Γίνε μέλος στο grifoi.org

Στους γρίφους με τη σήμανση ".Άλυτοι 1-100" μπορούν να στέλνουν τις λύσεις τους μόνο τα Μέλη του site grifoi.org. Πληροφορίες για το πως θα γίνετε μέλος μπορείτε να διαβάσετε εδώ.

Τετάρτη, 3 Μαρτίου 2010

Υπολογισμού - Διαδρομή μυρμηγκιού (****)

Ένα μυρμήγκι έχει μπει μέσα σε ένα άδειο και κλειστό χαρτοκιβώτιο με διαστάσεις 40x30x20 εκατοστά. Βρίσκεται ακριβώς στη μία κορυφή του κουτιού και θέλει να περπατήσει μέχρι τη διαμετρικά απέναντι κορυφή, όπως φαίνεται στο σχήμα.

γρίφος διαδρομή μυρμηγκιού 
Ποιο είναι το μήκος της ελάχιστης διαδρομής που μπορεί να ακολουθήσει; Προσοχή γιατί υπάρχουν αρκετές επιλογές που δίνουν διαφορετικά μήκη διαδρομών.

4 σχόλια:

pantsik είπε...

Λύση:

Σχήμα από την απάντηση της ιστοσελίδας μου

Στην παρακάτω ανάλυση αντικαθιστώ τις διαστάσεις του κουτιού με τις μεταβλητές x, y, z, έτσι ώστε x=40, y=30, z=20.
Κατ' αρχήν ο πιο ξεκάθαρος τρόπος για να υπολογίσουμε την ελάχιστη διαδρομή είναι να σχεδιάσουμε το σχήμα του κουτιού όπως θα ήταν αν το ανοίγαμε τελείως και το απλώναμε στο πάτωμα. Μετά αρκεί να ενώσουμε το σημείο της εκκίνησης με το σημείο του τερματισμού με μια ευθεία γραμμή. Μια τέτοια ευθεία θα είναι η ελάχιστη δυνατή διαδρομή που μπορεί να περπατήσει το μυρμήγκι.
Από κάθε δεδομένη κορυφή όμως, είναι δυνατόν να χαραχθούν 6 τέτοιες ευθείες προς τη διαμετρικά απέναντι κορυφή. Οι δύο από αυτές τέμνουν την πλευρά x, οι άλλες δύο τέμνουν την πλευρά y και οι άλλες δύο τέμνουν την πλευρά z.
Στο σχήμα με μπλε χρώμα φαίνεται η μία διαδρομή που τέμνει την πλευρά z, με πράσινο χρώμα η μία διαδρομή που τέμνει την πλευρά y και με κόκκινο χρώμα η μία διαδρομή που τέμνει την πλευρά x. Υπάρχει άλλη μία συμμετρική τριάδα διαδρομών (μπλε, πράσινη, κόκκινη) που δεν απεικονίζεται και έχουν το ίδιο μήκος με τις εμφανιζόμενες. Επέλεξα να απεικονίσω το άνοιγμα του κουτιού με αυτόν τον ασυνήθιστο τρόπο για το λόγο ότι είναι ένας από τους τρεις δυνατούς τρόπους με τους οποίους φαίνονται ταυτόχρονα και οι τρεις διαφορετικές διαδρομές.

Για τον υπολογισμό του μήκους της κάθε μίας από τις τρεις υποψήφιες διαδρομές θα χρησιμοποιήσουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα μιας και οι ευθείες αυτές είναι υποτείνουσες ορθογωνίων τριγώνων. Ονομάζω Κ την κόκκινη ευθεία, Μ την μπλε ευθεία και Π την πράσινη ευθεία. Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε:

Κ^2 = x^2 + (z+y)^2 = x^2 + z^2 + y^2 + 2zy
Μ^2 = z^2 + (x+y)^2 = z^2 + x^2 + y^2 + 2xy
Π^2 = y^2 + (x+z)^2 = y^2 + x^2 + z^2 + 2xz

Επειδή θέσαμε πως z < y < x, προκύπτει πως Κ < Π < Μ. Συντομότερη διαδρομή δηλαδή είναι η κόκκινη. Με αντικατάσταση των μεταβλητών x, y, z στην πρώτη εξίσωση με τις τιμές του προβλήματος, βρίσκουμε πως Κ = 64,03. Δηλαδή η συντομότερη διαδρομή έχει μήκος 64 εκατοστά.

Ανώνυμος είπε...

Νομίζω πως ο γενικότερος συλλογισμος είναι λανθασμένος.

Γιατι η διαδρομή είναι 1 και όχι 3. Ειναι μόνο μια η διαδρομη...

Εστω Α το αρχη και και η μπροστά Εδρα ΑΒΓΔ (αντιστροφα του ρολογιου).

Εστω Τ το τερμα και σημεία ΡΣΤΥ η πίσω πλευρά. Η μοναδική διαδρομή είναι η ευθεία ΑΤ Μεσο τις πλευρος(ακμης)ΡΥ. Ετσι ρίχνοντας την πλευρά ΡΣΤΥ κατω στο επιπεδο βγαίνει Ορθογώνιο παραληλόγραμο πλευρας ΑΒ=40, Και η ΒΥ+ΥΤ=50. Η διαγονιος αυτη είναι 64.03124237 = 64 εκατοστά

ΔΕΝ ΔΙΑΦΩΝΩ με το αποτέλεσμα αλλά με τον τρόπο ανάπτυξης...

Ανώνυμος είπε...

χμμμ καταλαβα έκανα λάθος...

pantsik είπε...

Ναι, εσύ υπολόγισες σωστά τη συντομότερη διαδρομή αλλά υπάρχουν έξι δυνατοί τρόποι για να φτάσει σε ευθεία γραμμή το μυρμήγκι απέναντι οι οποίοι ομαδοποιούνται σε τρία διαφορετικά μήκη διαδρομών.