Γίνε μέλος στο grifoi.org

Στους γρίφους με τη σήμανση ".Άλυτοι 1-100" μπορούν να στέλνουν τις λύσεις τους μόνο τα Μέλη του site grifoi.org. Πληροφορίες για το πως θα γίνετε μέλος μπορείτε να διαβάσετε εδώ.

Παρασκευή, 23 Οκτωβρίου 2009

Πιθανοτήτων - Οι τρεις κρατούμενοι (****)

Σε μια φυλακή βρίσκονται τρεις κρατούμενοι, οι Α, Β και Γ. Μια μέρα ο δεσμοφύλακας τους ανακοινώνει πως αποφασίσθηκε να ελευθερωθούν οι δύο από αυτούς. Το ποιοι θα είναι έχει επίσης αποφασισθεί αλλά όπως τους είπε δεν μπορεί να το ανακοινώσει μέχρι αύριο.

Μετά από λίγα λεπτά, ο Α που είχε κάπως πιο φιλικές σχέσεις με τον δεσμοφύλακα τον πιάνει και τον ρωτάει αν θα είναι αυτός ένας από τους δύο που θα ελευθερωθούν. Δεν μπορώ να σου το πω αυτό, του απαντάει ο δεσμοφύλακας. Τουλάχιστον πες μου τον έναν από τους άλλους δύο που θα ελευθερωθεί, λέει ο Α και σου υπόσχομαι να μην τους πω τίποτα. Εντάξει, λέει ο φύλακας. Ο Β θα είναι ένας από τους δύο που θα ελευθερωθούν.

Τι πιθανότητα υπάρχει εκείνη τη στιγμή να ελευθερωθεί ο Α;

15 σχόλια:

pantsik είπε...

Λύση:

Αν απαντήσατε 1/2 (ή 50%) δυστυχώς κάνετε λάθος. Η πιθανότητα να ελευθερωθεί ο Α είναι 2/3.

Εξήγηση:

Αρχικά οι τρεις κρατούμενοι έχουν πιθανότητα 2/3 ο καθένας για να ελευθερωθούν.
Με την ανακοίνωση του φύλακα ότι θα ελευθερωθεί ο Β, ο Α δεν παίρνει ΚΑΜΙΑ πληροφορία για τη δική του τύχη, γιατί ξέρει εκ των προτέρων ότι δεν επιτρέπεται να ανακοινωθεί η απόφαση που έχει παρθεί για τον ίδιο. Έτσι η πιθανότητα γι αυτόν παραμένει 2/3.
Αντίθετα, ο Γ που δεν εξαιρέθηκε από τη δυνατότητα ανακοίνωσης του ονόματός του, έχει τώρα μικρότερη πιθανότητα να είναι αυτός ο δεύτερος που θα ελευθερωθεί. Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα απελευθέρωσης του Γ σημειώνουμε τους τρεις αρχικούς δυνατούς συνδυασμούς απελευθερώσεων: Α-Β, Α-Γ, Β-Γ. Με δεδομένο ότι ο Β θα είναι ένας από τους δύο που θα ελευθερωθούν, η μόνη δυνατότητα για να είναι ο Γ ο δεύτερος, είναι να ισχύει ο συνδυασμός απελευθέρωσης Β-Γ. Άρα σε μόνο έναν από τους τρεις συνδυασμούς απελευθερώνεται ο Γ και συνεπώς η πιθανότητα απελευθέρωσής του είναι 1/3.
Ο Α και ο Γ θα είχαν πιθανότητα 1/2 να ελευθερωθούν στην περίπτωση που ο Α θα ρώταγε για το ποια θα είναι η τύχη του Β και έπαιρνε την απάντηση πως ο Β θα ελευθερωθεί. Στο πρόβλημα όμως ανακοινώνεται ποιος ελευθερώνεται και όχι τι κάνει ο Β. Αυτή η λεπτή διαφορά αλλάζει το αποτέλεσμα.

