του.

ismini είπε...

Aν λοιπον οντως οι φυσικοι αριθμοι μπορουν να περιγραφουν με 14 λέξεις ή λιγότερες τότε η αντίφαση δεν προκύπτει όταν ο προσδιορισμός του μικρότερου φυσικου αριθμου - που και αυτος με την ιδια λογικη μπορει να προσδιοριστει με 14 ή λιγοτερες λεξεις - αναιρεί την ιδιότητα οτί μπορεί να περιγραφεί με 14 ή λιγότερες λέξεις?

pantsik είπε...

@ismini: Αφού στο τέλος αποδείξαμε πως όλοι οι φυσικοί αριθμοί μπορούν να προσδιορισθούν με 14 λέξεις ή λιγότερες, σημαίνει πως η υπόθεση που κάναμε στο Βήμα 1 είναι λανθασμένη. Ο προσδιορισμός του Ν στο Βήμα 3 επίσης δεν έχει νόημα, γιατί όπως αποδείχτηκε δεν υπάρχει κανένας τέτοιος αριθμός Ν.

pantsik είπε...

@GRigori0s: Η λέξη δεκατέσσερις περιλαμβάνεται σε τρία online λεξικά που έλεγξα.

pantsik είπε...

@Ανώνυμος της 15 Σεπτέμβριος, 2010 02:21: Όχι. Δείτε την απάντησή μου στον Godfather_X, 4 σχόλια πιο πάνω.

Ανώνυμος είπε...

ακριβως σε αυτο βασιζεται η λυση μου. το συμπληρωμα του συνολου των αριθμων που δεν μπορουν να περιγραφουν με 14 λεξεις(η αλλιως το συνολο των φυσικων αριθμων που μπορουν να περιγραφουν με 14 λεξεις) περιλαμβανει ηδη ολους τους δυνατους συνδυασμους λεξεων. αρα, ο ν εχει την ιδια περιγραφη με εναν απο τους αριθμους που ανηκουν σε αυτο το συνολο, ενω ειναι διαφορετικοι αριθμοι- και εκει ειναι το λαθος του συλλογισμου,

τιτανομεγιστοτεραστιος

pantsik είπε...

@τιτανομεγιστοτεραστιος: Δεν καταλαβαίνω γιατί υποστηρίζεις πως "το συνολο των φυσικων αριθμων που μπορουν να περιγραφουν με 14 λεξεις περιλαμβανει ηδη ολους τους δυνατους συνδυασμους λεξεων". Για παράδειγμα ο συνδυασμός των πρώτων 14 λέξεων από τα Κάλαντα «Καλήν ημέρα άρχοντες κι αν είναι ο ορισμός σας... κλπ» σε ποιον αριθμό αντιστοιχεί;

τιτανομεγιστοτεραστιος είπε...

δεν μπορω να σου πω συγκεκριμενο αριθμο, αφου δεν υπαρχει μοναδικος τροπος αντιστοιχησης αριθμων-προτασεων. μπορω να δωσω ομως 2 παραδειγματα.
διατασσουμε κατα αλφαβητικη σειρα τις λεξεις της ελληνικης. εστω οτι ειναι ν. καθε φυσικος αριθμος μικροτερος απο το ν^14 μπορει να αντιστοιχισθει με μια φραση τετοια ωστε να ειναι ισος με α0+α1ν+α2ν^2+...+α13ν^13 οπου α0,α1,...,α13 ο αυξων αριθμος της 1ης,2ης,...,14ης λεξης της φρασης στην αλφαβητικη διαταξη. αρα η πρωτη φραση των καλαντων αντιστοιχει ηδη σε εναν αριθμο, οπως και η φρασ που ''αντιστοιχει'' στον Ν- στο παραδειγμα ν^15.
ενα δευτερο παραδειγμα ειναι ο τυχαιος(!) συσχετισμος φρασεων-αριθμων. υπαρχει ενας τερασιος πινακας-αλλα πεπερασμενος που σου δειχνει το συσχετισμο. το παραδειγμα αυτο ειναι γενικευση του πρωτου.

pantsik είπε...

@τιτανομεγιστοτεραστιος: Κατάλαβα τώρα τι λες. Ότι έχουμε καθορίσει από πριν έναν αλγόριθμο με τον οποίο αντιστοιχούμε κάθε φράση σε έναν αριθμό με μοναδικό τρόπο. Τότε η φράση που χρησιμοποιώ εγώ για να προσδιορίσω το Ν δεν αντιστοιχεί πια στο Ν, αλλά σε κάποιον άλλο αριθμό βάσει του αλγορίθμου. Άρα δεν κατάφερα να προσδιορίσω το Ν. Συμφωνώ μαζί σου πως αν τα κάνω όλα αυτά δεν υπάρχει παράδοξο, αλλά ...αρνούμαι να ακολουθήσω την πρακτική σου. Δεν δέχομαι καμία σύμβαση για την αντιστοίχιση λέξεων σε αριθμούς πέρα από αυτή που επιτάσσει η κοινή λογική: ότι δηλαδή η φράση "ογδόντα έξι" θα αντιστοιχεί στον αριθμό 86 και η φράση "το τέλειο τετράγωνο μεταξύ των αριθμών δέκα και είκοσι" θα αντιστοιχεί στον αριθμό 16.
Δεν υποστηρίζω πως με οποιαδήποτε λογική διαδικασία προκύπτει παράδοξο στον προσδιορισμό των αριθμών. Μόνο με τη συγκεκριμένη λογική διαδικασία που ακολούθησα.

pantsik είπε...

Από λάθος δεν μπόρεσα να δημοσιεύσω το παρακάτω σχόλιο, οπότε το μεταφέρω αυτούσιο σαν δικό μου σχόλιο και ακολουθεί η απάντησή μου.

Ο/Η τιτανομεγιστοτεραστιος έγραψε:
αυτο δεν αλλαζει απολυτως τιποτα. δεχεσαι οτι μονο συγκεκριμενοι συνδυασμοι συγκεκριμενων λεξεων μπορουν να προσδιορισουν αριθμοι, και μαλιστα οχι 1-1, δηλαδη το 16 ειναι δεκαεξι και "το τέλειο τετράγωνο μεταξύ των αριθμών δέκα και είκοσι". ο αλγοριθμος που δεχεσαι μαλιστα, ειναι συγκεκριμενος και ακολουθει αυτο που λες''κοινη λογικη''.και παλι ομως μπορω να εφαρμοσω την ιδια μεθοδο: ο συμπληρωμα του συνολου των αριθμων που δεν μπορουν να περιγραφουν με 14 λεξεις(η αλλιως το συνολο των φυσικων αριθμων που μπορουν να περιγραφουν με 14 λεξεις) περιλαμβανει ηδη ολους τους δυνατους συνδυασμους λεξεων(εδω προσθετω: που εσυ δεχεσαι).υπαρχουν δυο περιπτωσεις. ειτε ο συνδυασμος ''ο μικροτερος... λεξεις'' ειναι οντως ''επιτρεπτος'', οποτε σε παραπεμπω σε αυτα που εγραψα παραπανω(οδηγει μονοσημαντα σε αριθμο διαφορο του Ν), ειτε ειναι ''ανεπιτρεπτος'', οποτε δεν μπορει να περιγραψει εναν αριθμο.

Η απάντησή μου:
Η αντιστοίχιση του συνόλου «περιγραφή αριθμών με λέξεις» (όπως εγώ το εννοώ) στο σύνολο των φυσικών αριθμών πράγματι δεν είναι 1-1 αλλά πολλά-προς-1. Εξακολουθεί όμως να αντιστοιχεί κάθε περιγραφή σε έναν μόνο αριθμό οπότε εξακολουθούν οι φυσικοί αριθμοί να προσδιορίζονται με μονοσήμαντο τρόπο.
Δεν θεωρώ πως αυτοί οι συνδυασμοί λέξεων είναι συγκεκριμένοι. Ούτε κι εγώ ξέρω με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να περιγραφεί ο κάθε δεδομένος φυσικός αριθμός. Η διαφορά της μεθόδου μου από τη δική σου όμως είναι πως δεν απαιτεί μια σύμβαση για το πώς θα γίνει αυτή η αντιστοίχιση. Η αντιστοίχιση προκύπτει με φυσικό τρόπο στο μυαλό οποιουδήποτε έχει στοιχειώδεις γνώσεις Θεωρίας Αριθμών.
Στη συνέχεια πάλι δεν καταλαβαίνω τον συλλογισμό σου: Λες «το συνολο των φυσικων αριθμων που μπορουν να περιγραφουν με 14 λεξεις περιλαμβανει ηδη ολους τους δυνατους συνδυασμους λεξεων που εσυ (εγώ) δεχεσαι». Τι εννοείς «όλους τους δυνατούς συνδυασμούς»; Αν εννοείς απολύτως όλους τους συνδυασμούς ελληνικών λέξεων, εγώ δεν είπα κάτι τέτοιο. Μόνο κάποιοι συνδυασμοί κάποιων λέξεων οδηγούν σε προσδιορισμό φυσικών αριθμών με τη μέθοδό μου. Για παράδειγμα η φράση από τα Κάλαντα στον δικό μου τρόπο αντιστοίχισης δεν έχει νόημα και δεν αντιστοιχεί σε κανέναν φυσικό αριθμό. Αν με τον όρο «όλους τους δυνατούς συνδυασμούς» εννοείς όλους τους συνδυασμούς που πράγματι προσδιορίζουν κάποιον φυσικό αριθμό με 14 λέξεις , τότε ο αριθμός Ν εξ υποθέσεως δεν πρέπει να μπορεί να περιγραφεί με έναν τέτοιο συνδυασμό κι όμως τελικά περιγράφεται. Και εκεί δημιουργείται η αντίφαση.
Μήπως εννοείς πως δεν είναι δυνατόν ο αριθμός Ν που εξ υποθέσεως δεν μπορεί να περιγραφεί με 14 λέξεις, τελικά να περιγράφεται με 14 λέξεις και άρα αυτή η περιγραφή δεν αντιστοιχεί στον αριθμό Ν; Η απάντηση είναι πως κατά τη λογική διαδικασία που ακολουθώ, η περιγραφή του αριθμού Ν προκύπτει με φυσικό τρόπο με τη φράση του Βήματος 3. Τελικά όμως προκύπτει παράδοξο, το οποίο δεν θεωρώ πως τα όσα γράφεις το επιλύουν.

τιτανομεγιστοτεραστιος είπε...

ειπες: Δεν θεωρώ πως αυτοί οι συνδυασμοί λέξεων είναι συγκεκριμένοι.
δεν μπορεις να ορισεις το συνολο των αριθμων που δεν μπορουν να περιγραφουν με 14 λεξεις, αν οι συνδυασμοι δεν ειναι συγκεκριμενοι. αρα δεν μπορεις να βρεις τον Ν.
αυτη ειναι η αιτια του παραδοξου.
εγω αρχικα υπεθεσα οτι οι συνσυασμοι ειναι συγκεκριμενοι και εξηγησα το παραδοξο με αλλον τροπο...

pantsik είπε...

