Γίνε μέλος στο grifoi.org

Στους γρίφους με τη σήμανση ".Άλυτοι 1-100" μπορούν να στέλνουν τις λύσεις τους μόνο τα Μέλη του site grifoi.org. Πληροφορίες για το πως θα γίνετε μέλος μπορείτε να διαβάσετε εδώ.

Πέμπτη, 5 Νοεμβρίου 2009

Υπολογισμού - Υπολογισμός ψηφίων (***)

Συμβολίζουμε έναν διψήφιο αριθμό σαν ΑΒ, που σημαίνει πως το Β είναι οι μονάδες και το Α οι δεκάδες του. Να βρεθούν τα Α, Β και Γ, όπου Α > 0, για τα οποία ισχύει η ισότητα ΑΒ * ΑΒ = ΓΑΒ. Για παράδειγμα αν ίσχυε η ισότητα 14 * 14 = 614, τότε θα είχαμε Γ=6, Α=1, Β=4, αλλά προφανώς η ισότητα αυτή δεν ισχύει. Υπάρχει μία λύση για την οποία το Γ είναι μονοψήφιος αριθμός και μία λύση για την οποία το Γ είναι διψήφιος αριθμός (ο συνολικός αριθμός ΓΑΒ δηλαδή έχει 4 ψηφία). Προσπαθήστε να τις βρείτε και τις δύο χωρίς να δοκιμάσετε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς.

1 σχόλιο:

pantsik είπε...

Λύση :

Η λύση για μονοψήφιο Γ είναι: 25 * 25 = 625. Η λύση για διψήφιο Γ είναι: 76 * 76 = 5776.
Ένας τρόπος επίλυσης είναι ο ακόλουθος: Αρχικά παρατηρούμε πως όταν το Β πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του θα πρέπει να μας δίνει έναν αριθμό του οποίου οι μονάδες θα είναι πάλι Β. Αυτό μπορεί να συμβαίνει μόνο αν το Β είναι 0 ή 1 ή 5 ή 6. Δοκιμάζουμε κάθε μία από αυτές τις περιπτώσεις, αντικαθιστώντας το Β ανάλογα και κάνοντας τον πολλαπλασιασμό με τον τρόπο που μάθαμε στο σχολείο, κρατώντας όμως το Α σαν άγνωστο. Έτσι στην πρώτη περίπτωση, όπου Β=0, γράφουμε Α0 και από κάτω Α0 και τα πολλαπλασιάζουμε μεταξύ τους. Παίρνουμε σαν αποτέλεσμα 3 εκφράσεις, τις Α^2, 0, 0. Από αυτές η πρώτη πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί 100, η δεύτερη επί 10 και στο τέλος να αθροιστούν για να δώσουν το τελικό αποτέλεσμα. Η δεύτερη έκφραση όμως είναι 0 και πρέπει να αντιστοιχεί στο ψηφίο Α για να ισχύει η ισότητα του προβλήματος. Είπαμε όμως πως Α > 0, άρα απορρίπτεται και η αρχική υπόθεση πως Β=0.
Για Β=1, κάνουμε τον πολλαπλασιασμό Α1 επί Α1 και παίρνουμε σαν αποτέλεσμα τις ομάδες Α^2, 2Α, 1. Πρέπει τώρα οι μονάδες της έκφρασης 2Α να ισούνται με Α, κάτι το οποίο δεν συμβαίνει για κανένα ψηφίο Α. Άρα απορρίπτεται και το Β=1.
Για Β=5, παίρνουμε σαν αποτέλεσμα τις ομάδες Α^2, 10Α+2, 5. Πρέπει πάλι οι μονάδες τις έκφρασης 10Α+2 να ισούνται με Α, κάτι που συμβαίνει μόνο στην περίπτωση όπου Α=2. Άρα βρήκαμε την πρώτη λύση, με Α=2, Β=5 και Γ=6 (που προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό 25 * 25).
Για Β=6, παίρνουμε σαν αποτέλεσμα τις ομάδες Α^2, 12Α+3, 6. Πρέπει οι μονάδες τις έκφρασης 12Α+3 να ισούνται με Α, κάτι που συμβαίνει μόνο στην περίπτωση όπου Α=7. Άρα βρήκαμε και τη δεύτερη λύση, με Α=7, Β=6 και Γ=57.