Γίνε μέλος στο grifoi.org

Στους γρίφους με τη σήμανση ".Άλυτοι 1-100" μπορούν να στέλνουν τις λύσεις τους μόνο τα Μέλη του site grifoi.org. Πληροφορίες για το πως θα γίνετε μέλος μπορείτε να διαβάσετε εδώ.

Παρασκευή, 23 Οκτωβρίου 2009

Πιθανοτήτων - Τα δύο παιδιά του βασιλιά (***)

Ένας βασιλιάς λίγο πριν πεθάνει εκμυστηρεύτηκε στη σύζυγό του πως τα δύο πράγματα που τον έκαναν πιο υπερήφανο στη ζωή του είναι τα δύο παιδιά που έκανε μαζί της και πως το ένα από αυτά θα τον διαδεχτεί στο θρόνο.
Με δεδομένο ότι μόνο ένα αγόρι μπορεί να διαδεχτεί στο θρόνο τον πατέρα του, ποια είναι η πιθανότητα τα παιδιά του βασιλιά να είναι δύο αγόρια;

7 σχόλια:

pantsik είπε...

Λύση :

Κάνουμε έναν πίνακα με όλους τους δυνατούς συνδυασμούς δύο παιδιών που μπορεί να έχει οποιοσδήποτε γονέας:

1ο ΠΑΙΔΙ    2ο ΠΑΙΔΙ
-----------    -----------
ΑΓΟΡΙ       ΑΓΟΡΙ
ΑΓΟΡΙ       ΚΟΡΙΤΣΙ
ΚΟΡΙΤΣΙ    ΑΓΟΡΙ
ΚΟΡΙΤΣΙ    ΚΟΡΙΤΣΙ

Αφού το ένα παιδί θα τον διαδεχτεί στον θρόνο και άρα είναι αγόρι, αποκλείουμε την τελευταία περίπτωση να έχει δύο κορίτσια.
Από τις υπόλοιπες τρεις δυνατές περιπτώσεις μόνο η πρώτη ικανοποιεί το ζητούμενο, συνεπώς η πιθανότητα να έχει δύο αγόρια είναι 1/3.

Σε αυτό και άλλα παρόμοια προβλήματα πιθανοτήτων είναι πολύ σημαντικός ο τρόπος που διατυπώνονται. Διαφορετικές διατυπώσεις οδηγούν σε διαφορετικό αποτέλεσμα. Επίσης αν η διατύπωση δεν αποσαφηνίζει κάτω από ποιες συνθήκες δόθηκαν τα δεδομένα του προβλήματος τότε μπορεί δύο λύτες να κάνουν διαφορετικές αρχικές υποθέσεις και να οδηγηθούν σε διαφορετικά αποτελέσματα, χωρίς να μπορεί να αποδειχτεί ποιος έχει δίκιο και ποιος άδικο.

Ας πάρουμε για παράδειγμα έναν πατέρα που ξέρουμε μόνο πως έχει δύο παιδιά και ας δούμε την πιθανότητα να έχει δύο αγόρια αν το πρόβλημα οριζόταν με καθένα από τα παρακάτω ενδεχόμενα:
Α1 = Απάντηση "τουλάχιστον το ένα παιδί μου είναι αγόρι και θα με διαδεχτεί στο θρόνο" στην ερώτηση "τι φύλα έχουν τα παιδιά σου"
Α2 = Απάντηση "ναι" στην ερώτηση "είναι τουλάχιστον το ένα παιδί σου αγόρι"
Α3 = Απάντηση "το ένα τουλάχιστον παιδί μου είναι αγόρι" στην ερώτηση "τι φύλα έχουν τα παιδιά σου"
Α4 = Απάντηση "αγόρι" στην ερώτηση "πες μου το φύλο του ενός από τα δύο παιδιά σου"

Με μια πρόχειρη ματιά φαίνεται πως πρόκειται για 4 διαφορετικούς τρόπους να πούμε το ίδιο πράγμα και άρα θα βρίσκαμε σε όλους την ίδια πιθανότητα. Όμως:
Τα ενδεχόμενα Α1 και Α2 είναι μεταξύ τους ισοδύναμα με τις αντίστοιχες πιθανότητές τους να ισούνται με 1/3.
Τα ενδεχόμενα Α3 και Α4 είναι επίσης μεταξύ τους ισοδύναμα με τις αντίστοιχες πιθανότητές τους να ισούνται με 1/2 (με την προϋπόθεση που αναφέρεται πιο κάτω).
Τα ενδεχόμενα Α1 και Α2 δεν είναι ισοδύναμα με τα Α3 και Α4.

