Γίνε μέλος στο grifoi.org

Στους γρίφους με τη σήμανση ".Άλυτοι 1-100" μπορούν να στέλνουν τις λύσεις τους μόνο τα Μέλη του site grifoi.org. Πληροφορίες για το πως θα γίνετε μέλος μπορείτε να διαβάσετε εδώ.

Παρασκευή, 23 Οκτωβρίου 2009

Πιθανοτήτων - Μικρό και μεγάλο ποσό (****)

Έχετε μπροστά σας δύο φακέλους που περιέχουν από ένα χρηματικό ποσό ο καθένας. Δεν γνωρίζετε τίποτα γι αυτά τα δύο ποσά παρά μόνο ότι είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Ας τα ονομάσουμε X και Υ. Ανοίγετε στην τύχη τον έναν από τους δύο φακέλους και ας πούμε πως περιέχει το ποσό Χ. Με δεδομένο πως τα δύο ποσά μπορεί να είναι αυθαίρετα μεγάλα, μπορούμε να εκτιμήσουμε με πιθανότητα μεγαλύτερη του 50% αν το ποσό που ανοίξαμε είναι το μεγάλο ή το μικρό και αν ναι πώς;

28 σχόλια:

pantsik είπε...

Λύση :

Η απάντηση είναι ναι και ο τρόπος εκτίμησης έχει ως εξής: Ορίζουμε στο μυαλό μας ένα οποιοδήποτε ποσό Ζ. Είναι καλύτερα μάλιστα να το έχουμε σκεφτεί πριν ανοίξουμε τον φάκελο για να εξασφαλίσουμε ότι το Ζ θα είναι ανεξάρτητο του Χ. Ανοίγουμε τον φάκελο και μας αποκαλύπτεται το ποσό Χ. Αν το Ζ είναι μεγαλύτερο του Χ, λέμε πως το Χ πρέπει να είναι το μικρό ποσό και αν το Ζ είναι μικρότερο του Χ λέμε πως το Χ πρέπει να είναι το μεγάλο ποσό. Με τον τρόπο αυτό έχουμε πιθανότητα μεγαλύτερη από 50% να έχουμε δίκιο στην εκτίμησή μας. Μία εξήγηση του γιατί συμβαίνει αυτό είναι η παρακάτω:
Διακρίνουμε 3 δυνατές περιπτώσεις για το που μπορεί να βρίσκεται το Ζ σε σχέση με τα άλλα δύο ποσά:
1) Αν το Ζ είναι μεγαλύτερο και από τα δύο ποσά Χ και Υ, τότε εάν το Χ είναι μικρότερο του Υ έχουμε εκτιμήσει σωστά, ενώ εάν το Χ είναι μεγαλύτερο του Υ έχουμε εκτιμήσει λάθος. Επειδή το Χ μπορεί να είναι μεγαλύτερο του Υ με πιθανότητα 50%, η πιθανότητα να έχουμε εκτιμήσει σωστά είναι επίσης 50%.
2) Αν το Ζ είναι μικρότερο και από τα δύο ποσά, τότε εάν το Χ είναι μικρότερο του Υ έχουμε εκτιμήσει λάθος, ενώ εάν το Χ είναι μεγαλύτερο του Υ έχουμε εκτιμήσει σωστά. Η πιθανότητα σωστής εκτίμησης είναι και εδώ 50%.
3) Αν το Ζ είναι ανάμεσα στα δύο ποσά, τότε εάν το Χ είναι μικρότερο του Υ έχουμε εκτιμήσει σωστά, ενώ εάν το Χ είναι μεγαλύτερο του Υ έχουμε εκτιμήσει πάλι σωστά. Δηλαδή η πιθανότητα σωστής εκτίμησης σε αυτήν την περίπτωση είναι 100%.
Προκύπτει δηλαδή πως όσο απίθανο κι αν είναι το ποσό Ζ που βάλαμε στο μυαλό μας να βρίσκεται ανάμεσα στα άλλα δύο ποσά, εξ αιτίας αυτού του ενδεχομένου αν ακολουθήσουμε τον απλό τρόπο εκτίμησης που περιγράφηκε στην αρχή, μπορούμε να είμαστε περισσότερο από 50% σίγουροι πως έχουμε εκτιμήσει σωστά. Όσο μάλιστα πιο πιθανό είναι το Ζ να βρίσκεται ανάμεσα στα δύο άλλα ποσά βάσει της επιλογής που κάναμε στην αρχή, τόσο μεγαλύτερη και η πιθανότητα να έχουμε δίκιο.

