Γίνε μέλος στο grifoi.org

Στους γρίφους με τη σήμανση ".Άλυτοι 1-100" μπορούν να στέλνουν τις λύσεις τους μόνο τα Μέλη του site grifoi.org. Πληροφορίες για το πως θα γίνετε μέλος μπορείτε να διαβάσετε εδώ.

Πέμπτη, 5 Νοεμβρίου 2009

Υπολογισμού - Το νησί του κρυμμένου θησαυρού (*****)

Το παρακάτω πρόβλημα πρωτοδημοσιεύθηκε στο βιβλίο του διάσημου φυσικού George Gamow "One, Two, Three, ..., Infinity" που κυκλοφόρησε το 1947, αλλά εκδίδεται ακόμα και σήμερα.

Ένας νεαρός ανακαλύπτει στο παλιό σεντούκι του παππού του έναν χάρτη θησαυρού. Ο χάρτης αναφέρει την τοποθεσία ενός έρημου νησιού και τις παρακάτω οδηγίες για την ανεύρεση ενός θησαυρού που είναι θαμμένος σε αυτό: "Στο νησί υπάρχει μια βελανιδιά, ένα πεύκο και έχουν στήσει και μια αγχόνη. Ξεκίνα από την αγχόνη και περπάτα ίσια προς τη βελανιδιά μετρώντας τα βήματά σου. Μόλις φτάσεις στη βελανιδιά στρίψε δεξιά, σχηματίζοντας ορθή γωνία με την προηγούμενη διαδρομή σου και περπάτησε τον ίδιο αριθμό βημάτων. Κάρφωσε έναν πάσσαλο στο σημείο αυτό. Γύρνα πίσω στην αγχόνη και ξεκινώντας πάλι από αυτήν, περπάτα προς το πεύκο μετρώντας τα βήματά σου. Στο πεύκο στρίψε αριστερά, σχηματίζοντας πάλι ορθή γωνία και περπάτα τον ίδιο αριθμό βημάτων που έκανες από την αγχόνη μέχρι το πεύκο. Κάρφωσε έναν πάσσαλο στο σημείο αυτό. Σκάψε στα μισά του δρόμου ανάμεσα στους δύο πασσάλους και θα βρεις εκεί τον θησαυρό".

Όλο ενθουσιασμό ο νεαρός φτάνει στο νησί, βλέπει τη βελανιδιά και το πεύκο, αλλά πουθενά η αγχόνη. Μάλλον την είχαν μεταγενέστερα αφαιρέσει και το ίχνος όπου βρισκόταν έχει εξαφανισθεί. Πως μπορεί ο νεαρός να βρει το ακριβές σημείο που είναι θαμμένος ο θησαυρός χωρίς το στίγμα της αγχόνης;

13 σχόλια:

pantsik είπε...

Λύση :

Παρότι το πρόβλημα έχει μια καθαρά γεωμετρική λύση, εδώ θα παρουσιάσω μια λύση με τη χρήση των μιγαδικών αριθμών για το λόγο ότι είναι πολύ απλούστερη. Προϋπόθεση για την παρακολούθησή της είναι η εξοικείωση με τη γεωμετρική ερμηνεία των μιγαδικών αριθμών. Θα αναφέρω συνοπτικά ότι οι φανταστικοί αριθμοί ορίζονται πάνω σε έναν άξονα που τέμνει κάθετα τον άξονα των πραγματικών αριθμών στο σημείο 0 και οι δύο αυτοί άξονες ορίζουν ένα μιγαδικό επίπεδο.
Όταν συμβολίζουμε ένα διάνυσμα σ' αυτό το επίπεδο σαν α + iβ, εννοούμε πως έχει την αρχή του στην αρχή των αξόνων και το τέλος του στο σημείο που ορίζεται από τις συντεταγμένες α στον άξονα των πραγματικών και β στον άξονα των φανταστικών αριθμών. Τα α και β είναι πραγματικοί αριθμοί και το i συμβολίζει το μοναδιαίο διάνυσμα στον άξονα των φανταστικών αριθμών (το μοναδιαίο διάνυσμα των πραγματικών αριθμών παραλείπεται). Όταν θέλουμε να στρέψουμε το παραπάνω διάνυσμα κατά 90 μοίρες αριστερά στο μιγαδικό επίπεδο, απλώς το πολλαπλασιάζουμε επί i. Επειδή το i αντιπροσωπεύει τη ρίζα του μείον ένα, ισχύει ότι i * i = -1.