Ακολουθεί μια μαθηματική ανάλυση για την εύρεση των παραπάνω πιθανοτήτων.

Ξεκινώ με την παραλλαγή Α2 πιο πάνω, δηλαδή: Ρωτάει κάποιος έναν πατέρα δύο παιδιών αν τουλάχιστον ένα παιδί του είναι αγόρι και παίρνει την απάντηση «Ναι». Ποια είναι η πιθανότητα να έχει δύο αγόρια;

Πρώτα οι ορισμοί. Δίνω τους παρακάτω συμβολισμούς στα εξής Ενδεχόμενα:
Α2 = Απάντηση «Ναι» στην ερώτηση «είναι τουλάχιστον το ένα παιδί σου αγόρι»
ΑΑ = Έχει δύο αγόρια
ΑΚ = Το πρώτο του παιδί είναι αγόρι και το δεύτερο κορίτσι
ΚΑ = Το πρώτο του παιδί είναι κορίτσι και το δεύτερο αγόρι
ΚΚ = Έχει δύο κορίτσια

Με Ρ(Ενδεχόμενο) συμβολίζω την πιθανότητα να συμβεί το αναφερόμενο Ενδεχόμενο. Θεωρούμε πως η πιθανότητα να προκύψει ο κάθε συνδυασμός δύο παιδιών είναι η ίδια, δηλαδή Ρ(ΑΑ) = Ρ(ΑΚ) = Ρ(ΚΑ) = Ρ(ΚΚ) = 1/4.

Μετασχηματίζω το ερώτημα στο εξής ισοδύναμό του:
Με δεδομένο ότι ισχύει το Α2 ποια είναι η πιθανότητα του ΑΑ ;

Παίρνω τον τύπο της δεσμευμένης πιθανότητας:
Ρ(ΑΑ|Α2) = Ρ(ΑΑ ∩ Α2) / Ρ(Α2)

Υπολογίζω το πιο πάνω κλάσμα.
Ο συμβολισμός ΑΑ ∩ Α2 σημαίνει πως παίρνουμε την τομή των ενδεχομένων ΑΑ και Α2. Παρατηρούμε πως όταν ισχύει το ενδεχόμενο ΑΑ τότε ισχύει πάντα και το ενδεχόμενο Α2. Δηλαδή το ενδεχόμενο ΑΑ είναι υποσύνολο του Α2.
Άρα ΑΑ ∩ Α2 = ΑΑ και συνεπώς για τον αριθμητή του πιο πάνω κλάσματος ισχύει ότι Ρ(ΑΑ ∩ Α2) = Ρ(ΑΑ) = 1/4

Για τον παρανομαστή Ρ(Α2) διακρίνω περιπτώσεις:
1) Αν ΑΑ τότε Ρ(Α2) = 1
2) Αν ΑΚ τότε Ρ(Α2) = 1
3) Αν ΚΑ τότε Ρ(Α2) = 1
4) Αν ΚΚ τότε Ρ(Α2) = 0
Άρα συνολικά: Ρ(Α2) = (1/4) * 1 + (1/4) * 1 + (1/4) * 1 + (1/4) * 0 = 3/4.

Οπότε τελικά: Ρ(ΑΑ|Α2) = (1/4) / (3/4) = 1/3

Η διατύπωση της παραλλαγής Α1 έχει γίνει με αυτόν τον τρόπο για να είναι σαφές πως η δήλωση του πατέρα (βασιλιά) θα μπορούσε να αφορά μόνο αγόρι. Οπότε ακολουθώντας τον ίδιο υπολογισμό καταλήγουμε πάλι σε πιθανότητα ίση με 1/3.

pantsik είπε...