Μια μαθηματική απόδειξη των παραπάνω έχει ως εξής: Έστω πως Χ,Υ ακέραιοι που βρίσκονται εντός ενός αυθαίρετα μεγάλου διαστήματος [Α,Τ]. Διακρίνουμε δύο δυνατές περιπτώσεις: Α) Χ < Υ και Β) Χ > Υ.
Περίπτωση Α: Υπολογίζουμε την πιθανότητα P να ισχύει ότι Χ-Α < Τ-Χ. Αυτή βρίσκεται από το πηλίκο του συνόλου των συνδυασμών των Χ και Υ όπου Χ-Α < Τ-Χ, προς το σύνολο των συνδυασμών των Χ και Υ χωρίς την πιο πάνω συνθήκη και τα δύο με την προϋπόθεση όπως είπαμε ότι Χ < Υ. Η πιθανότητα αυτή είναι:

Σχήμα από την απάντηση της ιστοσελίδας μου

Ισχύει ότι P >= 0,5 για κάθε Α,Τ. Είναι δηλαδή πιθανότερο να ισχύει ότι Χ-Α < Τ-Χ απ' ότι Χ-Α > Τ-Χ. Έτσι όταν το Ζ τοποθετείται σε μια τυχαία θέση εντός του διαστήματος [Α,Τ] είναι πιθανότερο να ισχύει ότι Ζ > Χ παρά ότι Ζ < Χ.
Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία και για την Περίπτωση Β και βρίσκουμε πως είναι πιθανότερο να ισχύει ότι Ζ < Χ παρά ότι Ζ > Χ.
Συνεπώς αν εκ του αποτελέσματος προκύψει ότι Ζ > Χ τότε αυτό είναι πιθανότερο να οφείλεται στην Περίπτωση Α παρά στην Περίπτωση Β και αντίστοιχα για Ζ < Χ.

pantsik είπε...

Θα αναλύσω και μια δεύτερη πιθανή εξήγηση ότι η πιθανότητα είναι μεγαλύτερη του 50% η οποία όμως δεν λειτουργεί. Μπορεί κάποιος να ισχυριστεί πως όταν ανοίξουμε το ένα ποσό (έστω το Χ) τότε τα πιθανά ποσά που μπορεί να περιέχει ο άλλος φάκελος και είναι μεγαλύτερα από X είναι όλοι οι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι του Χ, δηλαδή άπειρα. Αντίθετα, τα πιθανά ποσά που μπορεί να είναι μικρότερα του Χ είναι πεπερασμένα. Οπότε είναι και απείρως πιθανότερο να περιέχει ο άλλος φάκελος ένα ποσό μεγαλύτερο του Χ.
Η λογική αυτή δεν στέκει για δύο λόγους: Πρώτον γιατί υπάρχει ένα πάνω όριο στο ανώτερο ποσό που μπορεί να χωρέσει ο άλλος φάκελος. Και δεύτερον γιατί οι όροι που τέθηκε το πρόβλημα είναι συμμετρικοί ως προς τους δύο φακέλους. Δηλαδή μπορεί κάποιος να επιλέξει τον φάκελο με το Y ποσό και με την ίδια συλλογιστική να ισχυριστεί πως είναι απείρως πιθανότερο να είναι το X ποσό μεγαλύτερο. Κάτι τέτοιο αποτελεί λογική αντίφαση και συνεπώς αυτή η συλλογιστική πρέπει να απορριφθεί ως εσφαλμένη.

batman1986 είπε...