@τιτανομεγιστοτεραστιος: Δεν μπορώ να ορίσω το σύνολο των αριθμών που δεν μπορού να περιγραφούν με 14 λέξεις αλλά είμαι σίγουρος πως περιέχει άπειρα στοιχεία για το λόγο που έγραψα και στην εισαγωγή του γρίφου.
Το "δεν είναι οι συνδυασμοί των λέξεων συγκεκριμένοι" κόλλαγε στην περιγραφή του άλλου συνόλου που μπορεί να περιγραφεί με 14 λέξεις. Το δεν είναι συγκεκριμένοι δεν ήταν σωστή έκφραση. Αυτοί πρέπει να είναι συγκεκριμένοι, εγώ δεν τους γνωρίζω όλους. Πάντως είναι σίγουρα πεπερασμένοι και οι συνδυασμοί που περιγράφουν κάθε δεδομένο φυσικό αριθμό με λιγότερες από 15 λέξεις και το σύνολο όλων αυτών των συνδυασμών.

τιτανομεγιστοτεραστιος είπε...

ωραια.αφου ειναι συγκεκριμενες αυτες οι φρασεις η πρωτη εξηγηση μου ηταν σωστη. αφου ειναι συγκεκριμενοι και πεπερασμενοι, το ο '' μικροτερος αριθμος... λεξεις''. (δεν εχω στοιχειωδεις γνωσεις θεωρειας αριθμων(δεν εχω ιδεα τι θα πει στοιχειωδεις γνωσεις)), αλλα ειμαι σιγουρος οτι με στοιχειωδεις γνωσεις θεωρειας αριθμων μπορουμε να περιγραψουμε με αυτη τη φραση εναν φυσικο αριθμο η δεν μπορουμε.
αν μπορουμε τοτε ο αριθμος αυτος ειναι διαφορος του Ν, ενω αν δεν μπορουμε τοτε ο Ν δεν περιγραφεται απο 14 η λιγοτερες λεξεις.

pantsik είπε...

Νομίζω πως αυτό που κάνεις είναι να ξαναδιατυπώνεις το παράδοξο. Παράδοξο με τον προσδιορισμό του Ν σίγουρα υπάρχει. Το θέμα είναι σε ποιο σημείο της διαδικασίας της ατόπου απαγωγής διαπράττω λογικό σφάλμα και ποιο ακριβώς είναι το λογικό σφάλμα αυτό.
Η απάντηση ότι προσδιορίζω το Ν ενώ αυτό δεν μπορεί να προσδιοριστεί δεν θεωρώ πως επιλύει το παράδοξο, απλά το αναδεικνύει.

τιτανομεγιστοτεραστιος είπε...

πραγματικα, διαβαζεις αυτα που γραφω?
το Ν εχει ιδια περιγραφη με καποιο αλλο αριθμο.
το θες πιο δυνατα? ΤΟ Ν ΕΧΕΙ ΙΔΙΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΜΕ ΚΑΠΟΙΟ ΑΛΛΟ ΑΡΙΘΜΟ.τωρα αν θεωρεις οτι αυτο δεν ειναι λογικο λαθος, και οτι το παραδοξο παραμενει, τι να πω...

pantsik είπε...

Καταρχήν ηρέμησε. Δεν μπορείς να με πείσεις πως έχεις δίκιο αν φωνάζεις ηλεκτρονικά. Διαβάζω προσεκτικά όσα γράφεις, αλλά γράφεις πολλά διαφορετικά μεταξύ τους πράγματα και εγώ με δυσκολία προσπαθώ να σε παρακολουθήσω. Τώρα ανέσυρες μια φράση που την είχες γράψει 5 μηνύματα πριν και απαιτείς να τη θυμάμαι και να τη συνδυάσω με κάποιον τρόπο με τα τελευταία σου μηνύματα και να βγάλω νόημα. Λυπάμαι, αλλά ούτε με αυτή τη φράση βγάζω νόημα. Ίσως να μην είμαι αρκετά έξυπνος για να καταλάβω το συλλογισμό σου. Σε κάθε περίπτωση, επειδή νομίζω πως επαναλαμβανόμαστε χωρίς να οδηγούμαστε σε συμπεράσματα και αυτό δημιουργεί εκνευρισμό, σταματάω εδώ το διάλογό μας.

pantsik είπε...

@aldel: Γράψτο λίγο καλύτερα. Για ποιον ακριβώς λόγο συμβαίνει αυτό που λες; Ποιο ακριβώς είναι το λάθος που διαπράττεται στη διαδικασία;

batman1986 είπε...

Το λάθος μου φαίνεται πως είναι το εξής:
Σύμφωνα με την υπόθεση , υπάρχουν φυσικοί αριθμοί που δεν μπορούν να προσδιορισθούν με 14 λέξεις ή λιγότερες.Άρα με την υποθεσή μου έχουν ήδη ορισθεί μονοσήμαντα ο καθένας από αυτούς να αντιστοιχεί σε 1 συνδυασμό μ παραπάνω από 14 λέξεις. Στο βήμα 3 όμως μου δίνεται 1 ορισμός που προσδιορίζει τον μικρότερο από αυτούς μ 14 λέξεις.Κάτι που δν γίνεται αφού είναι σαν αυθαιρεσία γιατί είναι ήδη μονοσήμαντα ορισμένοι μ πάνω από 14 λέξεις όλοι(άρα και ο μικρότερος) και είναι σαν τους βάζουμε και μεις επιπλέον ορισμό κάτι που είναι άτοπο(δν γίνετια να υπάρχουν 2 μονοσήμαντοι ορισμοί!!)

pantsik είπε...

Το σύνολο των ορισμών των φυσικών αριθμών αντιστοιχεί στο σύνολο των φυσικών αριθμών με σχέση πολλά-προς-1, ανεξάρτητα αν ο ορισμός δίνεται με λιγότερες από 15 λέξεις ή όχι. Δηλαδή είναι δυνατόν να προσδιορισθεί οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός με περισσότερους από έναν τρόπους. Ο Ν πρέπει να είχε έναν προσδιορισμό με περισσότερες από 14 λέξεις αλλά προέκυψε και άλλος με 14. Δεν είναι λάθος το ότι έχει δύο ορισμούς.

pantsik είπε...

@aldel: Στην πρώτη παράγραφο του κειμένου που μου έστειλες βρήκα την απάντηση που έψαχνα. Θεωρώ σωστή την πρώτη απάντησή σου, μιας και απ' ότι φαίνεται είχες εντοπίσει εξ αρχής το πρόβλημα αν και δεν το εξέφρασες όπως περίμενα.

pantsik είπε...

@batman1986: Μπράβο! Έδωσες ακριβώς την απάντηση που έψαχνα!
Υ.Γ. Σε ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια. Με βοήθησαν πολύ να δω σαν σωστή την απάντησή σου (πλάκα κάνω).

pantsik είπε...

@batman1986: Να σε ενημερώσω επίσης ότι μέχρι στιγμής έχεις απαντήσει σωστά σε περισσότερους γρίφους από οποιονδήποτε άλλο φίλο του site (19). Ο λόγος που δεν είσαι επί του παρόντος στους τρεις καλύτερους λύτες είναι γιατί έχεις και αρκετές λάθος απαντήσεις (10).

pantsik είπε...

@ΧΑΡΗΣ: Δεν θεωρώ λάθος την απάντησή σου γιατί θα μπορούσε όντως να δημιουργηθεί μια σύγχυση μεταξύ ορισμού και προσδιορισμού. Δεν είναι όμως αυτή η λύση του παραδόξου. Για το ότι δεν μπορεί κανείς να γράψει τα ψηφία του Ν, νομίζω πως τελικά γίνεται έστω και προσεγγιστικά. Άλλωστε προσεγγιστικά γράφονται πάντα και τα ψηφία του αριθμού π, παρόλο που είναι πολύ καλά ορισμένος μαθηματικά.

ΧΑΡΗΣ είπε...

Άλλο πράγμα ένας άρρητος αριθμός, όπως το π, και διαφορετικό ένας φυσικός, όπως το Ν του γρίφου.

Ενώ το Ν ορίζεται από 14 λέξεις, ουσιαστικά δεν έχει προσδιοριστεί. Εξακολουθώ να αμφιβάλω κατά πόσο μπορεί κανείς να γράψει τα ψηφία του Ν, με ακρίβεια φυσικά, αφού για φυσικό αριθμό δεν έχει νόημα να μιλάμε για προσέγγιση.

Προσωπικά, πιστεύω ότι εδώ "χωλαίνει" η απόδειξη του γρίφου, όπως έγραψα στο προηγούμενο σχόλιό μου. Δεν αμφιβάλω ότι κάτι άλλο έχεις υπόψη σου, Πάνο, όμως κι εδώ "χωλαίνει". Μεταξύ του 3ου και του 4ου βήματος υπάρχει το παράδοξο.

pantsik είπε...

@ΧΑΡΗΣ: Δεν διαφωνώ πως υπάρχει δυσκολία στην κατανόηση του Ν σαν αριθμό, αλλά δεν οφείλεται εκεί το παράδοξο. Η ίδια ιδέα θα μπορούσε να παρουσιασθεί και με πιο οικείους όρους.
Πάντως υπάρχουν φυσικοί αριθμοί οι οποίοι παρότι είναι καλά ορισμένοι με λέξεις, δεν μπορούμε να γράψουμε τα ψηφία τους. Ένα πρόχειρο παράδειγμα από την αστρονομία: «Η απόσταση σήμερα μεταξύ των άστρων Βέγα και Σείριου σε μέτρα». Ίσως υπάρχουν ανάλογα παραδείγματα και στα καθαρά μαθηματικά.

pantsik είπε...

@GRigori0s: Δεν υπάρχει διαφορά μεταξύ του ορισθεί και του προσδιορισθεί.

pantsik είπε...

@ΧΑΡΗΣ: όσο μεγάλος και αν είναι ο αριθμός των ελληνικών λέξεων και όσες καινούργιες και αν προστίθενται σε αυτόν, είναι πάντοτε πεπερασμένος δηλαδή όχι άπειρος. Όλοι οι συνδυασμοί τους μέχρι το 14 είναι επίσης πεπερασμένοι. Οι φυσικοί αριθμοί όμως είναι άπειροι. Έτσι ακόμα και αν κάθε συνδυασμός λέξεων αντιστοιχούσε σε έναν μόνο αριθμό ώστε να τον προσδιορίζει, θα έμεναν άπειροι άλλοι αριθμοί που δεν θα τους αντιστοιχούσε κανένας συνδυασμός. Αυτό το σύνολο των αριθμών νομίζω πως μπορεί να ορισθεί έστω και αφηρημένα έστω και όχι αυστηρά μαθηματικά. Και αφού είναι σύνολο που αποτελείται από αριθμούς, αναπόφευκτα κάποιος από αυτούς θα είναι ο μικρότερος ακόμα και αν δεν έχουμε ιδέα ποιος μπορεί να είναι.
Οπότε δεν θα συμφωνήσω μαζί σου πως δεν κάναμε τίποτα στα 3 πρώτα βήματα.

pantsik είπε...

@GRigori0s: Όχι, καλό είναι ως έχει. Υποθέτουμε το αντίθετο από αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε και καταλήγουμε σε αντίφαση. Άρα ισχύει αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε.

Pavlos D. είπε...

Η προταση «ο μικρότερος φυσικός αριθμός που δεν μπορεί να προσδιορισθεί με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες» θα εχει ηδη χρησιμοποιηθει για καποιον αλλο ασχετο αριθμο, καθως εχουμε -θεωρητικα- εξαντλησει ολους τους συνδυασμους λεξεων. (οπως πχ θα εχει χρησιμοποιηθει και η προταση 'το χοντρο μπιζελι χορευει τσιφτετελι', ανεξαρτητως νοηματος). Το λαθος γενικα εγκειται στο μπερδεμα της νοηματικης αντιστοιχισης με την "μαθηματικη" ας το πουμε ετσι.

pantsik είπε...