συνέχεια λύσης:

Ας δούμε τώρα τις διαφορές της παραλλαγής Α2 που ανέλυσα με την παραλλαγή Α4, δηλαδή: Ρωτάει κάποιος έναν πατέρα δύο παιδιών να του πει το φύλο ενός από τα δύο παιδιά του και παίρνει την απάντηση «Αγόρι». Ποια είναι η πιθανότητα να έχει δύο αγόρια;

Αντί του ενδεχόμενου Α2 χρησιμοποιούμε τώρα το ενδεχόμενο Α4 που είναι: Απάντηση «Αγόρι» στην ερώτηση «πες μου το φύλο του ενός από τα δύο παιδιά σου».

Ο αριθμητής του κλάσματος της δεσμευμένης πιθανότητας δεν αλλάζει και είναι πάλι: Ρ(ΑΑ ∩ Α4) = Ρ(ΑΑ) = 1/4

Ο παρανομαστής του κλάσματος Ρ(Α4) αλλάζει ως εξής:
1) Αν ΑΑ τότε Ρ(Α4) = 1
2) Αν ΑΚ τότε Ρ(Α4) = 1/2
3) Αν ΚΑ τότε Ρ(Α4) = 1/2
4) Αν ΚΚ τότε Ρ(Α4) = 0

Η προϋπόθεση για να ισχύει αυτή η αλλαγή είναι να γνωρίζουμε πως στις περιπτώσεις 2 και 3 ο πατέρας δεν δεσμεύεται όπως πριν να κάνει μια δήλωση για το (ενδεχόμενο) αγόρι του, αλλά μπορεί να απαντήσει με την ίδια πιθανότητα «Κορίτσι» στην ερώτηση για το φύλο του ενός παιδιού του. Αν δηλαδή θεωρήσουμε πως δεν έχει κάποιο λόγο να προτιμήσει να αναφέρει το ένα φύλο έναντι του άλλου, πρέπει να αποδώσουμε ίση πιθανότητα στα δύο αυτά ενδεχόμενα, δίνοντας στο Ρ(Α4) στις περιπτώσεις 2 και 3 την τιμή 1/2.

Άρα συνολικά: Ρ(Α4) = (1/4) * 1 + (1/4) * (1/2) + (1/4) * (1/2) + (1/4) * 0 = 1/2

Οπότε τελικά: Ρ(ΑΑ|Α4) = (1/4) / (1/2) = 1/2

Στον τελευταίο υπολογισμό θα καταλήγαμε και με την παραλλαγή Α3 και την ίδια προϋπόθεση.

Θα αναφέρω τώρα άλλη μία παραλλαγή του προβλήματος. Έστω πως βλέπουμε στο δρόμο έναν πατέρα μαζί με το γιο του και μας λέει πως έχει δύο παιδιά. Τι πιθανότητα υπάρχει να είναι και τα δύο αγόρια;
Η αρχική μας σκέψη είναι πως αφού απομονώσουμε το παιδί που έχουμε μπροστά μας τότε το ερώτημα τίθεται μόνο για το φύλο του άλλου. Το άλλο παιδί είναι αγόρι με πιθανότητα 1/2, άρα αυτή είναι και η πιθανότητα να έχει δύο αγόρια.
Για να είναι όμως σωστή αυτή η απάντηση, θα πρέπει να έχουμε εξασφαλίσει έναν ακόμα κρυφό παράγοντα: Πως σε περίπτωση που ο πατέρας έχει ένα αγόρι και ένα κορίτσι τότε υπάρχει ίση πιθανότητα να τον δούμε μαζί με το αγόρι ή μαζί με το κορίτσι του.
Αν αυτό δεν συμβαίνει (αν π.χ. πηγαίνει συνήθως με το γιο του στο γήπεδο ή αν είναι η ώρα που σχολάει η κόρη του από το σχολείο) τότε δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τη σωστή πιθανότητα γιατί δεν ξέρουμε τη σχετική πιθανότητα που υπήρχε να τον δούμε παρέα με το γιο του ή με την κόρη του. Στην ακραία περίπτωση όπου ένας πατέρας έχει ένα αγόρι και ένα κορίτσι και βγαίνει βόλτα μόνο με τον γιο του και ποτέ με την κόρη του τότε ακολουθούμε το Ενδεχόμενο Α2 που ανέλυσα πιο πάνω και καταλήγουμε πως η πιθανότητα να είναι και τα δύο παιδιά του αγόρια είναι 1/3.

pantsik είπε...