Το σκέφτηκα λίγο,δεν τα κατάφερα και είδα την απάντηση.Ωραίο πρόβλημα.Αντιβαίνει τη διαίσθηση...

pantsik είπε...

@batman1986: Ναι, νομίζω πως αυτό το πρόβλημα έχει μεγάλο θεωρητικό ενδιαφέρον. Αν συγκρίνουμε νοητά τα δύο ποσά μεταξύ τους το πρόβλημα είναι συμμετρικό και η πιθανότητα είναι 50%. Αλλά αν θέσουμε ένα σταθερό σημείο αναφοράς και συγκρίνουμε το ένα ποσό με αυτό, τότε η συμμετρία σπάει και η πιθανότητα αποκλίνει από το 50%.

Lucidreamer είπε...

Το σκέφτηκα αρκετά και μελέτησα και την απάντηση. Έχω όμως μία άλλη ιδέα. Είναι σωστή;

Αφού κάθε χρήμα έχει μια στοιχειώδες υποδιαίρεση, το 1 λεπτό αν είναι ευρό για παράδειγμα. Και αφού υπάρχει ένα ανώτατο ποσό που μπορεί να χωράει ο φάκελος, ας πούμε 100 ευρώ (αν και το πραγματικό θα ήταν πολύ πολύ μεγαλύτερο και θεωρητικά θα μπορούσε να υπολογιστεί). Τότε ανοίγοντας τον φάκελο θα μπορούσαμε να πούμε πως αν το ποσό είναι μεγαλύτερο από 50 ευρό τότε είναι πιθανότερο να είναι το μεγάλο ποσό και αντίστοιχα αν ειναι μικρότερο από 50 ευρό είναι πιθανότερο να είναι το μικρό ποσο.

pantsik είπε...

@Lucidreamer: Φαντάζομαι πως θα μπορούσες να κάνεις και αυτό που λες, αν και η λογική του προβλήματος είναι να βρεις τη σχέση των δύο ποσών όταν δεν υπάρχει πάνω όριο στο ποσό που θα έχει μέσα ο φάκελος. Υπό αυτές τις συνθήκες δίνεται η δική μου απάντηση.

k4rp είπε...

Κατά την άποψη μου και θεωρώντας ότι υπάρχει ελάχιστο δυνατό ποσό μεγαλύτερο του 0 (πχ στο euro είναι το 1 cent) η εκτίμησή μας μπορεί να είναι μεγαλύτερη του 50% όσο το ποσό του φακέλου που ανοίξαμε βρίσκεται κοντά στην περιοχή του 0. Με δεδομένο οτι ανοίξαμε πάντα το ποσό Χ, αν Χ=1 cent τότε είμαστε 100% σίγουροι ότι είναι μικρότερο από το ποσό Υ(αφού Χ!=Υ). Όσο μεγαλώνει το ποσό Χ μικραίνει και η πιθανότητα να εκτιμήσουμε σωστά. Όταν το χ βρίσκεται μακριά από την περιοχή του 0 τότε η εκτίμισή μας δεν μπορεί να είναι διάφορη του 50% αφού υπάρχει άπειρο πλήθος πιθανών ζευγών Χ,Υ. Και από τη στιγμή που σ ένα σύνολο διακριτών αλλά άπειρων τιμών (0,+οο) υπάρχουν και άπειρες περιοχές, η περιοχή κοντά στο 0 είναι μία από τις άπειρες. Άρα χωρίς βλάβη της γενικότητας η εκτίμησή μας δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη του 50%.

pantsik είπε...

