Γίνε μέλος στο grifoi.org

Στους γρίφους με τη σήμανση ".Άλυτοι 1-100" μπορούν να στέλνουν τις λύσεις τους μόνο τα Μέλη του site grifoi.org. Πληροφορίες για το πως θα γίνετε μέλος μπορείτε να διαβάσετε εδώ.

Παρασκευή, 23 Οκτωβρίου 2009

Πιθανοτήτων - Θέση στο αεροπλάνο (****)

Βρίσκεστε στην 100η θέση μιας ουράς για επιβίβαση σε ένα αεροπλάνο 100 θέσεων.
Ο πρώτος επιβάτης ανεβαίνει στο αεροπλάνο, αλλά δυστυχώς έχει χάσει το απόκομμα του εισιτηρίου του που δείχνει σε ποια θέση πρέπει να κάτσει κι έτσι κάθεται σε μια θέση στην τύχη.
Ο επόμενος επιβάτης κάθεται κανονικά στη θέση που λέει το εισητήριό του, εκτός κι αν είναι κατειλημμένη, οπότε κάθεται κι αυτός σε μια θέση στην τύχη. Αυτό επαναλαμβάνεται μέχρι να έρθει η δική σας σειρά να επιβιβαστείτε.
Τι πιθανότητα έχετε να κάτσετε στη θέση που αναγράφεται στο εισιτήριό σας;

6 σχόλια:

pantsik είπε...

Λύση :

Αν απαντήσατε 1 στις 100, κάνατε λάθος. Προφανώς αν οποιοσδήποτε από τους πρώτους 99 επιβάτες κάτσει στη θέση σας τότε θα αναγκαστείτε να κάτσετε κάπου αλλού.
Για να κάτσετε όμως στη θέση σας δεν είναι απαραίτητο να κάτσει ο πρώτος επιβάτης τυχαία στη δική του θέση. Αρκεί οποιοσδήποτε άλλος επιβάτης να κάτσει τυχαία στη θέση του πρώτου επιβάτη. Τότε όλοι οι επόμενοι κάθονται στη σωστή τους θέση, γιατί ο κύκλος των μεταθέσεων κλείνει ακριβώς εκεί.
Έτσι ένας οποιοσδήποτε επιβάτης πριν από εσάς ο οποίος βρίσκει τη θέση του κατειλημμένη, έχει την ίδια πιθανότητα να κάτσει τυχαία στη θέση σας, με το να κάτσει στη θέση του 1ου επιβάτη, οπότε κάθεστε εσείς στη θέση σας. Αρα η πιθανότητα να κάτσετε στη θέση σας είναι η ίδια με την πιθανότητα να μην κάτσετε στη θέση σας και αφού το ένα από τα δύο οπωσδήποτε θα συμβεί, τελικά η πιθανότητα να κάτσετε στη θέση σας είναι 50%.

Zepur είπε...

Η πιθανοτητα να μην κατσοθμε δεν θα επρεπε να ειναι
1/100+99/100*1/99+......+99/100*98/99*...*1/2=99/10
αρα να κατσουμε ειναι 1-(99/100)=1/100
Που ειναι το λαθος?

pantsik είπε...

@Zepur: Δεν καταλαβαίνω τον τύπο σου. Ανάλυσέ τον περισσότερο.

Ανώνυμος είπε...

Λάθος. Δεν αρκεί οποιοσδήποτε άλλος να κάτσει στη θέση του πρώτου. Για παράδειγμα, αν ο πρώτος κάτσει σε μία τυχαία θέση και ο δεύτερος στη θέση του πρώτου, μπορεί όταν έρθει ο τρίτος να βρει τον πρώτο να κάθεται στη θέση του, άρα θα κάτσει και αυτός σε τυχαία θέση, ίσως σε αυτή που αντιστοιχεί στον εκατοστό.

pantsik είπε...

@Ανώνυμος: Στο παράδειγμά σου, για να κάτσει ο δεύτερος στη θέση του πρώτου θα πρέπει πριν να έχει κάτσει ο πρώτος στη θέση του δεύτερου (αναφέρεται στην εκφώνηση). Άρα ο τρίτος δεν μπορεί να βρει τον πρώτο να κάθεται στη θέση του.

Kokolias είπε...

Ό,τι κι αν έχει συμβεί, ο χ επιβάτης θα κάτσει ή στη μία και μοναδική θέση που διορθώνει τα πάντα ή στη δική μας θέση (τα οποία είναι ισοπίθανα) ή σε μια άσχετη θέση (το οποίο μεταφέρει το 50-50 στον επόμενο επιβάτη). Η απάντηση 50% είναι σωστή