@Pavlos D.: Μάλλον παρανόησες πως δεν αντιστοιχούμε όλους τους συνδυασμούς φράσεων σε αριθμούς αλλά μόνο αυτούς του συνδυασμούς που έχουν νόημα. Έτσι το χοντρό μπιζέλι δεν αντιστοιχεί σε τίποτα.

Pavlos D. είπε...

Τι εννοεις λεγοντας "τους συνδυασμους που εχουν νοημα"? Πχ τη φραση "χτες πηγα για καφε" μπορουμε να την αντιστοιχισουμε σε εναν φυσικο?

xazos+xaroumenos! είπε...

Με την πρόταση αυτή δεν προσδιόρισες τον αριθμό. Τον περιέγραψες!
Άλλο να πεις "ένας κύριος που έχει το τάδε χαρακτηριστικό" και άλλο να πεις "ο Γεράσιμος Σπανοδημήτρης" !

pantsik είπε...

@Pavlos D.: Όχι. Αυτό ακριβώς λέω πως δεν γίνεται.

pantsik είπε...

@xazos+xaroumenos!: Τον προσδιόρισα γιατί μόνο ένας είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός ενός συνόλου.

MrKitsos είπε...

Με αφορμή το πρόβλημα αυτό, θα ήθελα να σου πω ότι δημοσιεύεις προβλήματα ενδιαφέροντα ή ακόμα και πολύ ενδιαφέροντα, αλλά και βαρετά ή πολύ βαρετά. Έκανα λοιπόν δύο καταλόγους: έναν με τα ενδιαφέροντα και έναν με τα βαρετά προβλήματα. Στο δεύτερο κατάλογο υπήρχε ένα πρόβλημα που ήταν το πιο βαρετό από όλα, αυτό όμως το χαρακτηριστικό το έκανε ενδιαφέρον. Οπότε, το έβγαλα από αυτό τον κατάλογο και το έβαλα στον κατάλογο με τα ενδιαφέροντα. Τότε όμως τη θέση του πιο βαρετού προβλήματος την πήρε ένα άλλο και αναγκάστηκα να το βγάλω και αυτό για τον ίδιο λόγο και να το βάλω στον κατάλογο με τα ενδιαφέροντα. Έτσι κατέληξα ότι δημοσιεύεις μόνο ενδιαφέροντα προβλήματα. Και αν νομίζεις ότι όλο αυτό είναι μία ψεύτικη φιλοφρόνηση σε βεβαιώνω ότι δεν είναι...

MrKitsos είπε...

Για να έχει νόημα ο μικρότερος ενός συνόλου Α φυσικών θα πρέπει να αποδείξουμε ότι το Α έχει τουλάχιστον ένα στοιχείο, και τέτοια απόδειξη δεν υπάρχει.

xazos+xaroumenos! είπε...

Για να προσδιοριστεί ο αριθμός με την πρόταση «ο μικρότερος φυσικός αριθμός που δεν μπορεί να προσδιορισθεί με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες», πρέπει να προσδιοριστούν και οι υπόλοιποι αριθμοί που δεν μποτρούν να προσδιοριστούν με 14 λέξεις ή λιγότερες! Εκεί είναι το παράδοξο!

xazos+xaroumenos! είπε...

(συνέχεια...)
Αυτό γιατί πρέπει να συγκριθεί μαζί τους για να προσδιοριστεί, αφού είναι ο μικρότερος από όλους.

pantsik είπε...

@MrKitsos: Δεν μπορείς να βγάλεις το πιο βαρετό μου πρόβλημα από τον κατάλογο με τα βαρετά προβλήματα και να το βάλεις στον κατάλογο με τα ενδιαφέροντα γιατί αρχικά το είχες ορίσει πως ανήκει στα βαρετά, οπότε δεν είσαι συνεπής με τον αρχικό σου ορισμό. Αν εξαρχής υποθέσεις πως δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα στην κατηγορία των βαρετών τότε σε βεβαιώνω πως κάτι τέτοιο δεν ισχύει...

pantsik είπε...

@MrKitsos: Την απόδειξη πως το σύνολο Α δεν είναι κενό τη δίνω στην πρώτη παράγραφο της διατύπωσης του προβλήματος.

pantsik είπε...

@pegasusgr: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

pantsik είπε...

@xazos+xaroumenos!: Δεν σε κατάλαβα. Ότι ο Ν είναι ο μικρότερος του συνόλου προκύπτει αριθμητικά όχι λεκτικά. Λεκτικά προφανώς οι υπόλοιποι αριθμοί προσδιορίζονται με περισσότερες από 14 λέξεις, αλλά μπορεί να είναι πολλοί αυτοί που προσδιορίζονται π.χ. με 15 λέξεις.

pantsik είπε...

@MrKitsos: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

offspring είπε...

Καλησπέρα,

Πιστεύω ότι το λάθος που προκαλεί και το παράδοξο είναι στο Βήμα 3. Ο ορισμός δηλαδή του αριθμού Ν. Το ότι ο αριθμός αυτός ορίζεται ως: «ο μικρότερος φυσικός αριθμός που δεν μπορεί να προσδιορισθεί με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες», δε μπορεί, κατά τη γνώμη μου, να θεωρηθεί σωστό. Ο λόγος είναι ο εξής: Τι πάει να πει ο μικρότερος αριθμός; Από ποιους; Από τους άλλους φυσικούς αριθμούς που δε μπορούν να προσδιοριστούν με 14 λέξεις ή λιγότερες; Ή ο Ν είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός από ένα σύνολο φυσικών αριθμών που μπορούν να προσδιοριστούν με 14 λέξεις ή λιγότερες; Ή μήπως ο Ν είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός από ένα σύνολο φυσικών αριθμών στο οποίο κάποιοι από αυτούς ορίζονται με 14 λέξεις ή λιγότερες και κάποιοι άλλοι ορίζονται με παραπάνω λέξεις; Διότι, με μία σκέψη που έκανα δε σημαίνει ότι οι αριθμοί από 1 μέχρι k ορίζονται από 14 λέξεις ή λιγότερες και από k+1 μέχρι άπειρο ορίζονται με περισσότερες από 14 λέξεις. Για παράδειγμα, σε ένα χρήστη είπες ότι ένας αριθμός, έστω ο Μ, ορίζεται ως: «Η απόσταση σήμερα μεταξύ των άστρων Βέγα και Σείριου σε μέτρα». Πώς θα ορίζαμε με 14 λέξεις ή λιγότερες τον M – 15744; Ενώ αριθμητικά λοιπόν ο Μ είναι μεγαλύτερος από τον Μ – 15744, ο τελευταίος δε μπορεί να οριστεί με 14 λέξεις ή λιγότερες (μη μου βρεις καμία άλλη αστρονομική απόσταση και με τρελάνεις :-) Απλά το φέρνω σαν παράδειγμα). Επομένως για να οριστεί επακριβώς ο Ν, θα πρέπει να προστεθούν στον ορισμό του και άλλες λέξεις. Για παράδειγμα, ένας σωστός ορισμός του Ν θα ήταν: «ο μικρότερος φυσικός αριθμός που δεν μπορεί να προσδιορισθεί με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες από τους φυσικούς αριθμούς που επίσης δε μπορούν να προσδιοριστούν με δεκατέσσερις ή λιγότερες λέξεις».

Επομένως το Βήμα 3 είναι λανθασμένο και έτσι δημιουργείται παράδοξο…

Ευχαριστώ

pantsik είπε...

@xazos+xaroumenos: Η έννοια που χρησιμοποιώ εγώ τη λέξη "προσδιορίζω" είναι όχι απαραίτητα να μπορώ να γράψω έναν αριθμό με ψηφία, αλλά η φράση που χρησιμοποίησα να αντιστοιχεί σε έναν και μόνο αριθμό.
Για παράδειγμα αν αναφερόμασταν σε πραγματικούς αριθμούς θα θεωρούσα πως προσδιορίζω τον π με τη φράση "ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του" παρόλο που δεν μπορεί κανείς από αυτόν τον ορισμό να γράψει όλα τα ψηφία του.

pantsik είπε...

@xazos+xaroumenos!: Καλή προσπάθεια, αλλά δεν νομίζω πως έχουν έτσι τα πράγματα. Δεν είναι ανάγκη να συγκρίνεις τον Ν με κάθε έναν από το άπειρο σύνολο των απροσδιόριστων αριθμών για να επαληθεύσεις πως όντως είναι ο μικρότερος και άρα να τον προσδιορίσεις. Μπορείς απλούστερα να πάρεις με τη σειρά όλους τους φυσικούς αριθμούς που μπορούν να προσδιορισθούν με 14 λέξεις. Δηλαδή τους ένα, δύο, τρία, κλπ. Κάποια στιγμή θα φτάσεις σε έναν που δεν θα αρκούν 14 λέξεις για να προσδιορισθεί αριθμητικά. Στη συνέχεια εξετάζεις αν μπορεί να προσδιορισθεί με άλλο τρόπο, μη αριθμητικό. Αν και πάλι δεν γίνεται τότε αυτός ο αριθμός είναι ο Ν. Η μέθοδος αυτή βέβαια είναι εξαιρετικά επίπονη αλλά όχι αδύνατη. Άλλωστε στα μαθηματικά ορίζουμε σύνολα με αφηρημένο τρόπο χωρίς να ξέρουμε ακριβώς τα στοιχεία τους. Π.χ. έχουμε ορίσει το σύνολο των πρώτων αριθμών χωρίς να ξέρουμε ποιοι φυσικοί αριθμοί μεταξύ του 10^18 και του 10^25 ανήκουν σε αυτό το σύνολο.

pantsik είπε...

@offspring: Σου απαντώ με τη σειρά: 1) Ορίσαμε τον Ν σαν τον μικρότερο αριθμό του συνόλου που δεν μπορούν να προσδιορισθούν με 14 λέξεις. Οι άλλες εναλλακτικές ερμηνίες σου δεν ισχύουν. 2) Συμφωνώ γι αυτό που λες με το k. Επίσης ο αριθμός Μ που αναφέρεις ορίζεται με 14 λέξεις ενώ ο Μ - 15744 όχι. Ο τελευταίος ανήκει στο άλλο σύνολο μαζί με τον Ν. 3) Δεν καταλαβαίνω γιατί λες πως στον ορισμό του Ν πρέπει να προστεθούν και άλλες λέξεις. Η επιπλέον φράση: «από τους φυσικούς αριθμούς που επίσης δε μπορούν να προσδιοριστούν με δεκατέσσερις ή λιγότερες λέξεις» είναι πλεονασμός.
Συνοψίζοντας, υπάρχουν αριθμοί μεγαλύτεροι του Ν που όμως μπορούν να προσδιορισθούν με 14 λέξεις (για παράδειγμα "το παραγοντικό του αριθμού ένα εκατομμύριο"). Απλά ο Ν είναι ο μικρότερος από αυτούς που δεν μπορούν.

pantsik είπε...

@offspring: Το δεύτερο.

offspring είπε...

Θεωρώ ότι το λάθος βρίσκεται στο βήμα 3, επειδή η πρόταση δεν αποτελεί ορισμό του συγκεκριμένου αριθμού αλλά περιγραφή μιας ιδιότητάς του. Δηλαδή ο αριθμός όντως είναι ο μικρότερος αλλά ποιος είναι; Για παράδειγμα ο ορισμός «Η απόσταση σήμερα μεταξύ των άστρων Βέγα και Σείριου σε μέτρα» αποτελεί μία συγκεκριμένη αριθμητική τιμή ή "το παραγοντικό του αριθμού 1 εκατομμύριο". Ενώ η φράση «ο μικρότερος φυσικός αριθμός που δεν μπορεί να προσδιορισθεί με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες» μας δίνει μια ιδιότητά του και πρέπει εμείς με βάση αυτή την ιδιότητα να ψάξουμε να τον βρούμε.

pantsik είπε...