Παρακάτω θέλω να επισημάνω μια σχετική διαφωνία που έχω με όσα γράφονται στο άρθρο της Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Marilyn_vos_Savant#.22Two_boys.22_problem
Στην παραλλαγή του προβλήματος των δύο παιδιών που δημοσιεύθηκε το 1996-97, η Marilyn vos Savant υποστηρίζει πως όταν μια γυναίκα έχει τουλάχιστον ένα αγόρι τότε η πιθανότητα να έχει δύο αγόρια είναι 1/3. Για να το αποδείξει μάλιστα αυτό στους διαφωνούντες ζήτησε από τις αναγνώστριες της στήλης της που όντως είχαν τουλάχιστον ένα αγόρι μεταξύ δύο παιδιών να της γράψουν αν έχουν δύο αγόρια. Από τις απαντήσεις που έλαβε το 36% είχε δύο αγόρια και έτσι συμπέρανε πως είχε όντως δίκιο μιας και αυτό το ποσοστό είναι πιο κοντά στο 1/3 παρά στο 1/2 της εναλλακτικής εκδοχής.
Όμως, όπως έδειξα στη λύση του γρίφου, είναι σημαντικό πριν υπολογίσουμε την πιθανότητα να δούμε κάτω από ποιους όρους παίρνουμε την πληροφορία ότι μια μητέρα έχει τουλάχιστον ένα αγόρι. Αν κάνει στην τύχη μια δήλωση για το αγόρι ή το κορίτσι της τότε η πιθανότητα δεν είναι 1/3 αλλά 1/2. Αν όμως ξέρουμε πως θα έκανε ούτως ή άλλως μια δήλωση για το αγόρι της τότε πράγματι η πιθανότητα είναι 1/3.
Με τον τρόπο που η Marilyn έθεσε το ερώτημα στις αναγνώστριές της ουσιαστικά κατέγραφε το δείγμα μόνο όσων είχαν τουλάχιστον ένα αγόρι μεταξύ των δύο παιδιών τους και άρα ορθώς κατέληξε σε αποτέλεσμα 1/3. Αν όμως ζήταγε να της γράψουν όσες μητέρες είχαν δύο παιδιά, οι οποίες θα έκαναν τις δηλώσεις "τουλάχιστον το ένα παιδί μου είναι Χ" και "έχω / δεν έχω δύο παιδιά φύλλου Χ" (όπου Χ το φύλλο του παιδιού που θεωρούμε πως επιλέγεται στην τύχη από την μητέρα) τότε θα έβρισκε πως δύο παιδιά του ίδιου φύλλου θα είχε το 50% όσων απάντησαν και άρα η αντίστοιχη πιθανότητα θα ήταν 1/2.

batman1986 είπε...

kala aftin ti vrizane les kai itan kamia tyxaia.idiofyia me deikti noimosynis gyrw sto 190 grafei to arthro.........

pantsik είπε...

Και ορισμένοι από αυτούς που την έβριζαν καθηγητές μαθηματικών κάποιου πανεπιστημίου ήταν. Δυστυχώς όμως κάποιοι φαίνεται πως βασίστηκαν στη γνώμη κάποιων "αυθεντιών" ενώ πιθανότατα είχαν τη γνώση και τη λογική για να καταλήξουν στο δικό τους συμπέρασμα. Τελικά πήραν ένα πολύ καλό μάθημα.

Ανώνυμος είπε...

EIPA ME BATMAN1986 150 ISOS...190 OMOS?

pantsik είπε...

@Ανώνυμος: Και όμως, η πιο ακριβής μέτρηση που της έγινε έδωσε ένα IQ 186.