@k4rp: Στην περίπτωση που το Χ είναι κοντά στο 0, τότε και η στρατηγική με το Ζ ποσό δίνει τη σωστή απάντηση εφόσον το Ζ είναι μεγαλύτερο του Χ.
Στην περίπτωση που το Χ είναι αυθαίρετα μεγάλο νομίζω πως η εξήγηση που δίνω στη λύση είναι αρκετά πειστική πως με την επιλογή ενός Ζ ποσού μπορούμε να δώσουμε τη σωστή απάντηση με πιθανότητα μεγαλύτερη του 50%. Αν διαφωνείς, μπορείς να βρεις κάποιο σφάλμα στη συλλογιστική της λύσης;

theo είπε...

An 8ewrhsoume oti to euros timwn einai to (0,+oo) tote h pi8anothta na symbainei to (3) einai 0. An poume oti h xwrhtikothta einai peperasmenh alla agnwsth tote to tyxaio Z einai ma8hmatika sigouro oti 8a einai megalytero apo th xwrhtikothta auth ara 8a eimaste panta sth periptwsh (1). Ara apo ma8hmatikhs apopshs h pi8anothta einai panta 50%. Apla to gegonos oti h pi8anothta to Z na brisketai se peperasmeno diasthma einai 0 mperdeuei th diais8hsh mas. Apo ma8hmatikhs apopshs omws einai 3eka8ara ta pragmata.

pantsik είπε...

@theo: Η πιθανότητα να βρίσκεται το Ζ μεταξύ των δύο ποσών δεν γίνεται ποτέ ακριβώς 0. Όσο μεγαλύτερα γίνονται τα ποσά Χ και Υ και όσο πιο μικρή είναι η απόλυτη διαφορά τους, τόσο πιο μικρή γίνεται η πιθανότητα. Καθώς τα Χ και Υ ΤΕΙΝΟΥΝ στο άπειρο, η πιθανότητα ΤΕΙΝΕΙ στο 0. Μην ξεχνάς επίσης πως ο γρίφος μιλάει για ποσά όχι για ακέραιους αριθμούς, τα οποία μάλιστα πρέπει να χωρούν μέσα σε έναν φάκελο. Άρα πρακτικά είναι οπωσδήποτε πεπερασμένα.
Αυτό με τη χωρητικότητα που λες δεν το κατάλαβα. Αν εννοείς πως τα Χ και Υ πρέπει να είναι πεπερασμένα τότε γιατί θα είναι το Ζ πάντοτε μεγαλύτερο; Το Ζ ορίζεται από εμάς και όσο πιο ρεαλιστικά το ορίσουμε τόσο μεγαλύτερη γίνεται η πιθανότητα να βρίσκεται ανάμεσα στα Χ και Υ.

kontoleon είπε...

Φίλε μου το ξέρω ότι είσαι καλός στα μαθηματικά αλλά δεν με πείθεις ευκολα έστω και για το 50,1 - 49,9

Και το λέω για τον εξείς λόγο.
ΤΑ 2 ποσα είναι προκαθωρισμένα απο την αρχή. Αρα ο ενας φάκελος θα έχει μεγαλύτερο ποσο απο τον άλλον.
π.χ 500Ε είναι μικρό η το μεγάλο ποσό? 50-50! 1Ε το ποσο είναι μικρό η μεγάλο? 50-50! το άλλο μπορεί κάλιστα να είναι και 0,5 =Ε μπορεί και να είναι 1000Ε!

