Γίνε μέλος στο grifoi.org

Στους γρίφους με τη σήμανση ".Άλυτοι 1-100" μπορούν να στέλνουν τις λύσεις τους μόνο τα Μέλη του site grifoi.org. Πληροφορίες για το πως θα γίνετε μέλος μπορείτε να διαβάσετε εδώ.

Παρασκευή, 23 Οκτωβρίου 2009

Πιθανοτήτων - Ιός της γρίπης (****)

Στην πόλη του κύριου Γιάννη κυκλοφορεί ένας επικίνδυνος ιός. Ευτυχώς το ποσοστό των ανθρώπων που προσβάλλεται από αυτόν είναι μόνο 0,1%. Ο ιός δεν έχει συμπτώματα στα αρχικά του στάδια και ανιχνεύεται μόνο μέσω ενός ειδικού τεστ που οι γιατροί συνιστούν να κάνουν προληπτικά όλοι οι πολίτες.

Πηγαίνει λοιπόν και ο κ. Γιάννης να κάνει το τεστ και προς μεγάλη του έκπληξη ο γιατρός του λέει πως έχει προσβληθεί από τον ιό. Ο κ. Γιάννης ρωτάει πόσο ακριβές είναι το τεστ που του έκαναν και ο γιατρός του απαντάει πως είναι πολύ ακριβές και δίνει τη σωστή διάγνωση στο 95% των περιπτώσεων. Μόνο σε ένα 5% δίνει το αντίθετο αποτέλεσμα από το σωστό. Ο κ. Γιάννης έχει ανησυχήσει, αλλά δεν μπορεί να υπολογίσει την πιθανότητα να έχει προσβληθεί πράγματι από τον ιό. Μπορείτε να τον βοηθήσετε;

9 σχόλια:

pantsik είπε...

Λύση :

Πρώτα θα υπολογίσουμε την πιθανότητα να γίνει θετική διάγνωση με το τεστ σε έναν τυχαίο άνθρωπο. Για να συμβεί αυτό θα πρέπει είτε να έχει τον ιό και η διάγνωση να είναι σωστή είτε να μην έχει τον ιό και η διάγνωση να είναι λάθος. Η πιθανότητα να συμβαίνει η πρώτη περίπτωση είναι 0,1/100 * 95/100 = 0,095/100. Η πιθανότητα να συμβαίνει η δεύτερη περίπτωση είναι 99,9/100 * 5/100 = 4,995/100.
Αθροίζοντας τις πιθανότητες των δύο ενδεχομένων βρίσκουμε τη συνολική πιθανότητα να βγει το τεστ θετικό: 0,095/100 + 4,995/100 = 5,09/100.
Με άλλα λόγια, στους 100 ανθρώπους που θα κάνουν το τεστ οι 5,09 αναμένεται να πάρουν θετική διάγνωση. Από αυτούς όμως μόνο οι 0,095 όπως είπαμε έχουν πράγματι προσβληθεί από τον ιό. Με απλή μέθοδο των τριών βρίσκουμε πως στους 100 ανθρώπους αυτοί που έχουν θετική διάγνωση και έχουν προσβληθεί από τον ιό είναι: 0,095 * 100 / 5,09 = 1,8664. Άρα η πιθανότητα να έχει ο κ. Γιάννης τον ιό είναι περίπου 1,87%.
Βλέπουμε πως ο κ. Γιάννης μάλλον δεν θα έπρεπε να ανησυχήσει γιατί παρόλο που το τεστ έχει μεγάλη ακρίβεια, η πιθανότητα να έχει πράγματι προσβληθεί είναι μικρή, αλλά πάντως γύρω στις 20 φορές μεγαλύτερη από την πιθανότητα που είχε να φέρει τον ιό πριν του βγει το τεστ θετικό.

Μια εξήγηση στην καθομιλουμένη για το πώς είναι τόσο μικρή η πιθανότητα να έχει προσβληθεί ο κ. Γιάννης από τον ιό, παρά τη θετική διάγνωση, είναι η εξής: Η πιθανότητα να έχει κολλήσει κάποιος τον ιό είναι πολύ μικρότερη από την πιθανότητα να έχει βγει λάθος το τεστ. Γι αυτό, το ότι το τεστ βγήκε θετικό είναι πολύ πιθανότερο να οφείλεται σε λανθασμένο αποτέλεσμα του τεστ, παρά στο ότι έχει πράγματι ο κ. Γιάννης τον ιό.

Αντώνης είπε...