Αν ακόμα δεν πειστήκατε ότι η πιθανότητα του Α δεν είναι 50%, πάρτε ένα πιο εμφανές παράδειγμα, στο οποίο υπάρχουν 1000 κρατούμενοι και πρόκειται να ελευθερωθούν διαδοχικά οι 999. Εσείς είστε ένας από αυτούς (ας πούμε το Νο 1), αλλά διαφέρετε από όλους τους υπόλοιπους στο γεγονός ότι ξέρετε πως δεν θα ανακοινωθεί το όνομά σας μέχρι το τέλος της διαδικασίας απελευθέρωσης. Η πιθανότητα που έχετε να ελευθερωθείτε σ' αυτό το σημείο είναι 999/1000, δηλαδή είναι σχεδόν βέβαιο.
Ο φύλακας λοιπόν, αρχίζει να ανακοινώνει τα νούμερα αυτών που ελευθερώνονται και ένας-ένας βγαίνουν από την πύλη. Ένα νούμερο πριν το τέλος μένετε αναπόφευκτα εσείς και π.χ. το Νο 783.
Ποια θα είναι τώρα η πιθανότητα να είστε εσείς ο τελευταίος που θα απελευθερωθεί; Μήπως 50% ; Από εκεί δηλαδή που ήταν σχεδόν βέβαιο ότι θα απελευθερωθείτε, αναπόφευκτα φτάσατε να ρισκάρετε με κάποιον άλλον στο 50-50 ;
Όχι βέβαια! Το ενδεχόμενο της απελευθέρωσής σας δεν είναι ισοπίθανο με το ενδεχόμενο απελευθέρωσης του Νο 783. Για την ακρίβεια η δική σας πιθανότητα παραμένει στο ενθαρρυντικό 999/1000, ενώ του Νο 783 είναι μόλις 1/1000.
Γενικεύοντας, για k αρχικούς κρατούμενους και n κρατούμενους που παραμένουν στη φυλακή αφού αρχίσει η διαδικασία απελευθέρωσης, η δική σας πιθανότητα απελευθέρωσης είναι: (k-1)/k , ενώ για όλους τους υπόλοιπους που δεν έχουν απελευθερωθεί ακόμα, η πιθανότητα απελευθέρωσής τους είναι: 1/k + [(k-1)/k] * [(n-2)/(n-1)]. Βλέπουμε δηλαδή ότι όσο περισσότεροι απελευθερώνονται (μείωση του n) η δική σας πιθανότητα μένει σταθερή, ενώ όλων των υπολοίπων που παραμένουν, μειώνεται.

pantsik είπε...

Τα παλαιότερα σχόλια σε αυτόν τον γρίφο διαγράφησαν γιατί η εκφώνηση και η απάντηση περιείχαν λάθη. Η πιο πάνω απάντηση είναι (νομίζω) η ορθή.

Σε ένα παλιότερο σχόλιο ένας φίλος ρώτησε αν μπορεί να κάνει και ο Νο 783 τον ίδιο συλλογισμό με εμάς και να έχει αυτός πιθανότητα απελευθέρωσης 999/1000 και εμείς 1/1000.
Η απάντηση είναι πως η περίπτωση του Νο 783 δεν είναι συμμετρική με τη δική μας γιατί όπως έγραψα στους όρους της διαδικασίας, απαγορεύεται να ανακοινωθεί το όνομά μας μέχρι το τέλος, ενώ αυτού όχι.
Αν υποθέσουμε πως και για το Νο 783 ισχύουν οι ίδιοι όροι, δηλαδή ούτε το δικό του όνομα θα ανακοινωθεί μέχρι να μείνουν 3 κρατούμενοι, τότε η πιθανότητα απελευθέρωσής του, όπως και η δική μας, θα είναι 499/1000, ενώ του τρίτου κρατούμενου που δεν εξαιρείται το όνομά του θα είναι 2/1000.

Ανώνυμος είπε...

Αυτό θυμίζει το παιχνίδι με τα κουτιά στην τηλεόραση. Έστω εκατό κουτιά. Ένα κουτί έχει τις 150.000. Παίρνουμε ένα στην τύχη.
Μετά από μισή ώρα παιχνίδι έχουν ανοίξει τα 90 κουτιά χωρίς να βγουν οι 150.000. Ο τραπεζίτης μας ρωτάει τότε αν θέλουμε να αλλάξουμε κουτί με ένα από τα κλειστά. Πρέπει να δεχτούμε;
ΒΕΒΑΙΩΣ !
Η πιθανότητα να έχουμε αξ΄αρχής το σωστό κουτί ήταν και είναι 1/100. Αν αλλάξουμε η πιθανότητα αυξάνει στο 1/10.

pantsik είπε...