Για τη λύση τώρα, θέτουμε σαν άξονα των πραγματικών αριθμών την ευθεία που περνάει από τη βελανιδιά και το πεύκο και σαν σημείο 0 αυτού του άξονα το μέσο του διαστήματος των δύο δέντρων. Θέτουμε το σημείο που βρίσκεται η βελανιδιά σαν -1, οπότε το πεύκο βρίσκεται στο σημείο +1. Θεωρούμε και τον φανταστικό άξονα να τέμνει κάθετα τον πραγματικό στο σημείο 0. Θεωρούμε ότι η θέση της αγχόνης (όταν υπήρχε) οριζόταν από το διάνυσμα α + iβ στο σύστημα συντεταγμένων που θέσαμε. Μετατοπίζουμε προσωρινά την αρχή των αξόνων στη θέση της βελανιδιάς. Έτσι το διάνυσμα της αγχόνης ως προς τη βελανιδιά γίνεται τώρα (α+1) + iβ. Για να βρούμε τη θέση που πρέπει να τοποθετηθεί ο πρώτος πάσσαλος πρέπει να περιστρέψουμε αυτό το διάνυσμα κατά 90 μοίρες προς τα αριστερά, οπότε το πολλαπλασιάζουμε επί i και γίνεται -β + i(α+1). Επομένως η θέση του πρώτου πασσάλου ως προς την κανονική μας αρχή των αξόνων δίνεται απ' το διάνυσμα (-β-1) + i(α+1). Στη συνέχεια κάνουμε μια δεύτερη προσωρινή μετατόπιση της αρχής των αξόνων πάνω στο πεύκο. Το διάνυσμα θέσης της αγχόνης ως προς το πεύκο είναι (α-1) + iβ. Για να βρούμε τη θέση του δεύτερου πασσάλου πρέπει να στρέψουμε αυτό το διάνυσμα κατά 90 μοίρες προς τα δεξιά, οπότε το πολλαπλασιάζουμε με -i και γίνεται β - i(α-1). Ως προς την κανονική αρχή των αξόνων η θέση του δεύτερου πασσάλου δίνεται από το διάνυσμα (β+1) - i(α-1). Ο θησαυρός βρίσκεται στο μέσο του ευθύγραμμου τμήματος που συνδέει τους δύο πασσάλους και επομένως το διάνυσμα θέσης του είναι το ημιάθροισμα των διανυσμάτων θέσης των δύο πασσάλων, δηλαδή ισούται με [(-β-1) + i(α+1) + (β+1) - i(α-1)] / 2 = i.

Βρίσκουμε δηλαδή πως η θέση του θησαυρού δεν εξαρτάται από τη θέση της αγχόνης και βρίσκεται μία μονάδα πάνω στον φανταστικό άξονα. Πρακτικά, για την εύρεση του θησαυρού θα πρέπει πρώτα να ενώσει τη βελανιδιά με το πεύκο με μία ευθεία γραμμή, μετά να μετρήσει τα βήματα που χρειάζονται για να πάει από τη βελανιδιά ή το πεύκο προς το μέσο της μεταξύ τους απόστασης και τέλος να κινηθεί από το μέσο τόσο βήματα κάθετα προς τα πάνω, έχοντας τη βελανιδιά στο αριστερό του χέρι.
Εναλλακτικά, θα μπορούσε να βάλει ένα σημάδι που θα αντιπροσωπεύει την αγχόνη σε οποιοδήποτε σημείο του νησιού, στη συνέχεια να ακολουθήσει ακριβώς τις οδηγίες του χάρτη και θα κατέληγε πάλι στο σωστό σημείο που είναι θαμμένος ο θησαυρός.

pantsik είπε...

Αν δεν είστε εξοικειωμένοι με τους μιγαδικούς αριθμούς τότε μπορείτε να καταλήξετε στο ίδιο αποτέλεσμα και με τη χρήση διανυσμάτων. Συμβολίζουμε σαν αi + βj ένα διάνυσμα με συντεταγμένες α και β στον δισδιάστατο χώρο. Το i είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στον άξονα των x και το j είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στον άξονα των y.
Αν θέλουμε να στρέψουμε το παραπάνω διάνυσμα κατά 90 μοίρες με φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού τότε το μετασχηματίζουμε σε -βi + αj. Και αν θέλουμε να το στρέψουμε κατά 90 μοίρες σύμφωνα με τη φορά των δεικτών τότε το μετασχηματίζουμε σε βi – αj.
Ακολουθώντας την παραπάνω μέθοδο λύσης του προβλήματος, συμβολίζουμε με αi + βj τη θέση της αγχόνης. Με τη μετατόπιση της αρχής των αξόνων στη θέση της βελανιδιάς το διάνυσμα γίνεται: (α+1)i + βj. Με τη στροφή του προς τα αριστερά γίνεται: -βi + (α+1)j. Με την επαναφορά της αρχής των αξόνων στην αρχική τους θέση, γίνεται: (-β-1)i + (α+1)j.
Αντίστοιχα για τη μετατόπιση και στροφή από τη θέση του πεύκου έχουμε: Μετατόπιση: (α-1)i + βj. Δεξιά στροφή: βi - (α-1)j. Επαναφορά: (β+1)i - (α-1)j.
Το ημιάθροισμα των διανυσμάτων θέσης των δύο πασσάλων γίνεται: [(-β-1)i + (α+1)j + (β+1)i - (α-1)j] / 2 = 1j.
Οπότε καταλήγουμε πάλι στο αποτέλεσμα πως ο θησαυρός βρίσκεται μία μονάδα πάνω στον κάθετο άξονα.