Αρα για μένα η προσεγισει είναι διαφορετική. Το ποσο που θα δεις σε ικανοποιει ναι η οχι? Αν δεις π.χ 10 Ε Λες <b ε και μικρότερο να είναι το άλλο θα το αλλάξω το 10 Ε δεν με σώζουν!) Αλλα βλέπεις 10000Ε τα κρατάς όπως και να έχει! τα 10.000Ε είναι 1 σεβαστό ποσο.
ΑΛΛΑ ΑΛΛΟ ΑΝ ΤΟ ΠΟΣΟ ΕΙΝΑΙ ΣΕΒΑΣΤΟ, ΑΛΛΟ ΑΝ ΤΟ ΡΙΣΚΟ ΕΙΝΑΙ ΜΙΚΡΟ Η ΜΕΓΑΛΟ(π.χ στα 10 Ε αν το διαλέξεις 10 φορες αλλαγει και έστω την 1 ειχε 100 ευρο(και όλες τις άλλες 1) στο + είσαι και άλλο η ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΣΕ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΑ ΕΞ ΑΡΧΗΣ ΠΟΣΑ.
Θα μου πεις αν ο φάκελος α έχει 1 λεπτό τότε ο άλλος θα έχει σιγουρα μεγαλυτερο.
Με την ίδια λογική δεν θα βάλουν ούτε 2 σεντς γιατι ο άλλος θα πρέπει να είναι 3+ (με την ίδια βέβαια λογική του παραλόγου θα πρέπει να αποκλειστουν όλα τα νουμερα)

pantsik είπε...

@kontoleon: Λες πως αν το ποσό που θα δεις είναι τα 10 ευρώ θα τα αλλάξεις ενώ αν είναι τα 10.000 ευρώ θα τα κρατήσεις. Ακριβώς έτσι λειτουργεί και η στρατηγική με το Ζ!
Σκέφτεσαι δηλαδή εξ αρχής: πόσο μεγάλα μπορεί να είναι τα ποσά που έχουν οι φάκελοι; Ας πούμε γύρω στα 100 ευρώ. Τότε θέτεις Ζ = 100 ευρώ. Μετά ακολούθησε τη συλλογιστική της λύσης που προτείνω και θα δεις πως καταλήγεις στο ίδιο αποτέλεσμα με το δικό σου. Βέβαια και στις δύο περιπτώσεις μπορεί να κάνεις λάθος, αλλά η πιθανότητα να έχεις δίκιο προκύπτει μεγαλύτερη από 50%.

upsidown77 είπε...

Auto pou lew gia to Z einai oti opoia ki an einai h peperasmenh alla agnwsth xwrhtikothta shmainei oti to diasthma meta3y [X,Y] einai peperasmeno ara afou to Z mporei na einai opoiosdhpote ari8mos mexri to +oo, tote h pi8anothta na anhkei sto peperasmeno [X,Y] einai 0. Auto pou lew dhladh einai oti apo ka8ara ma8hmatikhs apopshs me ta dedomena auta, h pi8anothta einai 50%. Sthn pra3h yparxei auto pou eipes peri "realistikothtas", dhladh 8a eprepe gia na lhf8ei yp'opsin auto sto problhma na orisoume gia ta X,Y kapoies synarthseis pyknothtas pi8anothtas wste na fanei apo ma8hmatikhs apopshs h isxys auths ths me8odou. Dhladh symfwnw oti sthn pra3h me auth th me8odo 8a exoume pi8anothta epityxias panw apo 50% alla sto ka8ara ma8hmatiko problhma opws exei dw8ei, h pi8anothta einai 50%.

pantsik είπε...

@upsidown77: Μην μου μιλάς για το άπειρο, βγάζω σπυράκια μόνο που το ακούω. Για εμένα το άπειρο υπάρχει μόνο στη φαντασία μας και σίγουρα η εισαγωγή του σε οποιοδήποτε φυσικό πρόβλημα μόνο παράδοξα μπορεί να δημιουργήσει.

theo είπε...

Xaxaxa egw eimai o upsidown, katala8os mphka ap'to profil ths aderfhs mou (exoume ton idio ypologisth). To lew kyriws gia na 3ereis se poio sxolio anaferetai anaferetai to: "auto pou lew gia to Z".

Kokolias είπε...

Όλο λάθος μου φαίνεται. Η πιθανότητα να μαντέψουμε αριθμό μεταξύ των δύο επιλογών μοιάζει να είναι μηδέν

pantsik είπε...