@offspring: Δεν συμφωνώ με αυτό που λες. Η φράση "ο μικρότερος φυσικός αριθμός του συνόλου Α" προσδιορίζει έναν και μόνο έναν αριθμό, ακόμα και αν δεν ξέρουμε ποιος είναι. Απλή περιγραφή μιας ιδιότητάς του θα είχαμε αν από τη φράση θα μπορούσαν να προκύψουν περισσότεροι του ενός αριθμοί. Για παράδειγμα η φράση "ένας ζυγός φυσικός αριθμός μεταξύ του 1 και του 10" περιγράφει μια ιδιότητα του ζητούμενου αριθμού, ενώ η φράση "ένας ζυγός φυσικός αριθμός μεταξύ του 1 και του 3" προσδιορίζει τον ζητούμενο αριθμό.

pantsik είπε...

@offspring: Τελικά τα κατάφερες! Συγχαρητήρια!

pantsik είπε...

@Christine MgKl: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

Ανώνυμος είπε...

η προταση 6 ειναι εσφαλμενη διοτι τελικα διαπιστωσαμε οτι υπαρχουν φυσικοι αριθμοι που μπορουν να περιγραφουν με 14 λεξεις η λιγοτερες,οχι ομως οτι δεν υπαρχουν αριθμου οι οποιοι μπορουν να περιγραφουν με παραπανω απο 14 λεξεις...gousia for ever

pantsik είπε...

@gousia: Αποδείξαμε αυτό το τελευταίο που λες με τη μέθοδο της ατόπου απαγωγής.

Geniuskanela είπε...

αν λ οι λεξεις του λεξικου τοτε μπορουμε να προσδιορισουμε λ^14 φυσικους αριθμους. το λαθος ειναι στο βημα 3 (Τότε ο αριθμός Ν **ΜΠΟΡΕΙ** να ορισθεί ως «ο μικρότερος φυσικός αριθμός που δεν μπορεί να προσδιορισθεί με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες».) Ο Ν δεν μπορει να οριστει ετσι καθως καποιος αλλος απο τους λ^14 αριθμους εχει ηδη οριστει ετσι(χωρις να ισχυει ο ορισμος του βεβαια, εχει απλως βαφτιστει ετσι)

pantsik είπε...

@Geniuskanela: Δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε λ^14 αριθμούς γιατί δεν αντιστοιχεί ένας αριθμός σε κάθε συνδυασμό λέξεων (δες σχόλια παραπάνω).

pantsik είπε...

@swt: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή. Το καλαμπούρι με τα ζώδια ήταν πολύ καλό!

pantsik είπε...

@Michalis: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

mstasos είπε...

Ο συλλογισμός δεν έχει καμία λογική. Από που κ ως που προσδιορίζεται ένας φυσικός αριθμός απλά με το λεγόμενο του αν προσδιορίζεται από α αριθμό λέξεων. Δεν ξέρω που πιστεύεις ότι βρίσκεται το λάθος αλλά ο συλλογισμός έχει βάση όσο βάση έχει το ο αστυνομικός είναι μπουζούκι... Ο ορισμός ενός συνόλου αριθμών είναι μια ορισμένη πρόταση και το να συγκρίνεις τον αριθμό των λέξεων με τους αριθμούς είναι σαν να λες ορίζω όλα τα πορτοκάλια του κόσμου με μία λέξη πορτοκάλια και να χαίρεσαι. Μπράβο και τι κατάλαβες...

pantsik είπε...

@mstasos: Νομίζω πως δεν κατάλαβες την επιχειρηματολογία που χρησιμοποιώ. Δεν προσδιορίζω τον Ν απλώς λέγοντας πως προσδιορίζεται από 14 λέξεις. Προσδιορίζω τον Ν με μια φράση που τυγχάνει να αποτελείται από 14 λέξεις. Και αυτή η φράση όντως προσδιορίζει τον Ν γιατί τον χαρακτηρίζει ως τον μικρότερο ενός συνόλου φυσικών αριθμών.

Stoyo είπε...

Λέγοντας "ο μικρότερος φυσικός αριθμός που δεν μπορεί να προσδιορισθεί με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες" δεν ορίζουμε τον αριθμό σε σχέση με άλλους αριθμούς απλά τον περιγράφουμε έχοντας ως βάση τη γραμματική και όχι την αριθμιτική. Δεν ξέρω αν έγινα κατανοητός!

pantsik είπε...

@Stoyo: Δεν συμφωνώ. Τον προσδιορίζουμε με τρόπο που κανένας άλλος δεν θα μπορούσε να έχει αυτήν την ιδιότητα.

pantsik είπε...

@Stoyo: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

Blima είπε...

Τι σημαινει προσδιοριζω?

pantsik είπε...

@Blima: Το προσδιορίζω εδώ χρησιμοποιείται με την έννοια ότι περιγράφω με λέξεις έναν αριθμό έτσι ώστε η περιγραφή μου αυτή να μην μπορεί να αντιστοιχιστεί σε κανέναν άλλον αριθμό.

pantsik είπε...

@gaga: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

pantsik είπε...

@Lithium: Ναι, αυτό είναι.

pantsik είπε...

@stratos: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

pantsik είπε...

@kostas: Δεν κατάλαβα τι εννοείς. Γίνε πιο αναλυτικός.

Πάνος είπε...

O N είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που δεν μπορεί να προσδιοριστεί με 14 λέξεις.
Όλες οι λέξεις δημιουργούν Υ συνδιασμούς και προσδιορίζουν τόσους αριθμούς.
Επομένως Ν=Υ+1
Ο Ν δεν μπορεί να προσδιοριστεί με τη συγκεκριμένη φράση, επειδή σύμφωνα με την υπόθεση, αυτή έχει ήδη χρησιμοποιηθεί.

pantsik είπε...

@Πάνος: Οι Υ συνδυασμοί 14 ή λιγότερων λέξεων δεν προσδιορίζουν Υ αριθμούς. Μόνο λίγοι συνδυασμοί από αυτούς το κάνουν. Δηλαδή οι συνδυασμοί λέξεων δεν είναι κωδικοί προσδιορισμού αριθμών, είναι φράσεις της ελληνικής γλώσσας που για να προσδιορίζουν αριθμούς θα πρέπει να έχουν κάποιο νόημα.
Δεν θεωρώ λάθος την απάντησή σου επειδή παρανόησες την εκφώνηση. Επειδή αρκετοί λύτες νομίζουν το ίδιο πράγμα, την τροποποιώ λίγο για να μη δημιουργείται παρεξήγηση.

pantsik είπε...

@Πάνος: Το όνομά σου έχει link που αποκαλύπτει το email σου. Αν σε ενοχλεί αυτό πες μου να διαγράψω το μήνυμά σου.
Γράψε μου επίσης σε ποιους άλλους γρίφους έχεις στείλει απάντηση για να σε συμπεριλάβω στη βαθμολογία.

saxon είπε...

egw 8elw n zitisw mia dieukrinisi prin steilw tn apantisi p exw st mualo m...
an 8eloume n apodeiksoume mia idiotita p isxuei g olous t fusikous ari8mous apoti 8uamami apo t 2a lukeiou(5 xronia prin...) xrisimopoioume tn ma8imatiki epagwgi k oxi tn eis atopo epagwgi...mipws prepei ekei n epikentrw8w??

pantsik είπε...

Η Επαγωγή είναι μια μέθοδος απόδειξης που ταιριάζει γάντι στους φυσικούς αριθμούς, αλλά δεν είναι η μόνη χρήσιμη μέθοδος γι αυτό το σύνολο. Δεν σημαίνει δηλαδή πως όταν βλέπεις μια διαφορετική μέθοδο απόδειξης να εφαρμόζεται στους φυσικούς αριθμούς θα είναι αναγκαστικά λάθος.

pantsik είπε...

@jimvoda: Είσαι κοντά αλλά δεν με καλύπτει πλήρως η απάντησή σου. Δεν σου φαίνεται αντιφατικό το συμπέρασμα που καταλήγεις;
Συμπλήρωνε καλύτερα το ψευδώνυμό σου εκεί που λέει "ONOMA / Διεύθυνση URL".

pantsik είπε...

@saxon: Όχι, δεν βασίζεται στην ίδια λογική αυτό το παράδοξο.

pantsik είπε...

@kraptaki: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

pantsik είπε...

@saxon: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

Spyros είπε...

Στο 2ο βήμα παίρνεις μια συνθήκη πως εφόσον οι φυσικοί αριθμοί είναι διατεταγμένοι οφείλουν και οι προσδιορισμοί του εκάστοτε αριθμού να δημιουργούν ένα σύνολο που να είναι και αυτό διατεταγμένο και μάλιστα με αντιστοιχία 1-1 ως προς το σύνολο των φυσικών αριθμών πράγμα που δεν μπορούμε να το γνωρίζουμε αφού δεν υπάρχει μια συγκεκριμένη διαδικασία που να περνάμε από το ένα σύνολο στο άλλο.

pantsik είπε...

@Spyros: Δεν παίρνω προϋπόθεση να υπάρχει αντιστοιχία 1-1. Στην πραγματικότητα το σύνολο των ορισμών των φυσικών αριθμών αντιστοιχεί στο σύνολο των φυσικών αριθμών με σχέση πολλά-προς-1. Δηλαδή είναι δυνατόν να προσδιορισθεί οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός με περισσότερους από έναν τρόπους.

pantsik είπε...

@Zaxarias: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

pantsik είπε...

@Nikmoyzak: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

Nick είπε...

Πιστεύω πως η μέθοδος αυτή δημιουργεί αντίφαση γιατί η εις άτοπο απαγωγή εφαρμόζεται εσφαλμένα.

Εφόσον χρησιμοποιείς αυτή τη μέθοδο και λες "Υποθέτουμε πως υπάρχουν φυσικοί αριθμοί που δεν μπορούν να προσδιορισθούν με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες.", πρέπει έπειτα να επιλέξεις έναν τυχαίο φυσικό αριθμό Ν που να έχει αυτή την ιδιότητα και όχι συγκεκριμένο και έπειτα να αποδείξεις τη συγκεκριμένη πρόταση. Συνεπώς αυτή η μέθοδος δεν αποτελεί έγκυρη απόδειξη

Δεν ξέρω άμα λέω βλακείως, αλλά αν όντως το κάνω πες το μου.

Πάντως αυτός ο γρίφος είναι πανέξυπνος. Συγχαρητήρια αν είναι δικός σου.


Επίσης, επειδή, από ό,τι βλέπω, ζητάς από πολλούς χρήστες να συμπληρώνουν το όνομά τους στην επιλογή Όνομα/Διεύθυνση URL, θα το κάνω και γω, αν μου το ζητήσεις.

pantsik είπε...

