Γίνε μέλος στο grifoi.org

Στους γρίφους με τη σήμανση ".Άλυτοι 1-100" μπορούν να στέλνουν τις λύσεις τους μόνο τα Μέλη του site grifoi.org. Πληροφορίες για το πως θα γίνετε μέλος μπορείτε να διαβάσετε εδώ.

Πέμπτη, 22 Οκτωβρίου 2009

Παράδοξα - Το παράδοξο του Ζήνωνα (*)

Ο Αχιλλέας έκανε αγώνα δρόμου με μια χελώνα. Επειδή όμως ήταν σαφώς πιο γρήγορος από αυτήν, ξεκίνησαν με μια απόσταση μεταξύ τους S0. Όταν ο Αχιλλέας έφτασε στο σημείο που βρισκόταν αρχικά η χελώνα, αυτή στο μεταξύ είχε προχωρήσει κατά μια απόσταση S1. Όταν ο Αχιλλέας κάλυψε την απόσταση S1, η χελώνα είχε στο μεταξύ προχωρήσει κατά μια μικρότερη απόσταση S2.
Επαναλαμβάνοντας αυτή τη διαδικασία φαίνεται πως ο Αχιλλέας δεν θα μπορούσε ποτέ να ξεπεράσει τη χελώνα. Ποια είναι η λύση αυτού του παραδόξου;

10 σχόλια:

Πάνος είπε...

Λύση :

Η περιγραφή της διαδικασίας είναι σωστή, αλλά περιορίζεται σε ένα χρονικό διάστημα στο οποίο ο Αχιλλέας όντως βρίσκεται πίσω από τη χελώνα. Συγκεκριμένα, αν ο Αχιλλέας φτάνει τη χελώνα σε χρόνο t, η διαδικασία με τις αποστάσεις περιγράφει την κατάσταση με όλο και μικρότερα χρονικά διαστήματα που το σύνολό τους τείνει να φτάσει το t αλλά δεν το φτάνει ποτέ.
Το παράδοξο λύνεται όταν αναπόφευκτα θα έρθει ο χρόνος t, μετά τον οποίο ο Αχιλλέας θα ξεπεράσει τη χελώνα.

Βαγγέλης είπε...

Το πλήθος των χρονικών διαστημάτων, όπου ο Αχιλλέας είναι πίσω απο την χελώνα είναι άπειρο, αλλά το άθροισμά τους πεπερασμένο (ίσο με So/(υΑχ-υχελ)), όπως αποδεικνύεται απο τη χρήση των ορίων, τα οποία και έτσι δικαιώθηκαν.

ΓιάννηςΧ είπε...

H λύση δόθηκε το 2003 σε μια δημοσιευμένη επιστημονική εργασία:
http://philsci-archive.pitt.edu/1197/

john είπε...

Δείτε επίσης http://www.peterlynds.net.nz/
την ιστοσελίδα του χαρισματικού Peter Lynds που έλυσε τα παράδοξα το 2003

Ανώνυμος είπε...

ki an eixe ertei o xronos t stin arxi den ta itan pote piso

Ανώνυμος είπε...

Ο ΑΧΙΛΛΕΑΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΤΑΔΙΚΑΣΜΕΝΟΣ ΝΑ ΑΚΟΛΟΥΘΕΙ ΤΗΝ ΧΕΛΩΝΑ ΟΣΟ ΓΡΗΓΟΡΟΣ ΚΙ ΑΝ ΕΙΝΑΙ , ΓΙΑ ΟΣΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Η ΠΟΡΕΙΑ ΤΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΕΙ ΤΗΝ ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΧΕΛΩΝΑΣ ΚΑΙ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗ. ΣΤΗΝ ΠΡΟΚΕΙΜΕΝΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Η ΧΕΛΩΝΑ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙ ΤΗΝ ΤΡΟΧΙΑ ΜΕΣΑ ΣΤΗΝ Ο ΟΠΟΙΑ Ο ΑΧΙΛΛΕΑΣ ΘΑ ΤΡΕΞΕΙ.

Koulis Koul είπε...

Η χρήση της λέξης "Αναπόφευκτα" στην επίλυση του γρίφου,μπορεί να έχει εμπειρική συμπερασματική ισχύ, όμως μικρότερη θεωρητική αποδεικτικότητα.

pantsik είπε...

@Koulis Koul: Σωστά, για να αποδειχθεί ότι πράγματι ο Αχιλλέας θα ξεπεράσει τη χελώνα θα πρέπει να είναι επαρκής και η απόσταση μέχρι τον τερματισμό.

Ανώνυμος είπε...

Η λέξη "αναπόφευκτα" είναι αυθαίρετη, καθ' ότι εκλείπει το ευκταίο, ήτοι το πέρας της διαδρομής. Η απόσταση που πρέπει να διανύσουν και οι δύο δρομείς διαιρείται επ' άπειρον, άρα η απόσταση είναι άπειρη, όπως και ο απαιτούμενος χρόνος. Εφ' όσον ο χρόνος είναι η κίνηση, όπως άριστα το έθεσε ο Αριστοτέλης, οι δύο δρομείς θα κινούνται επ' άπειρον, συνεπώς όντας ακίνητοι. Ο Ζήνων είναι απολύτως ορθός.

pantsik είπε...

@Ανώνυμος: Στα μαθηματικά, το άθροισμα άπειρων όρων δεν τείνει πάντοτε στο άπειρο. Το συγκεκριμένο φυσικό πρόβλημα είναι ένα παράδειγμα όπου αυτό δεν συμβαίνει. Άλλωστε οι φράσεις "άπειρη απόσταση" και "άπειρος χρόνος" που χρησιμοποιείς στερούνται φυσικού νοήματος.