@Kokolias: Πρακτικά δεν είναι ποτέ μηδέν. Γι αυτό και η πιθανότητα σωστής πρόβλεψης είναι πάντοτε μεγαλύτερη του 50%.

Kokolias είπε...

Είναι μηδέν. Ειδικά όταν μιλάς για ευρώ, το οποίο είναι κβαντισμένο μέγεθος, διαιρείς ένα πεπερασμένο σύνολο με ένα άπειρο. Ξεκάθαρο. Η πιθανότητα να πετύχεις το διάστημα χε(53245,546436754756), χεΝ με έναν τυχαίο αριθμό είναι ακριβώς μηδέν.

Άλλωστε, κοίτα την αρχική εκφώνηση και σκέψου το. Είναι δυνατόν να υπάρχει λύση σε αυτό το γρίφο?

Τέλος, σκέψου το εξής. Επιλέγεις το Α. Φαντάζεσαι το Ζ. Ανοίγεις το Α. Η πιθανότητα να είναι το Α μεγαλύτερο είναι 50% και ανάποδα. Είναι και τα δύο, δύο τυχαίοι αριθμοί. Ανάλογα με το ποιό είναι μεγαλύτερο επιλέγεις αν θα αλλάξεις ή θα κρατήσεις, κοινώς επιλέγεις φάκελο με πιθανότητα 50%. Και η πιθανότητά σου να κερδίσεις παραμένει φυσικά 50%.

Ο γρίφος αυτός είναι εμφανώς λάθος και αποδεικνύεται με πολλούς τρόπους.

pantsik είπε...

@Kokolias: Κάνεις λάθος στο σημείο που λες πως πρέπει να διαιρέσουμε με το άπειρο. Σε πρακτικά προβλήματα δεν συμβαίνει ποτέ αυτό. Ακόμα και στα αφηρημένα μαθηματικά όμως, η θεωρία λέει ότι όταν το εύρος ΤΕΙΝΕΙ στο άπειρο, η πιθανότητα ΤΕΙΝΕΙ στο μηδέν. Χρησιμοποιούμε δηλαδή οριακή διαδικασία ακριβώς γιατί η μεταβλητή δεν φτάνει ποτέ την προς εξέταση "τιμή". Πρακτικά, όπως θέτω το πρόβλημα, η πιθανότητα να βρίσκεται το Ζ ανάμεσα στο Χ και στο Υ είναι απροσδιόριστη γιατί δεν γνωρίζουμε το μέγιστο ποσό που μπορεί να περιέχει ένας φάκελος. Αν σε μπερδεύει αυτό, υπέθεσε ότι αυτός που έβαλε τα δύο ποσά στους φακέλους σε διαβεβαιώνει ότι κανένα ποσό δεν είναι μεγαλύτερο των 100 ευρώ. Μπορείς τότε να καταλάβεις γιατί η πιθανότητα σωστής πρόβλεψης είναι πάντοτε μεγαλύτερη του 50%;
Ο φυσικός ρόλος του Ζ είναι η πρότερη εκτίμησή σου για το μέσο ύψος των δύο ποσών και όσο πιο ρεαλιστικά το ορίζεις τόσο αυξάνεις την πιθανότητα σωστής πρόβλεψης πάνω από το 50%.

Kokolias είπε...