@Nick: Όχι, αυτό που λες ισχύει στην ευθεία απόδειξη που θέλουμε να δείξουμε πως κάτι ισχύει για κάθε Ν. Στην άτοπο απαγωγή μπορώ να πάρω όποιο Ν με βολεύει ώστε να αναδείξω μια αντίφαση.
Δεν είναι δικός μου ο γρίφος, αλλά συμφωνώ πως έχει πολύ ενδιαφέρον.
Αυτό με τη συμπλήρωση του ονόματος το λέω σε όσους επιλέγουν αποστολή σαν Ανώνυμος αλλά στο τέλος του μηνύματος βάζουν το ψευδώνυμό τους. Εσύ που έχεις δημιουργήσει λογαριασμό στο blogger είσαι ΟΚ.

pantsik είπε...

@ΘΑΝΑΤΟΣ: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

pantsik είπε...

@Ανώνυμος στο Γρίφοι τη 06 Ιούλιος, 2011 21:43: Θεωρητικά πρέπει να έχει.

stavgeor είπε...

Αφού ο Ν είναι "ο μικρότερος φυσικός αριθμός που δεν μπορεί να προσδιορισθεί με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες" από αυτούς που δεν μπορούν να προσδιοριστούν και τελικά προσδιορίζεται, τότε θα έπρεπε να μπορούν να προσδιοριστούν και οι Ν-1, Ν-2, κτλ οι οποίοι δεν μπορούν να προσδιοριστούν
π.χ. "ο κατά ένα μικρότερος από τον μικρότερο φυσικό αριθμό που δεν μπορεί να προσδιορισθεί με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες"
(18 λέξεις) :)

pantsik είπε...

@stavgeor: Οι αριθμοί Ν-1 και Ν-2 πρέπει να έχουν μια διαφορετική περιγραφή που τους προσδιορίζει το πολύ με 14 λέξεις. Γιατί αν ο μικρότερος από αυτούς δεν έχει τέτοια περιγραφή τότε θα ήταν αυτός στη θέση του Ν.

Ανώνυμος είπε...

η απόδειξη ισχύει μόνο για ένα συγκεκριμένο αριθμό...

pantsik είπε...

@Αρκεί ένας μόνο αριθμός που οδηγεί την υπόθεση σε αντίφαση, για κατάρριψη όλης της υπόθεσης.

pantsik είπε...

@killerado: Στο βήμα 1 δεν υποθέτουμε πως έχουν χρησιμοποιηθεί όλοι οι λεκτικοί συνδυασμοί λέξεων (οι οποίοι πρέπει να έχουν ένα νόημα τέτοιο που να αντιστοιχεί σε κάποιον αριθμό). Υποθέτουμε πως υπάρχουν αριθμοί τόσο μεγάλοι που δεν αρκούν 14 λέξεις για να τους περιγράψουν. Δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε όλες τις δυνατές φράσεις για να ισχύει το δεύτερο.

kwstas148 είπε...

για να το πω απλα ειναι σαν να σου ζητανε να δειξεις πχ χ=κ
και να λες:
εστω χ=κ
αρα θα ιχυει 3χ=3κ
διαιρω με το 3 και εχω χ=κ αρα αποδειχτηκε χ=κ
οταν χρησιμοποιεις εστω αυτο πρεπει να καταληγεις σε κατι που ειναι κοινως αποδεκτο οτι ισχυει κ οχι σ αυτο που υπεθεσες οτι ισχυει
πχ εστω χ=κ ...
καταληγω 3=3 που ισχυει αρα ισχυει και το αρχικο .εμεις πηραμε το ν και το χρησιμοποιησαμε οπως το χ,κ στην πρωτη περιπτωση

pantsik είπε...

@kwstas148: Δεν χρησιμοποιώ τη λανθασμένη μέθοδο απόδειξης που αναφέρεις αλλά τη μέθοδο της ατόπου απαγωγής. Για να ακολουθήσω το δικό σου παράδειγμα λέω:
Θέλω να αποδείξω πως x=k.
Υποθέτω πως x<>k.
Αν καταφέρω με λογικά - μαθηματικά βήματα να καταλήξω σε αντίφαση (π.χ. 1=2) τότε η αρχική μου υπόθεση ήταν λάθος. Οπότε δεν ισχύει πως x<>k και άρα όντως x=k.

kwstas148 είπε...

το ξερω οτι δεν χρησιμοποιεις αυτη ξερω πιστευω πλ καλα μθμτκ.αλλα ειναι η ιδια λογικη και δεν μπορω να κατσω να τη λεω με το συγκεκριμενο πχ το δικο σου.δεν θελω βαθμολογιες και τετοια αλλα αν και δεν την κοιταξα καλα ειναι η ιδια λογικη

kwstas418 είπε...

λες ο Ν ειναι ο μικροτερος που δεν μπορει να προσδιοριστει..αυτο ειναι λαθος αφου Νε[0,+00)
και ειναι σαν να μου ζητουσαν να βρω ποιος ειναι ο μικροτερος ακεραιος απο ολους ή ποσοι αριθμοι παγματικοι βρισκονται στο (1,2).δεν μπορω να υποθεσω και να συμβολοσω καποιον με ν,χ,υ κτλ αφου ειναι απειροι.α και κατι ακομα φυσικος ειναι και το μηδεν μην τους τα λες λαθος.απλα μπορει να ανηκει και στους φυσικους και στους ακαιρεους και στους πραγματικους.στις ασκησεις οταν θελουν να πουν οτι το χ ειναι φυσικος λενε χεΝ με το μηδεν μεσα ενω οταν θελουν να πουν χ ειναι φυσικος αλλα οχι μηδεν λενε χεΝ με ενα αστερακι πανω στο Ν

kwstas148 είπε...

και κατι τελευταιο συνηθως η ατοπο επαγωγη λεμε εστω οτι ισχυει και καταληγουμε σε ατοπο αρα δεν ισχυει.οχι το αντιθετο.αν και φυσικα γινεται και το αντιθετο απλα εχει πολλες παγιδες μερικες φορες και σου φενεται λογικο και ειναι λαθος.καλη ωρα οπως εδω

pantsik είπε...

@kwstas148: Το Ν δεν ανήκει στο [0, +άπειρο] γιατί προφανώς τα 0,1,2,κλπ. μπορούν να προσδιορισθούν με 14 λέξεις ή λιγότερες. Επίσης μπορείς να συμβολίσεις κάποιον από τους φυσικούς αριθμούς με Ν, ακόμα και αν δεν ξέρεις ποιος είναι. Συνεπώς δεν βρίσκεται το λάθος εκεί που αναφέρεις.
Πράγματι το αν το μηδέν ανήκει ή όχι στο σύνολο των φυσικών είναι θέμα σύμβασης και ο καθένας το χρησιμοποιεί όπως θέλει. Κάποιοι βάζουν Ν* για να δείξουν πως το 0 δεν περιλαμβάνεται στους φυσικούς και κάποιοι βάζουν Νο για να δείξουν πως το 0 περιλαμβάνεται στους φυσικούς. Δεν είναι λάθος ούτε το μεν ούτε το δε, απλά οι μαθηματικοί δεν έχουν θέσει έναν σαφή κανόνα στο θέμα αυτό που να έχει ισχύ σε όλους τους τομείς των μαθηματικών.
Στην άτοπο απαγωγή υποθέτεις το αντίθετο της αρχικής πρότασης. Δεν έχει σημασία πως εφαρμόζεται συνήθως.

pantsik είπε...

@cascader: Όμως η πρόταση λέει πως ο αριθμός ΔΕΝ μπορεί να προσδιορισθεί με 14 λέξεις. Άρα οι N=X βρίσκονται στο σύνολο των μη προσδιορισμένων αριθμών.
Γράψε τη σκέψη σου λίγο καλύτερα.

pantsik είπε...

@theo: Δεν αντιστοιχίζεται κάθε δυνατή πρόταση στο σύνολο των αριθμών που μπορούν να περιγραφούν με 14 λέξεις. Μόνο οι προτάσεις αυτές που έχουν νόημα και που μπορούν πράγματι να προσδιορίσουν έναν αριθμό.

theo είπε...

Me ayth th logikh apo th stigmh pou oi fysikh ari8moi einai men apeiroi alla apari8mhsimoi tote mporoume eykola na tous prosdiorisoume olous prosdiorizontas ena systhma apeirwn le3ewn.P.x.to 0 onomazetai "A"
to 1 onomazetai "B"
.......
to 9 onomazetai "I"
Opote to 910 as poume legetai IBA to opoio einai mia le3h ane3arthta me ta posa grammata mporei na exei.
Opote an 8etoume nees le3eis to esfalmeno meros tou syllogismou einai oti oi le3eis einai peperasmenes.

pantsik είπε...

@theo: Ο γρίφος δεν προϋποθέτει πως κατασκευάζουμε νέες λέξεις. Χρησιμοποιούμε λέξεις του ελληνικού λεξικού και προτάσεις που βγάζουν νόημα στον οποιοδήποτε. Π.χ. για να προσδιορίσουμε τον αριθμό 3 μπορούμε να πούμε "ο φυσικός αριθμός που βρίσκεται μεταξύ του 2 και του 4".

pantsik είπε...

@theo: Τη φράση που χρησιμοποιώ για το Ν δεν θέλω να την χρησιμοποιήσω για τον αμέσως μεγαλύτερο αριθμό αλλά μόνο για το Ν. Το ότι δεν υπάρχει μικρότερος αριθμός του συνόλου των φυσικών που δεν μπορούν να ορισθούν με 14 λέξεις προφανώς δεν είναι σωστό. Κάποιος πρέπει όντως να είναι ο μικρότερός τους.
Επίσης σε παρακαλώ όταν γράφεις μεγάλα μηνύματα γύρνα το πληκτρολόγιο στα ελληνικά γιατί δυσκολεύομαι να τα διαβάζω σε greeklish.

pantsik είπε...

@Ανώνυμος στο Γρίφοι τη 13 Νοέμβριος, 2011 02:14: Δεν κατάλαβα πως συνδέεις τον ορισμό που δίνεις με την εξήγηση του παραδόξου, αλλά θεωρώ την εξήγησή σου σωστή.
Από το περιεχόμενο του μηνύματός σου, μαζί με το άλλο στον Πάπα, μαντεύω πως είσαι μαθηματικός. Χρησιμοποίησε αν θέλεις ένα ψευδώνυμο για να σε αναγνωρίζω και γράφε αν μπορείς ελληνικά.

Ανώνυμος είπε...

xairomai pou theoreis oti h mathimatikh mou logikh kai oi gnwseis m einai sta epipeda enos mathimatikou alla eimai arketa mikroteros....

Ανώνυμος είπε...

πως μπορω να εχω ψευδονυμο;

pantsik είπε...

@Ανώνυμος στο Γρίφοι τη 13 Νοέμβριος, 2011 17:45: Αν είσαι αρκετά μικρότερος τότε έχεις ταλέντο! Μήπως είσαι ο νέος Ραμανουτζάν; :-)
Όταν θα στέλνεις ένα σχόλιο δεν θα κλικάρεις το "Ανώνυμος" αλλά το "Όνομα/Διεύθυνση URL" και θα συμπληρώνεις ένα ψευδώνυμο, το ίδιο κάθε φορά.
Διάλεξε ένα και πες μου ποιους γρίφους έχεις απαντήσει μέχρι στιγμής.

theo είπε...

Na sou pw re file. O ka8e ari8mos mporei h den mporei na xrhsimopoih8ei san mia le3h?
An mporei tote oi le3eis einai apeires (opws oi ari8moi). Se ayth thn periptwsh ontws oloi oi fysikoi prosdiorizontai eykola ws e3hs: to 1 ws "o mikroteros fysikos",to n ws "o fysikos megalyteros tou 1 kata n-1" opou o n-1 einai mia le3h.
An den mporei tote den exeis dikaiwma na xrhsimopoihseis to 14 ston prosdiorismo tou N. Diale3e.

pantsik είπε...