Αν και το αποτέλεσμα που βρίσκετε πλησιάζει την πραγματικότητα, ωστόσο είναι λάθος. Το σωστό είναι 1,9646% και όχι 1,87% που αναφέρετε.
Το λάθος σας είναι οτι από τους 100 ανθρώπους όντως οι 5,09 θα έχουν θετική διάγνωση, αλλά οι ασθενείς θα είναι 0,1 και όχι 0,095 που αναφέρετε. Μία πιό αυστηρή προσέγγιση είναι η ακόλουθη: Αν ο πλυθισμός είναι Χ, τότε οι αθενείς θα είναι Χ/1.000. Εάν όλοι κάνουν το τεστ τότε αυτό θα βγεί θετικό σε 5,09Χ/100 (προκύπτει μετά από υπολογισμούς, αλλά συμφωνούμε καθώς το ίδιο βγάζετε κι εσείς), άρα η πιθανότητα ο κος Γιάννης να είναι ασθενής είναι ο αριθμός των ασθενών (Χ/1.000) δια του αριθμού αυτών που το τεστ βγήκε θετικό (5,09Χ/100). Αυτό μας κάνει 1,964

pantsik είπε...

@Αντώνης: Πρόσεξε πως το ποσοστό 0,1/100 αναφέρεται στον πληθυσμό που δεν έχει κάνει το τεστ. Στον πληθυσμό που έχει κάνει το τεστ και έχει πάρει θετική διάγνωση (δηλαδή σε 5,09 στους 100 ανθρώπους) το αντίστοιχο ποσοστό να έχουν προσβληθεί είναι 0,095/100. Είναι αυτοί που αναφέρω πως έχουν τον ιό και πήραν θετική διάγνωση. Εξαιρούνται αυτοί που έχουν τον ιό αλλά πήραν αρνητική διάγνωση (το υπόλοιπο 0,005/100).

Αντώνης είπε...

Σωστά έχετε δίκιο. Δικό μου το λάθος.

pantsik είπε...

@Αντώνης: Να 'σαι καλά. Μόλις διάβασα τη λύση σου με μπέρδεψες κι εμένα!

pantsik είπε...

Μπορούμε να καταλήξουμε στο ίδιο αποτέλεσμα και με την εφαρμογή του Θεωρήματος του Bayes:
Ορίζουμε τα εξής ενδεχόμενα:
Α = Ακριβές τεστ
Θ = Θετικό τεστ
Π = Προσβολή από τον ιό

Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε ότι P(Α)=0,95 και P(Π)=0,001 , όπου με P(x) συμβολίζουμε την πιθανότητα να συμβαίνει το ενδεχόμενο x.
Με P(Θ|Π) συμβολίζουμε την πιθανότητα να συμβαίνει το ενδεχόμενο Θ με δεδομένο ότι συμβαίνει το ενδεχόμενο Π. Παρατηρούμε πως P(Θ|Π) = P(Α) γιατί η πιθανότητα κάποιος που έχει προσβληθεί από τον ιό να πάρει θετική διάγνωση από το τεστ είναι επίσης 0,95.
Όπως είπαμε πιο πάνω, το τεστ δίνει θετική διάγνωση είτε αν κάποιος έχει προσβληθεί από τον ιό και το τεστ ήταν ακριβές είτε αν δεν έχει προσβληθεί από τον ιό και το τεστ δεν ήταν ακριβές. Θα το εκφράσουμε αυτό μαθηματικά ως:
P(Θ) = P(Π)*P(A) + !P(Π)*!P(A) = P(Π)*P(Θ|Π) + !P(Π)*!P(Θ|Π)
όπου με !P(x) συμβολίζουμε την πιθανότητα να μην συμβαίνει το ενδεχόμενο x.
Το ζητούμενο είναι να βρούμε την πιθανότητα να έχει προσβληθεί ο κ. Γιάννης από τον ιό με δεδομένο ότι του βγήκε το τεστ θετικό. Πρέπει δηλαδή να μπορέσουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα P(Π|Θ). Αφού γνωρίζουμε ήδη την πιθανότητα P(Θ|Π) θα εφαρμόσουμε το Θεώρημα του Bayes που συνδέει αυτές τις δύο πιθανότητες μεταξύ τους με τη σχέση:
P(Π|Θ) = P(Θ|Π) * P(Π) / P(Θ)
Με αντικατάσταση τιμών προκύπτει πως:
P(Π|Θ) = 0,95 * 0,001 / [0,001*0,95 + (1-0,001)*(1-0,95)] = 0,01866.

Ανώνυμος είπε...

αν θες να μας τρελανεις με τον δευτερο τροπο τα καταφερες

Ανώνυμος είπε...

εντωμεταξυ νομιζα οτι το θαυμαστικο ηταν παραγοντικο!

pantsik είπε...

@Ανώνυμος: Η δεύτερη λύση απευθύνεται μόνο σε όσους είναι εξοικειωμένοι με τύπους και θεωρήματα πιθανοτήτων. Η πρώτη λύση είναι πιο περιγραφική και άρα πιο κατανοητή.