1. Επαναλαμβάνω " Επιλέγεις το Α. Φαντάζεσαι το Ζ. Ανοίγεις το Α. Η πιθανότητα να είναι το Α μεγαλύτερο είναι 50% και ανάποδα. Είναι και τα δύο, δύο τυχαίοι αριθμοί. Ανάλογα με το ποιό είναι μεγαλύτερο επιλέγεις αν θα αλλάξεις ή θα κρατήσεις, κοινώς επιλέγεις αν θα αλλάξεις ή θα κρατλησεις φάκελο με πιθανότητα 50%. Και η πιθανότητά σου να κερδίσεις παραμένει φυσικά 50%."
Αυτό, είναι μία από τις πολλές αποδείξεις ότι η τελική πιθανότητα είναι 50% και πρέπει να βρεις λάθος για να ισχυριστείς το αντίθετο. Και σε αντίθεση με την περίεργη και αμφισβητίσιμη απόδειξη της λύσης, η παραπάνω είναι πολύ καθαρή
2. Αν βάλεις ταβάνι στα 100 ευρώ ή οπουδήποτε αλλού, τότε έχουμε διαφορετικό πρόβλημα με πεπερασμένο πλήθος τιμών. Φυσικά αν ανοίξεις τότε φάκελο με 30 ευρώ (ή οποιοδηποτε ποσό κάτω των 50 ευρώ) συμφέρει να τον αλλάξεις. Το διάστημα όμως (0,άπειρο) δεν έχει μέση τιμή.
3. Μιλάμε για μαθηματικά. Δεν υπάρχει η έννοια της εκτίμησης ή της πρόβλεψης, ούτε ισχύει το επιχείρημα "πρακτικά το άπειρο δεν είναι άπειρο κτλ".
4. Βασικά η πιθανότητα να βρεθείς "ανάμεσα" σε άπειρο πλήθος δεν είναι καν μηδεν, είναι 1/3 (κάποιος από τους 3 τυχαίους αριθμούς είναι ο μεσαίος και έχεις πιθανότητα 1 στις 3 να είναι ο δικός σου). Αυτό σημαίνει ότι ονερευόμενος έναν τρίτο τυχαίο αριθμό έχεις με τη λογική σου πιθανότητα 66% να μαντέψεις σωστά. Και είναι προφανές ότι αυτό δεν ισχύει.
5. Η απόδειξη στη λύση είναι λάθος. "Έστω πως Χ,Υ ακέραιοι που βρίσκονται εντός ενός αυθαίρετα μεγάλου διαστήματος [Α,Τ]". Δεν έχουμε τελικό αριθμό συνόλου, δεν υπάρχει Τ για να ισχύσει η λύση.
6. Και τέλος πάντων, είναι εμφανές ότι το πρόβλημα δε μπορεί να έχει λύση. Η εκφώνηση είναι "έχεις έναν αριθμό και πρέπει να μαντέψεις αν ένας άλλος είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος". Είναι δυνατόν να μπορείς να βελτιώσεις τις πιθανότητές σου πάνω από 50%, με το να φανταστείς μάλιστα έναν τρίτο αριθμό με το μυαλό σου και να αρχίσεις τις συγκρίσεις?

pantsik είπε...

@Kokolias: Στο παράδειγμά σου, η πιθανότητα να είναι το Α μεγαλύτερο του Ζ δεν είναι 50% και εξαρτάται από την τιμή που θα ορίσω στο Ζ.
Παρακάτω γράφεις πως η πιθανότητα να βρίσκεται το Ζ ανάμεσα στο Χ και στο Υ είναι 1/3, ενώ στα προηγούμενα μηνύματά σου υποστήριζες πως είναι 0. Ανεξάρτητα από το πρόβλημα που συζητάμε, πρέπει να είσαι πολύ προσεκτικός όταν εισάγεις την έννοια του απείρου στα μαθηματικά γιατί είναι εύκολο να πέσεις σε τέτοιες αντιφάσεις.

Kokolias είπε...