@theo: Τώρα λες κάτι διαφορετικό. Ο κάθε αριθμός όντως μπορεί να γραφεί με λέξεις. Για παράδειγμα ο αριθμός 198 γράφεται "εκατόν ενενήντα οκτώ". Χρησιμοποιούνται έτσι 3 λέξεις ενός ελληνικού λεξικού. To 198 σαν αριθμός δεν υπάρχει στο λεξικό, οπότε δεν μπορείς να το χρησιμοποιήσεις απευθείας.
Η φράση που λες: "ο φυσικός μεγαλύτερος του ένα κατά {n-1}" περιλαμβάνει τον αριθμό {n-1} γραμμένο με λέξεις. Αν ο n-1 είναι πολύ μεγάλος αριθμός τότε θα χρειαστούν περισσότερες από 14 λέξεις για να σχηματίσεις αυτή τη φράση και άρα ο n ίσως ανήκει στο σύνολο των αριθμών που δεν μπορούν να περιγραφούν με 14 λέξεις.
Ελπίζω τώρα να κατάλαβες πώς γίνεται οι λέξεις που περιγράφουν έναν αριθμό να είναι πεπερασμένες.

pantsik είπε...

@theo: Συγχαρητήρια! Η τελευταία σου απάντηση ήταν σωστή.

pantsik είπε...

@Ανώνυμος στο Γρίφοι τη 06 Δεκέμβριος, 2011 09:41: Δεν κατάλαβα τι εννοείς. Μπορείς να πεις συγκεκριμένα που είναι το λάθος στη δική μου διατύπωση της απόδειξης;

gedelbil είπε...

Δεν μπορείς να συμβολίσεις τον αριθμό Ν ως «ο μικρότερος φυσικός αριθμός που δεν μπορεί να προσδιορισθεί με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες» διότι, αφού χρησιμοποιείς τις 14 αυτές λέξεις για να συμβολίσεις φυσικούς, σημαίνει ότι έχεις εξαντλήσει ήδη όλους τους δυνατούς συνδυασμούς των 14 αυτών λέξεων, άρα ο συγκεκριμένος συνδυασμός αντιστοιχεί σε κάποιον άλλο φυσικό διαφορετικό του Ν.

pantsik είπε...

@gedelbil: Δεν κατάλαβα τι εννοείς. Αν εννοείς πως κάθε συνδυασμός 14 λέξεων πρέπει να αντιστοιχεί απαραίτητα σε κάποιον φυσικό αριθμό τότε αυτό δεν συμβαίνει. Οι φράσεις που προσδιορίζουν τον κάθε αριθμό πρέπει να έχουν νόημα τέτοιο ώστε ο καθένας που θα διαβάσει τη φράση να καταλήγει στον ίδιο πάντα αριθμό, χωρίς κανενός είδους σύμβαση ή κωδικοποίηση. Μόνο απλά ελληνικά.

pantsik είπε...

@Θανάσης Παπαδημητρίου: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή. Είσαι καλά διαβασμένος!

ION είπε...

Πιστευω πως το λαθος ειναι στην υποθεση. Αυτη λεει: υπαρχουν φυσικοι αριθμοι που μπορουν να προσδιορίστουν με 15 λεξεις ή παραπανω(οχι 14ή λιγοτερες).ενταξει αυτο σιγουρα ισχυει αλλα δεν λεει οτι ΟΛΟΙ μπορουν. Δηλαδη τελικα καταληγω οτι δεν υπαρουν αριθμοι που μπορουν να προσδιοριστουν με 15 λεξεις ή παραπανω=υπαρχουν αριθμοι που δεν μπορου να προσδιοριστουν με 15 λεξεις ή παραπανω που παλι δεν βγαινει απολυτο συμπερασμα . Αν εχω κανει λαθος υποδειξε παρακαλω!

pantsik είπε...

@ΙΟΝ: Η φράση "υπάρχουν φυσικοί αριθμοί που δεν μπορούν να προσδιορισθούν με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες" οδηγεί στο συμπέρασμα πως αυτοί οι αριθμοί μπορούν τελικά να προσδιοριστούν με 15 λέξεις ή περισσότερες. Οπότε δεν υπάρχει λάθος διατύπωσης.

ION είπε...

Αρα τελικα η απαντηση μου ειναι σώστη;

pantsik είπε...

@ΙΟΝ: Όχι. Αλλού είναι η εξήγηση του παραδόξου.

pantsik είπε...

@Crocodile23: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

vassild είπε...

Με την 5 αποδειξαμε ότι η υπόθεσή μας ειναι ψευδής , άρα Υπάρχουν φυσικοί αριθμοί που ΜΠΟΡΟΥΝ να προσδιοριστουν με 14 ή λιγοτερες λέξεις.Αυτή είναι η αντίθετη προταση της ψευδούς υπόθεσης 1.

Το παραδοδοξο δηλαδή προκυπτει από την υπόθεση ότι οχι όλοι(οποτε Ν=0) αλλά ΚΑΠΟΙΟΙ κλπ

pantsik είπε...

@vassild: Το αντίθετο της υπόθεσης στο βήμα 1 δεν είναι η πρόταση που γράφεις, αλλά η πρόταση "ΔΕΝ υπάρχουν φυσικοί αριθμοί που δεν μπορούν να προσδιορισθούν με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες". Άρα καταλήγουμε στο συμπέρασμα του βήματος 6.
Ούτε η προσπάθεια που έκανες στο 2ο μήνυμά σου είναι πειστική. Προσπάθησέ το κι άλλο και αν δεν τα καταφέρεις ξαναγράψε μου.

ismini είπε...

Εφόσον οι φυσικοί αριθμοί είναι άπειροι και συνεπώς δεν μπορούν να αντιστοιχιστούν ΟΛΟΙ με κάποιον συνδυασμό 14 ή λιγότερων λέξεων,(ΟΠΩΣ ΕΙΠΑΤΕ ΣΤΗΝ ΑΡΧΗ,ΚΑΙ ΑΥΤΟ ΕΙΝΑΙ ΠΟΥ ΘΕΛΟΥΜΕ ΝΑ ΑΠΟΔΕΙΞΟΥΜΕ , ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΙ ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΕΝΑΣ ΘΑ ΜΠΟΡΕΙ. Υποθέσατε πως υπάρχουν φυσικοί αριθμοί που δεν μπορούν να προσδιορισθούν με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες και ΕΝΑΣ από αυτούς προσδιορίζεται με δεκατεσσερεις. Αυτό δεν συνεπάγεται πως ΟΛΟΙ μπορει να εκφραστουν με 14 ή λιγοτερεις. Αυτό άλλωστε υποστηριζει και η πρώτη πρόταση του μηνυματος που στέλνω.

pantsik είπε...

@ismini: Πρέπει όμως να βρεις που βρίσκεται το λάθος στην απόδειξη που προτείνω, το συμπέρασμα της οποίας είναι αντίθετο με αυτό που συνάγεις.

pantsik είπε...

@percival: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

sbetsika είπε...

Αν και δεν πολυκατάλαβα τη λογική του γρίφου θα κάνω μια προσπάθεια να μπω στη λογική του.
Στο βημα 3 γραφει:
Ο Ν μπορεί να ορισθεί ως "ο μικρότερος φυσικος αριθμός που ΔΕΝ μπορει να προσδιορισθεί με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες". Αρα παραμενει ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΟΣ.
Αυτή η πρόταση το μόνο που κανει ειναι να ορίσει, με διατύπωση 14 λέξεων οτι ο Ν ειναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ... Ε, καποιος θα ειναι.
Αρα δεν υπάρχει αντίφαση και η υπόθεση που έγινε στο βήμα 1 παραμένει σωστή.

pantsik είπε...

@sbetsika: Το βήμα 3 αναφέρει πως ο Ν δεν μπορεί να προσδιοριστεί με 14 λέξεις, αλλά μπορεί να προσδιοριστεί με περισσότερες, όπως δεχτήκαμε στα βήματα 1-2. Άρα δεν είναι γενικά απροσδιόριστος.

sbetsika είπε...

Eνταξει, η διατύπωση μου δεν ειναι η καλύτερη δυνατή και ίσως και ελλειπής, αλλά το νόημα της ή τουλάχιστον αυτό που ηθελα να πω δεν εχει καμμία σχέση με αυτό που κατάλαβες. Με το "Αρα παραμενει ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΟΣ" (Ο.Κ., ειναι λάθος αλλά μονο σαν διατύπωση) ηθελα να πω οτι ετσι παροτι η φραση εχει 14 λεξεις ο Ν ΠΑΡΑΜΕΝΕΙ αριθμος που δεν εχει προσδιοριστει, εκτος συνολου αριθμων που προσδιοριζονται με 14 λεξεις η λιγοτερες(α-προσδιοριστος με 14 λεξεις η λιγοτερες και οχι γενικα απροσδιοριστος ομως γραφεις.
Με το "Ε, καποιος θα ειναι εννοω οτι υπαρχει καποιος αριθμος που ειναι ο μικροτερος αυτων που δεν μπορουν να προσδιοριστουν...κ.λ.π και οχι γενικα καποιος αριθμος, οπως γραφεις. Εν κατακλείδι εκφρασα τη συμφωνια μου με το βημα 3 και οχι τη διαφωνία μου με αυτο, ΔΕΝ θεωρω οτι υπαρχει αντιφαση σαυτο με τα βηματα 1 και 2 "Αρα δεν υπαρχει αντιφαση."
Λαθος ειναι το βημα 4 που ερμηνευει οτι η προταση "στο βημα 3 επειδη γραφεται με 14 λεξεις προσδιοριζει τον Ν. Ο Ν συνεχιζει να μην εχει προσιορισθει. "Ο μικροτερος φυσικος αριθμος που δεν μπορει να προσδιορισθει με δεκατεσσερις λεξεις η λιγοτερες" δεν ειναι αριθμος.(1,2,3,....,ν,....

pantsik είπε...

@sbetsika: Εντάξει, παραδέχομαι πως δεν κατάλαβα το νόημα του πρώτου μηνύματός σου. Λες δηλαδή πως στο βήμα 3 ο αριθμός Ν παραμένει απροσδιόριστος γιατί δεν μπορούμε να τον αντιστοιχίσουμε με κάποιον συγκεκριμένο φυσικό αριθμό 1,2,3, κλπ. Ο τρόπος που εννοώ εγώ τον προσδιορισμό όμως μπορεί να είναι πλάγιος. Δηλαδή μπορεί να έχουμε προσδιορίσει έναν αριθμό με μία φράση ακόμα και αν δεν μπορούμε να γράψουμε αυτόν τον αριθμό με ψηφία.
Θα σου δώσω ένα άλλο παράδειγμα μιας τέτοιας φράσης: "Ο μικρότερος φυσικός αριθμός που μπορεί να εκφραστεί σαν άθροισμα δύο κύβων με δύο διαφορετικούς τρόπους". Ξέρεις ποιος είναι αυτός ο αριθμός; ούτε κι εγώ. Και όμως τον προσδιόρισα με αυτή την φράση. Αν κάτσουμε να ελέγξουμε όλους τους φυσικούς αριθμούς από την αρχή, θα καταλήξουμε πως ο πρώτος αριθμός που παρουσιάζει αυτήν την ιδιότητα είναι ο 1729, γιατί 1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3. Είχα δηλαδή προσδιορίσει τον αριθμό 1729 χωρίς να το ξέρω.

sbetsika είπε...