Ανώνυμος είπε...

ti pos

Ανώνυμος είπε...

den eimai kalos sta mathimatika deuteras likiou...pao triti dimotikoy taksi kai parolo pou eimai o kaliteros stin pliroforiki den mporo na bro tis apantiseis sou aples

pantsik είπε...

@Ανώνυμος: Οι περισσότεροι γρίφοι μου απευθύνονται σε μεγαλύτερες ηλικίες από τη δική σου. Οπότε είναι φυσικό πολλές λύσεις να μην τις καταλαβαίνεις.

Ανώνυμος είπε...

DEN EINAI POS DEN TIS KATALABAINO...ALLA DEN MPORO NA PO POS EINAI APLA EXO TO MINDTRAP KAI TOULAXISTON KATALABAINO TIS PERISSOTERES LISEIS

pantsik είπε...

@Ανώνυμος: Ο συγκεκριμένος γρίφος πάντως προϋποθέτει γνώσεις μαθηματικών που θα μάθεις στο λύκειο. Οπότε είναι απόλυτα φυσιολογικό να μην τον καταλαβαίνεις.

Ανώνυμος είπε...

den peirazei den exo estiasei tin prosoxi mou ekei.Θα χρειαστώ λίγη βοήθεια ακόμη αλλά τουλάχιστον θα καταλάβω κάτι

Ανώνυμος είπε...

Καλησπερα, επειδη προκειται για θησαυρο και το θεμα ειναι ποιος θα προλαβει να το βρει πρωτος (:ρ) , προτιμησα τη μεθοδο" χαρτι και μολυβι" και λιγο 6η αισθηση.. Με το "προτιμησα" εννοω βεβαια οτι δεν εχω ιδεα τι γραφετε πανω γιατι η σχεση μου με τα μαθηματικα εχει ναυαγησει στο ερημονησι του θησαυρου!
Λοιπον, θετω δυο σταθερα σημεια Β(ελανιδια) και Π(ευκο). Ο θησαυρος βρισκεται σε ενα απ τα δυο ημιεπιπεδα που χωριζει η ευθεια που διερχεται απ τα δυο σημεια ( σ εκεινο που βρισκοταν η αγχονη, αλλα θα τα εξετασουμε και τα δυο σε περιπτωση που δε γνωριζαμε πο'υ βρισκοταν η αγχονη). Χαραζουμε (και νοητα μπορουμε) δυο ευθειες παραλληλες και καθετες προς τη μια που χωριζει τα ημιεπιπεδα. Μεσα σ αυτες τις παραλληλες( για να μη χρειαστουμε αντεστραμμενα σχηματα που δε γνωριζω π'ως να τα σχεδιασω ) παιρνουμε ενα τυχαιο σημειο. Προκειται για το σημειο αναφορας μας, δηλαδη μια νοητη αγχονη που ομως παιζει τον ιδιο καθοριστικο ρολο!! Απο κει ακολουθουμε ακριβως τα βηματα του χαρτη και οπου "αγχονη" θεωρουμε το σημειο αναφορας μας. Σ ενα απ τα δυο ημιεπιπεδα βρισκεται ο θησαυρος!
Συνοπτικα: ΑΡΚΕΙ να θεσουμε μια "νοητη αγχονη", με τις παραπανω προυποθεσεις, για να βρουμε το θησαυρο πρακτικα! . Τωρα ισως θεωρητικα να ειναι ολοιδιο με αυτο που περιγραφτηκε αλλα δεν εχω ιδεα τι σημαινει "Μιγαδικος αριθμος" ...Παντως θησαυρο βρηκα!!

pantsik είπε...

@Ανώνυμος: Οι μιγαδικοί αριθμοί δεν είναι απαραίτητοι για να λυθεί ο γρίφος. Στην πραγματικότητα δεν είναι απαραίτητοι για τη λύση κανενός φυσικού προβλήματος. Έχουν όμως το πλεονέκτημα ότι απλουστεύουν τις πράξεις. Όπως και να 'χει, αφού κατάφερες να λύσεις τον γρίφο με τον δικό σου τρόπο, σου αξίζουν συγχαρητήρια.

Μιχάλης από Ηλιούπολη είπε...

Και γιατί δεν παρουσιάζουμε την καθαρά γεωμετρική λύση (Ευκλείδεια ελπίζω) μόνο μπλέκουμε με διανύσματα και μιγαδικούς αριθμούς ???

pantsik είπε...

@Μιχάλης από Ηλιούπολη: Μου άρεσε η λύση που παρουσιάζω γιατί δείχνει τη δύναμη των μιγαδικών αριθμών σε συγκεκριμένους υπολογισμούς. Δεν έχω πρόχειρη τη γεωμετρική λύση.

stef είπε...

@Ανώνυμος (17 Ιουνίου, 2014 00:07). Δεν καταλαβαίνω πως η λύση που περιγράφεις σου δίνει το ακριβές σημείο. Κάπως πρέπει να αποδειχθεί ότι επιλέγοντας τυχαία θέση για την αγχόνη, ο θησαυρός θα πέφτει πάντα στην ίδια θέση.