Σωστά (για την ακρίβεια 0,99 στις 10). Το πρόβλημα που αναφέρεις το έχω σε άλλο γρίφο στις Πιθανότητες με τον τίτλο Ζονγκ.

Ανώνυμος είπε...

latos den einai i orti opoioi ipan pos o A eei 1/3 pitanotites na elefterotei einai sostos giati o sindiasmos A-Γ apokleiatai kai etsi menei mono o Α-Β και ο Β-Γ.

Ανώνυμος είπε...

Δεν καταλαβαινω τον συλλογισμο.
Αυτο που σκεφτομαι (αν ειναι λαθος διορθωσε με) είναι ότι οι συνδυασμοι όλοι είναι ΑΒ ΑΓ ΒΓ
Πριν μαθει οτιδηποτε ο Α
ο Α εχει 2/3 πιθανοτητα να φυγει.
ο Β εχει 2/3 πιθανοτητα να φυγει.
ο Γ εχει 2/3 πιθανοτητα να φυγει.
Αφου εμαθε οτι φευγει ο Β ο δευτερος συνδυασμοσ ειναι αδυνατος.
Άρα ΑΒ ΒΓ.
Τώρα
ο Α εχει 1/2 πιθανοτητα να φυγει.
ο Β εχει 2/2 πιθανοτητα να φυγει.
ο Γ εχει 1/2 πιθανοτητα να φυγει.

pantsik είπε...

@Ανώνυμος: Αυτό που λες θα ίσχυε στην περίπτωση που ο φύλακας θα μπορούσε να ανακοινώσει και το όνομα του Α. Αφού όμως δεν μπορεί, η πιθανότητα που έχει ο Α να ελευθερωθεί δεν μεταβάλλεται.

Ανώνυμος είπε...

mou to anlieis giati den metabllete

Ανώνυμος είπε...

1/3 einai...

pantsik είπε...

@Ανώνυμος: Γιατί κάποιος εκτός του Α ούτως ή άλλως θα ελευθερωνόταν. Οπότε ο Α μαθαίνοντας το ποιος είναι αυτός δεν παίρνει καμία χρήσιμη πληροφορία. Η πιθανότητα που έχει να ελευθερωθεί παραμένει όση και πριν ακούσει το όνομα του άλλου.

Ανώνυμος είπε...

a entaksei katlava.Oloi oi alloi xristes gia na katalavoun:den noiazetai gia tous allous 2.Ton noiazei mono oeaytos tou.einai Partakias!Den einai xrisimi i pliroforia pou pairnei

Ανώνυμος είπε...

TI LETE RE PAIDIA ISTE SOVAROI?POS DEN INE XRISIMI I PLIROFORIA?AFU O KATHENAS SYMMETEXEI SE 2/3 SINDIASMOUS APELEFTHEROSIS.MATHENONTAS OTI O B THA APELEFTHEROTHI XANETAI I ELPIDA TOU NA SYMMETIXE STON ALLO SINDIASMO A-Γ.

pantsik είπε...

@Ανώνυμος: Τα ενδεχόμενα απελευθέρωσης Α-Β και Β-Γ δεν είναι μεταξύ τους ισοπίθανα. Το πρώτο έχει πιθανότητα 2/3 και το δεύτερο 1/3. Διάβασε προσεκτικά την εξήγηση που δίνω στη λύση.

Makeran είπε...

Η δική μου σκέψη: Μετά την ανακοίνωση του φύλακα αποκλείεται ο συνδυασμός Α-Γ. Άρα μένουν οι συνδυασμοί Β-Γ και Α-Β δηλαδή είναι 50-50. Άρα η πιθανότητα να ελευθερωθεί ο Α είναι 50% σωστά?

pantsik είπε...

@Makeran: Όχι, γιατί οι συνδυασμοί που μένουν δεν είναι ισοπίθανοι. Συγκεκριμένα, ο συνδυασμός Α-Β έχει πιθανότητα 2/3 να επαληθευτεί ενώ ο συνδυασμός Β-Γ 1/3. Όπως αναφέρω στην εξήγηση, η διαφορά του Α με τον Γ είναι ότι το όνομα του Α δεν μπορεί να ανακοινωθεί ενώ του Γ μπορεί αλλά δεν ανακοινώθηκε.