Τωρα μαλιστα, με το 2ο σχολιο σου καταλαβες ακριβως. Εκτιμω που δημοσιευσες ολοκληρο το δευτερο σχολιο μου γιατι με την δημοσιευση του πρωτου σχολιου μου ενοιωσα δημοσιως βλακας. Νομιζω δε οτι αρχισα να μπαινω στη λογικη του γριφου, βοηθησε, η νομιζω οτι βοηθησε, η σαφης αναπτυξη του πλαγιου τροπου προσδιορισμου. Θα επιχειρησω αλλη μια προσπαθεια εν μερει στα "τυφλα", διαισθητικα.
Εφοσον ο Ν οριζεται ως "ο μικροτερος φυσικος αριθμος που δεν μπορει να προσδιορισθει με δεκατεσσερις λεξεις η λιγοτερες τοτε ο Ν-1(Ν μειον ενα) ειναι " ο μεγαλυτερος φυσικος αριθμος που μπορει να προσδιορισθει με δεκατεσσερις λεξεις η λιγοτερες. Ετσι εχουμε τους Ν, Ν-1 Φυσικους αριθμους που προσδιοριζονται με δεκατεσσερις λεξεις η λιγοτερες και μαλιστα τον Ν-1 τον μεγαλυτερο εξ αυτων δηλαδη Ν-1>Ν, πραγμα αδυνατον. Αρα η αποδειξη ειναι λανθασμενη

pantsik είπε...

@sbetsika: Ο λόγος που δημοσιεύω όλα τα σχόλια (εκτός των σωστών απαντήσεων) σε αυτόν τον γρίφο είναι για να γίνεται λίγο πιο ζωντανός διάλογος και να διαβάζονται διάφορες απόψεις. Δεν θεωρώ καμία ανεξαιρέτως προσπάθεια που δημοσιεύεται εδώ ανόητη. Αν παρόλ' αυτά κάποια μηνύματά σου δεν θέλεις να δημοσιεύονται, π.χ. γιατί δεν τα διατύπωσες καλά, μπορείς να μου γράφεις να τα αφαιρώ.
Στο θέμα μας τώρα: Μπορεί στο σύνολο των αριθμών που προσδιορίζονται με 14 λέξεις ή λιγότερες να υπάρχουν αριθμοί μεγαλύτεροι από τον Ν. Π.χ. "το γινόμενο των πρώτων εκατό εκατομμυρίων φυσικών αριθμών". Έτσι δεν ισχύει η παραδοχή πως ο αριθμός Ν-1 είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορεί να προσδιορισθεί με 14 λέξεις ή λιγότερες. Ελπίζω αυτό να απαντάει στην προσπάθειά σου.

Leo28 είπε...
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από έναν διαχειριστή ιστολογίου.
pantsik είπε...

@Leo28: Το 231 μπορείς να το προσδιορίσεις με ευθύ τρόπο όπως λες, ή με πλάγιο τρόπο περιγράφοντας μια ιδιότητά του που την έχει μόνο αυτός ο αριθμός.
Στο προσδιορισμό του Ν χρησιμοποίησα 14 λέξεις ακριβώς, όχι 15.

pantsik είπε...

@Leo28: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή. Η έκφρασή σου είναι πολύ καλή.

pantsik είπε...

@jason1996: Παρόλο που όπως λες υπάρχει αριθμός Μ που δεν προσδιορίζεται με 14 λέξεις, δεν ξεδιαλύνεις τι γίνεται με τον Ν. Το βήμα 5 αναφέρεται στον Ν όχι σε κάποιον Μ και το βήμα 6 προκύπτει ως λογική συνέπεια του βήματος 5.

sbetsika είπε...

Η πρόταση “ο μικρότερος φυσικός αριθμός που δεν μπορεί να προσδιορισθεί με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες.” είναι αόριστη, δεν μας παραπέμπει στον Ν, για να γίνει αυτό έπρεπε να γραφεί
“ο αριθμός Ν (μπορεί να ορισθεί ή οριζεται) ως ο μικρότερος φυσικός αριθμός που δεν μπορεί να προσδιορισθεί με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες».
Συνεπως λεξεις αρκετά παραπάνω απο 14 ή λιγοτερες

pantsik είπε...

@sbetsika: Ακόμα και αν δεχτούμε πως με τη δική σου εκδοχή προσδιορίζεται σωστά ο Ν, το παράδοξο δεν επιλύεται. Θα μπορούσε να ξαναγραφεί ο γρίφος αντικαθιστώντας παντού τον αριθμό 14 με τον αριθμό λέξεων που έχει η δική σου φράση.

pantsik είπε...

@sbetsika: Πλησιάζεις. Δεν καταλαβαίνω τι εννοείς όταν λες πως ο Ν χρεώνεται και τις λέξεις της πρότασης 2. Αυτό συμβαίνει ούτως ή άλλως στον προσδιορισμό του στην πρόταση 3.

pantsik είπε...

@sbetsika: Ο Ν δεν είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί με τόσες πολλές λέξεις όσες έχουν τα βήματα 1 και 2. Αρκεί ο προσδιορισμός του στο βήμα 3 που γίνεται με τις 14 λέξεις μέσα στα εισαγωγικά, χωρίς να γνωρίζουμε τίποτα για τις προτάσεις 1 και 2.

Ανώνυμος είπε...

Γεια και χαρά,

Στο βήμα 4 εμπεριέχεται η αναπόδεικτη θέση πως η έκφραση «ο μικρότερος φυσικός αριθμός που δεν μπορεί να προσδιορισθεί με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες» είναι διαθέσιμη και δεν χρησιμοποιείται ήδη για να περιγράψει κάποιο άλλο αριθμό (από αυτούς που μπορούν να προσδιοριστούν με 14 ή λιγότερες λέξεις).

Φιλικά,
Βαγγέλης

pantsik είπε...

@Βαγγέλης: Ο μικρότερος αριθμός που δεν μπορεί να προσδιορισθεί με 14 λέξεις είναι μόνο ένας. Συνεπώς η φράση αυτή μπορεί να προσδιορίζει μόνο έναν αριθμό.

pantsik είπε...

@sbetsika: Ακριβώς!

pantsik είπε...

@ΕΑΛΕΞΙΟΥ: Σωστή η απάντησή σου.

pantsik είπε...

@Roland_Of_Gilead: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

Βαγγέλης είπε...

Ο/Η pantsik είπε...

> @Βαγγέλης: Ο μικρότερος αριθμός που δεν μπορεί να προσδιορισθεί με 14 λέξεις είναι μόνο ένας. Συνεπώς η φράση αυτή μπορεί να προσδιορίζει μόνο έναν αριθμό.

Δεν είπα πως προσδιορίζει περισσότερους. Ισα-ίσα αυτό που λέω είναι πως (στο βήμα 3 της απόδειξης) η έκφραση αυτή μπορεί ήδη να προσδιορίζει έναν άλλο αριθμό (που προσδιορίζεται με 14 ή λιγότερες λέξεις) και επομένως να μην είναι "διαθέσιμη". Έτσι το βήμα 3 δεν είναι ορθό γιατί αναθέτει στον μικρότερο αριθμό που δεν προσδιορίζεται με 14 ή λιγότερες λέξεις μια έκφραση που δεν είναι "διαθέσιμη". Επομένως η απόδειξη είναι λάθος.

Επλίζω να γίνομαι κατανοητός.

Φιλικά,
Βαγγέλης

pantsik είπε...

@Βαγγέλης: Δεν σε καταλαβαίνω. Πώς γίνεται η φράση στο βήμα 3 να προσδιορίζει κάποιον άλλο αριθμό που μπορεί να προσδιοριστεί με 14 ή λιγότερες λέξεις, όταν η ίδια η φράση είναι: «ο μικρότερος φυσικός αριθμός που δεν μπορεί να προσδιορισθεί με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες» ;

pantsik είπε...

@Βαγγέλης: Η τελευταία απάντηση που έδωσες ήταν σωστή.

Χαράλαμπος Αλεξόπουλος είπε...

Οι 14 λέξεις της φράσης δεν μας είπαν ποιός είναι ο αρθμός

pantsik είπε...

@Χαράλαμπος Αλεξόπουλος: Δεν μας είπαν ευθέως αλλά τον προσδιόρισαν με πλάγιο τρόπο. Αυτό επιτρέπεται.

Thanos είπε...

Για να φτάσουμε στο Βήμα 1 έχουμε σαν δεδομένο ότι έχουν ήδη χρησιμοποιηθεί όλες οι εκφράσεις. Όπως και αυτή του βήματος 3 την οποία ΔΕΝ μπορούμε να ξαναχρησιμοποιήσουμε

pantsik είπε...

@Thanos: Όχι, δεν χρειάζεται να έχουν χρησιμοποιηθεί όλες οι εκφράσεις.

pantsik είπε...

@BOMBER: Δεν μπορώ να πω ότι τα όσα γράφεις δεν είναι σωστά, αλλά δεν με ικανοποιούν ως εξήγηση του παραδόξου.
Στην αρχή συνεχίζεις τη συλλογιστική μου από εκεί που την άφησα και μου δείχνεις πως δημιουργείται παράδοξο. Μα το παράδοξο έχει δημιουργηθεί ήδη εκεί που σταμάτησα, οπότε δεν είναι ανάγκη να μου το επισημάνεις κι εσύ επεκτείνοντας κι άλλο τον συλλογισμό.
Στη συνέχεια με τα σύνολα, το Σο δεν θα μπορούσε να είναι κενό και η απόδειξη ότι δεν είναι κενό αναφέρεται στην εκφώνηση. Μου επισημαίνεις δηλαδή με άλλα λόγια το παράδοξο που κατέληξα κι εγώ.
Το ζητούμενο του γρίφου είναι να βρεις που ακριβώς εντοπίζεται το λάθος στα αριθμημένα βήματα της απόδειξης που έγραψα και το οποίο τελικά οδηγεί στο παράδοξο που επισημάναμε.

pantsik είπε...

@Ανώνυμος στο Γρίφοι τη 02 Ιανουαρίου, 2013 01:22: Δεν ήταν σωστή η απάντησή σου.

pantsik είπε...

@Ανώνυμος στο Γρίφοι τη 03 Ιανουαρίου, 2013 15:15: Δεν ήταν σωστή η απάντησή σου.

pantsik είπε...

@Σωτήρης: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

pantsik είπε...

@ioannesx: Όχι, δεν είναι αυτό.

nikos_ex είπε...