Συγνώμη, συνδικαλισμό κάνουμε? Παραθέτω ένα σωρό επιχειρήματα, εκ των οποίων 2 αποδείξεις ότι η πιθανότητα είναι 50% (1 και 4)και δύο αποδείξεις ότι η απόδειξη της λύσης είναι λάθος (2 και 5) και μου απαντάς ότι άλλαξα γνώμη σε σχέση με προηγούμενο ποστ? Ναι, άλλαξα, μόνος μου το έγραψα, η πρώτη μου σκέψη ήταν ότι η πιθανότητα να πέσεις ανάμεσα είναι μηδέν, αλλά μια πιο προσεχτική μελέτη αποδεικνύει ότι είναι ακριβώς ένα τρίτο. Έχεις δύο τυχαίους αριθμούς και φαντάζεσαι έναν τρίτο τυχαίο αριθμό. Η πιθανότητα να είναι ο μεσαίος είναι 1/3. Απλά μαθηματικά είναι και αποδεικνύουν με πολλούς τρόπους ότι το πρόβλημα είναι λάθος.

pantsik είπε...

@Kokolias: Σταματάω αυτή τη συζήτηση γιατί δεν οδηγεί πουθενά. Φυσικά είναι δικαίωμά σου να πιστεύεις ότι θέλεις.

Kokolias είπε...

Ε, σταματάω κι εγώ από μέρους μου, δεν είναι μαθηματική συζήτηση αυτή. Μια τελευταία διευκρίνιση μόνο, δεν έπεσα σε αντίφαση. Αν οι φάκελοι περιέχουν ποσά εR ή εQ, τότε η πιθανότητα είναι 1/3. Αλλά αν οι φάκελοι περιέχουν ποσά εΝ, τότε νομίζω ότι η πιθανότητα είναι μηδέν. Για το δεύτερο δεν είμαι 100% σίγουρος, αλλά είναι δύο διαφορετικές περιπτώσεις, ανάλογα με το αν είναι τα ποσά κβαντισμένα ή όχι (υπάρχει πχ περίπτωση ο φάκελος να περιέχει 7/3 ευρώ ή 3π ευρώ?). Σε κάθε περίπτωση πιστεύω ότι η απάντηση είναι 50%

theo είπε...

Oson afora thn filosofikh syzhthsh pou anoi3e (h opoia panta exei shmasia sta parado3a), de spaei h symmetria meta3y tou A kai tou B. H pi8anothta na einai to A megalytero tou B h to B megalytero tou A einai 50%. To K einai apla ena trick pou dinei mia plhroforia pou mas dieukolynei na mantepsoume poio ap'ta dyo einai megalytero.

theo είπε...

Epishs exw ena antistoixo problhma pou isws to kanei pio liano. Estw kapoios 8elei na ginei kritikos tainiwn omws den exei 3anadei tainia sth zwh tou. Oi prwters 2 tainies pou apofasise na krinei einai h A kai h B. Eide thn A alla meta apofasise na dei mia allh prin th B. H allh tainia htan kalyterh ap'thn A ara mallon h A den htan poly kalh ara einai pi8anotero h B na einai kalyterh ap'thn A. Malista an den dei mono mia alla dei 100 alles, tote 8a exei pio safh eikona gia to poso kalh einai h A ara kai gia thn pi8anothta h B na einai kalyterh(p.x mporei ap'tis 100 oi 20 na htan xeiroteres ths A kai oi 80 kalyteres).

pantsik είπε...

@theo: Νομίζω πως έπιασες την ουσία της τεχνικής. Το Ζ ουσιαστικά είναι μια μέτρηση που κάνουμε ή ένα ερώτημα που θέτουμε για να διαπιστώσουμε πόσο μεγάλο είναι το ένα από τα δύο ποσά. Από το αποτέλεσμα αυτής της μέτρησης παίρνουμε μια ένδειξη για το αν πρόκειται για το μεγάλο ή το μικρό ποσό. Όσο ασήμαντη κι αν είναι αυτή η ένδειξη είναι πάντως προτιμότερο από το να μην την είχαμε καθόλου και να έπρεπε να διαλέξουμε εντελώς στην τύχη.

pantsik είπε...

Περισσότερα για το πρόβλημα και την ανάλυσή του μπορείτε να διαβάσετε εδώ: Information From Randomness?