πραγματι η με8οδος απαγωγης σε ατοπο λειτουργει ετσι οπως λες.αν μας ζητησουν να αποδειξουμε πως κατι ισχυει τοτε υπο8ετουμε πως δεν ισχυει.αν μας ζητησουν να αποδειξουμε οτι δεν ισχυει κατι τοτε υπο8ετουμε πως ισχυει.και τις 2 φορες καταληγουμε σε ατοπο.γενικα στη με8οδο αυτη για να ειναι μα8ηματικα αποδεκτη οτι σου λεει εσυ υπο8ετεις ακριβως το αντιστροφο.ΑΚΡΙΒΩΣ ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΟΜΩΣ.η προταση Α υποστηριζει:κα8ε φυσικος αρι8μος μπορει να προσδιορι8ει με το πολυ 14 λεξεις.για να δουλεψω με ατοπο υπο8ετω πως η Α ειναι ψευδης.δλδ υπο8ετω :ΠΩΣ ΥΠΑΡΧΕΙ ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΕΝΑΣ ΦΥΣΙΚΟΣ ΠΟΥ ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣ8ΕΙ ΜΕ ΤΟ ΠΟΛΥ 14 ΛΕΞΕΙΣ.
ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΕΝΑΣ!!!ΟΧΙ ΚΑΠΟΙΟΙ!!!
λεγοντας καποιοι ειναι σαν να λες τουλαχιστον 2.πραγμα που δεν ειναι το αντιστροφο.το αντιστροφο του "κα8ε αρι8μος εχει την ταδε ιδιοτητα" ειναι "τουλαχιστον ενας αρι8μος δεν εχει αυτη την ιδιοτητα."και γ αυτο το λογο συμβολιζουμε τον αρι8μο αυτον με ενα γραμμα πχ χ,υ,ν κτλ.γενικα στο ατοπο οτι αρι8μο αναφερεις τον συμβολιζεις.δεν λες καποιοι και συμβολιζεις τον εναν.δεν μπορεις αυ8αιρετα να υπο8ετεις πως υπαρχουν καποιοι η αποδειξη να στηριζεται σε αυτην την αυ8αιρεσια και να βγαινουν αποτελεσματα για τον ν και να λεμε αρα καταληγουμε σε ατοπο.για να μην σε ζαλιζω αλλο.αντικατεστησε τη φραση καποιοι με τη φραση "τουλαχιστον ενας"και το 2 βημα παει περιπατο και με συνεπεια ολα τα υπολοιπα.

pantsik είπε...

@nikos_ex: Πράγματι, η σωστή διατύπωση θα ήταν τουλάχιστον ένας. Αλλά αυτό δεν χαλάει την πορεία της απόδειξης που προτείνω. Αν είναι δύο ή περισσότεροι τότε ονομάζω Ν τον μικρότερό τους. Αν είναι μόνο ένας τότε ονομάζω αυτόν Ν. Μετά η απόδειξη συνεχίζεται κανονικά από το βήμα 3.

nikos_ex είπε...

λοιπον εχουμε και λεμε.οπως ειπες και συ η σωστη διατυπωση ειναι τουλαχιστον ενας.αν λοιπον στο βημα ενα πουμε οτι υπαρχει τουλαχιστον ενας αρι8μος που...και τον συμβολισουμε ν,στο βημα 2 δεν μπορουμε να πουμε οτι αυτος ο ν ειναι ο μικροτερος αφου εμεις υπο8ετουμε τουλαχιστον 1 τον συμβολιζουμε ν αρα δεν μπορουμε οτι αυτος ειναι ο μικροτερος.αν λοιπον η διατυπωση ηταν τουλαχιστον 1 τοτε το 2 βημα 8α ηταν λα8ος.τωρα που η διατυπωση ειναι καποιοι αυτο μεταφραζεται σε τουλαχιστον 2.αφου καποιοι σημαινει απο 2 και πανω.για να λιτουργησει σωστα η με8οδος πρεπει και ο ν1 και ο ν2(τουλαχιστον 2 ειπαμε)να προδιορισ8ουν με λεξεις<=14 σε πλη8ος.αν νι=15

pantsik είπε...

@nikos_ex: Σε ένα σύνολο που περιέχει μόνο έναν αριθμό, είναι σωστό να πούμε ότι αυτός ο αριθμός είναι ο μικρότερος και ταυτόχρονα ο μεγαλύτερος του συνόλου.
Δεν βρίσκεται στο σημείο που στάθηκες η εξήγηση του παραδόξου.

sf είπε...

η συνθήκη 4 είναι λανθασμένη
οι λέξεις είναι 15 το δεκατέσσερις είναι σύνθετη λέξη, δηλ. στην ουσία είναι 2 λέξεις!
οπότε η πρόταση λέει την αλήθεια!

pantsik είπε...

@sf: Παρόλο που το "δεκατέσσερις" είναι σύνθετη λέξη, είναι καταχωρημένη στο λεξικό ως μία λέξη. Άρα οι λέξεις της φράσης στο βήμα 3 είναι όντως 14.

xaris43 είπε...

Θεωρώ ότι το βήμα 4 είναι λάθος. στο βήμα 3 που χρησιμοποιούνται 14 λέξεις δεν προσδιορίζεται ένας συγκεκριμμένος αριθμός

pantsik είπε...

@xaris43: Στο βήμα 3 προσδιορίζεται ένας συγκεκριμένος αριθμός, απλά δεν ξέρουμε ποιος είναι. Είναι σαν να λέμε "ο μικρότερος μαθητής του 1ου δημοτικού σχολείου Γαλατσίου".

pantsik είπε...

@Nikos Lentzos: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

pantsik είπε...

@Ανώνυμος στο Γρίφοι τη 21 Ιουλίου, 2013 14:20: Όχι ακριβώς. Τα δύο βήματα που αναφέρεις δεν είναι αντιφατικά μεταξύ τους.

pantsik είπε...

@alexpsomi: Γιατί συμβαίνει αυτό που λες στο συγκεκριμένο πρόβλημα; Ποια είναι δηλαδή η καρδιά του παραδόξου;

pantsik είπε...

@alexpsomi: Η δεύτερη πρότασή σου με κάλυψε. Μπράβο.

nerd είπε...

μικρή διευκρίνιση: αποκλείεται δύο ή περισσότεροι φυσικοί αριθμοί να αντιστοιχούν στον ίδιο συνδυασμό λέξεων;

Ανώνυμος είπε...

Μπορεί και να κάνω λάθος, αλλά δεν μπορούμε να περιγράψουμε κάθε φυσικό αριθμό με τις λέξεις: ένας οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός που μπορεί να προσδιοριστεί με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες; Εδώ έχουμε 13 λέξεις...

Ανώνυμος είπε...

να ρωτήσω κάτι άλλο λίγο: για την επίλυση του προβλήματος αυτού απαιτούνται εξειδικευμένες γνώσεις που δε διδάσκονται στα πλαίσια των σχολικών μαθημάτων(δημοτικό, γυμνάσιο, λύκειο) ή απαιτείται απλώς κοινή λογική;;;

pantsik είπε...

@nerd: Ναι αποκλείεται, διαφορετικά ο συγκεκριμένος συνδυασμός λέξεων δεν θα προσδιόριζε έναν αριθμό αλλά περισσότερους.

pantsik είπε...

@Ανώνυμος στο Γρίφοι τη 10 Νοεμβρίου, 2013 21:13: Έτσι όμως δεν προσδιορίζεις κανέναν συγκεκριμένο φυσικό αριθμό.

pantsik είπε...

@Ανώνυμος στο Γρίφοι τη 10 Νοεμβρίου, 2013 21:32: Κοινή λογική και ίσως κάποια εμπειρία.

pantsik είπε...

@nerd: Παρότι δεν συμφωνώ με την ορολογία που χρησιμοποιείς, θεωρώ πως έφτασες πολύ κοντά στη λύση του παραδόξου και θα θεωρήσω σωστή την απάντησή σου.

pantsik είπε...

@sf: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

Kensh1n είπε...

Να ρωτήσω κάτι?Όταν λες μπορεί να προσδιοριστεί εννοείς να δώσεις στο συνομιλητή σου να καταλάβει ποιος αριθμός ακριβώς είναι,έτσι?Όπως πχ έκανες με το 4.Γιατί στην απόδειξη δεν προσδιόρισες τίποτα απλά όρισες ή μάλλον έδωσες μία ιδιότητα σε έναν αριθμό που η ιδιότητα αυτή είναι άχρηστη στον ακροατή στο να μπορέσει να καταλάβει σε ποιον αριθμό αναφέρεσαι.
πχ αν ήθελα να σου προσδιορίσω τον
21523875902598723984
θα μπορούσα να σου πω "ο αριθμός αυτός έχει 20 ψηφία" ή ότι άλλη ιδιότητα μου κατέβει στο κεφάλι αλλά δεν θα χρησιμεύσει σε εσένα στο να τον αναγνωρίσεις.
Νομίζω εκεί έγκειται το πρόβλημα στο ότι παίζεις με τις λέξεις προσδιορίζω και ορίζω κτλ. Εκτός και αν με όλα εννοείς το ίδιο , στην οποία περίπτωση η ερώτησή μου είναι απλά ερώτηση και όχι απάντηση στον γρίφο οπότε μην την λάβεις ως λανθασμένη :)

pantsik είπε...

@Kensh1n: Με το οριστεί και το προσδιοριστεί εννοώ το ίδιο πράγμα, δηλαδή ο ορισμός να αντιστοιχεί σε έναν μόνο αριθμό. Βέβαια αυτό δεν σημαίνει πως είναι εύκολο για κάποιον να καταλάβει ποιος είναι αυτός ο αριθμός. Έτσι το 3ο βήμα προσδιορίζει έναν αριθμό Ν χωρίς να ξέρουμε ποιον ακριβώς.

Ανώνυμος είπε...

Οι φυσικοι αριθμοΊ είναι άπειροι.Οπότε οι αριθμοί που μπορούν να προσδιοριστούν ή οχι από 14 ή λιγότερες λέξεις είναι άπειροι.Συνεπώς δεν μπορείς να προσδιορίσεις τον μικρότερο φυσικό αριθμό που δεν μπορεί να προσδιοριστεί με 14 ή λιγότερες λέξεις.

pantsik είπε...

@Ανώνυμος: Μάλλον εννοείς πως μπορούμε να φτιάξουμε δύο σύνολα αριθμών: το Α που περιέχει αυτούς που μπορούν να προσδιοριστούν με 14 λέξεις και το Β που περιέχει αυτούς που δεν μπορούν. Δείχνω στην εκφώνηση πως το Α είναι αναγκαστικά πεπερασμένο, ενώ μόνο το Β είναι άπειρο. Όμως το Β έχει αναγκαστικά ένα στοιχείο το οποίο είναι το μικρότερο απ' όλα, όπως το 1 είναι το μικρότερο στοιχείο των φυσικών αριθμών.

pantsik είπε...

@Ανώνυμος στο Γρίφοι τη 31 Δεκεμβρίου, 2013 18:50: Σχεδόν έλυσες το παράδοξο.

pantsik είπε...

@JOELMARX: Όχι, δεν εξηγείται έτσι το παράδοξο. Θα πρέπει να βρεις το λάθος που γίνεται στην απόδειξη όπως ακριβώς είναι διατυπωμένη και όχι να παρακάμψεις το πρόβλημα αλλάζοντας τους ορισμούς.

pantsik είπε...

@Γρηγόρης: Δεν κατάλαβα τι εννοείς στις δύο τελευταίες προτάσεις σου.

pantsik είπε...

@Γρηγόρης: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

pantsik είπε...

@Νεφέλη: Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου ήταν σωστή.

Gio είπε...

οι 14 λεξεις πρεπει να ειναι οι ιδιες. εφοσον ομως οι ιδιες αυτες λεξεις του βηματος 3 δεν μπορουν να περιγραψουν τον αριθμο 4, ο οποιος μπορει να περιγραφει με λιγοτερες απο 14 λεξεις : " ο αριθμος μεταξυ του 3 και του 5" η αποδειξη ειναι ατοπη καθως οι ιδιες αυτες 14 λεξεις δεν μπορουν να περιγραψουν ολους τους αριθμους

pantsik είπε...

@Gio: Δεν πρέπει να είναι οι 14 λέξεις οι ίδιες. Πρέπει να σχηματίζουν κάποια φράση που περιγράφει έναν αριθμό.

pantsik είπε...

@kostaskr: Δεν ήταν σωστή η απάντησή σου.